（福建專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù) 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性課件 新人教A版

1、2 2. .3 3函數(shù)的奇偶性與周期性函數(shù)的奇偶性與周期性 知識(shí)梳理 -2- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)2341 1.函數(shù)的奇偶性 f(-x)=f(x) y軸 f(-x)=-f(x) 原點(diǎn) 知識(shí)梳理 -3- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)2341 2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì) (1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|). (2)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. (3)在公共定義域內(nèi)有:奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù) =偶函數(shù),奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù),偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù),奇函 數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù). (4)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義

2、,則f(0)=0. 知識(shí)梳理 -4- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)2341 3.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則需滿足的條件:T0; 對(duì)定義域內(nèi)的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè) ,那么這個(gè)就叫做它的最小正周期. (3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(xR)的一個(gè)周期,則nT(nZ,且 n0)也是函數(shù)f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x). f(x+T)=f(x) 最小的正數(shù) 最小正數(shù) 知識(shí)梳理 -5- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)2341 4.函數(shù)周期性的常用結(jié)論 對(duì)函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任一自變量的值x, (1)若f(x+a)=-f(

3、x),則T=2a. (4)若f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則T=2a. (5)若f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱,則T=4a. (6)若函數(shù)的圖象關(guān)于兩條直線x=a,x=b對(duì)稱,則T=2|a-b|. (7)若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)M(a,0)和點(diǎn)N(b,0)對(duì)稱,則T=2|a-b|. (8)若函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a和點(diǎn)M(b,0)對(duì)稱,則T=4|a-b|. 知識(shí)梳理 2 -6- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)3415 1.下列結(jié)論正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)函數(shù)y=x2,x(0,+)是偶函數(shù). () (2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則一定有f(0)=0. () (3)若函數(shù)y=f(

4、x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì) 稱;若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心 對(duì)稱. () (4)若函數(shù)f(x),g(x)是定義域相同的偶函數(shù),則F(x)=f(x)+g(x)是偶 函數(shù). () (5)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),若f(x)在(-,0)內(nèi)是減 函數(shù),則f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)是增函數(shù). () (6)若T為y=f(x)的一個(gè)周期,則nT(nZ)是函數(shù)f(x)的周期. () 答案 答案 關(guān)閉 (1)(2)(3)(4)(5)(6) 知識(shí)梳理 -7- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 2.已知f(x)=ax2+bx

5、是定義在區(qū)間a-1,2a上的偶函數(shù),那么a+b的 值是() 答案解析解析 關(guān)閉 答案解析 關(guān)閉 知識(shí)梳理 -8- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 3.下列函數(shù)為奇函數(shù)的是() 答案解析解析 關(guān)閉 令y=f(x),選項(xiàng)A,定義域?yàn)?,+),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以為非奇非偶函數(shù); 選項(xiàng)B,f(-x)=|sin(-x)|=|sin x|=f(x),為偶函數(shù); 選項(xiàng)C,f(-x)=cos(-x)=cos x=f(x),為偶函數(shù); 選項(xiàng)D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),為奇函數(shù). 答案解析 關(guān)閉 D 知識(shí)梳理 -9- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 4.已知f(x)滿足對(duì)任意xR,f(

6、-x)+f(x)=0,且當(dāng)x0時(shí),f(x)=ex+m(m 為常數(shù)),則f(-ln 5)的值為() A.4B.-4C.6D.-6 答案解析解析 關(guān)閉 由題意知函數(shù)f(x)是奇函數(shù).因?yàn)閒(0)=e0+m=1+m=0,解得m=-1,所以f(-ln 5)=- f(ln 5)=-eln 5+1=-5+1=-4,故選B. 答案解析 關(guān)閉 B 知識(shí)梳理 -10- 知識(shí)梳理雙基自測(cè)23415 5.(教材習(xí)題改編P39T6)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng) x0時(shí),f(x)=x(1+x),則當(dāng)x0時(shí),f(x)=. 答案解析解析 關(guān)閉 當(dāng)x0, 故f(-x)=(-x)(1-x). 又f(x)為奇函數(shù),

7、f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x), f(x)=x(1-x). 答案解析 關(guān)閉 x(1-x) -11- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 例1判斷下列函數(shù)的奇偶性: (1)f(x)=x3-x; 思考判斷函數(shù)的奇偶性要注意什么? -12- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 解 (1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 又f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-(x3-x)=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù). 因?yàn)楹瘮?shù)定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù). (3)函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 當(dāng)x0時(shí),-x0,此時(shí)f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x

8、=-(-x2+x)=-f(x); 當(dāng)x0,此時(shí)f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x). 故對(duì)于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x).即函數(shù)f(x)為奇函數(shù). -13- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 解題心得判斷函數(shù)奇偶性的方法: (1)定義法.利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價(jià)形式: =1(f(x)0)判斷函數(shù)的奇偶性. (2)圖象法.利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性判斷函數(shù)的奇偶性. (3)性質(zhì)法.設(shè)f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那么在它們的公共定 義域上,有下面結(jié)論: -14- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)函數(shù)f

9、(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是 偶函數(shù),則下列結(jié)論正確的是 () A.f(x)g(x)是偶函數(shù)B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 答案解析解析 關(guān)閉 由題意,知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 對(duì)于A選項(xiàng),f(-x)g(-x)=-f(x)g(x), f(x)g(x)為奇函數(shù),故A錯(cuò)誤; 對(duì)于B選項(xiàng),|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)為偶函數(shù),故B錯(cuò)誤; 對(duì)于C選項(xiàng),f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,f(x)|g(x)|為奇函數(shù),故C正確

10、; 對(duì)于D選項(xiàng),|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函數(shù),故D錯(cuò)誤. 答案解析 關(guān)閉 C -15- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 例2(1)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x0時(shí),f(x)=x2-3x,則函 數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為() A.1,3B.-3,-1,1,3 (4)已知函數(shù)g(x)是定義在區(qū)間-2,2上的偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),g(x)單 調(diào)遞減,若g(1-m)0時(shí),f(x)=x3-8,則x|f(x-2)0= ( ) A.x|-2x2B.x|0 x4 C.x|x0或2x4D.x|x2 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2018安徽合肥月

11、考)已知函數(shù)f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,則f(-a)的值為() A.3B.0C.-1 D.-2 (2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間0,+)內(nèi)單 B D B -20- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 (4)設(shè)a,bR,且a2,若定義在區(qū)間(-b,b)內(nèi)的函數(shù)f(x)=lg 是奇函數(shù),則a+b的取值范圍為. -21- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 解析：(1)設(shè)F(x)=f(x)-1=x3+sin x,顯然F(x)為奇函數(shù), 又F(a)=f(a)-1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,從而f(-a)=0.故選B. -22- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 (3

12、)當(dāng)x=2時(shí),有f(2)=0,因?yàn)閒(x)為奇函數(shù),所以f(-2)=0,作出f(x)的大 致圖象,由圖象可知,當(dāng)-2x-22,即0 x4時(shí),有f(x- 2)0,故選B. -23- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 (4)f(x)在(-b,b)上是奇函數(shù), 例3(1)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3x-1時(shí),f(x)=- (x+2)2;當(dāng)-1x3時(shí),f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于 () A.336 B.337 C.1 678D.2 012 (2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=- ,當(dāng)2x3 時(shí),f(x)=x,則f(105

13、.5)=. 思考函數(shù)的周期性主要的應(yīng)用是什么? -24- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 答案 答案 關(guān)閉 (1)B(2)2.5 -25- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 解析:(1)f(x+6)=f(x),函數(shù)f(x)的周期T=6. 當(dāng)-3x-1時(shí),f(x)=-(x+2)2; 當(dāng)-1x3時(shí),f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=- 1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1. 又f(2 017)=f(1)=1,f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)=337. -26- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4

14、函數(shù)f(x)的周期為4. f(105.5)=f(427-2.5) =f(-2.5)=f(2.5). 22.53,f(2.5)=2.5. f(105.5)=2.5. 解題心得利用函數(shù)的周期性,可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè) 數(shù)、求解析式等問題,轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的相應(yīng)問題進(jìn)行求解. -27- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x+2)=-f(x),當(dāng) 2x3時(shí),f(x)=x,則f(2 018)=. 答案 答案 關(guān)閉 (1)2(2)2 (2)已知f(x)是R上的奇函數(shù),f(1)=2,且對(duì)任意xR都有 f(x+6)=f(x)+f(3)成立,則f(2

15、 017)=. -28- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 解析: (1)因?yàn)閒(x+2)=-f(x), 所以f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=-f(x)=f(x), 所以函數(shù)f(x)的周期為4, 所以f(2 018)=f(4504+2)=f(2). 又223,所以f(2)=2,即f(2 018)=2. (2)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù), 所以f(0)=0. 又對(duì)任意xR都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以當(dāng)x=-3時(shí),有f(3)=f(- 3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期為6. 故f(2 017)=f(1)=2. -29- 考點(diǎn)

16、1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 例4(1)已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),且f(x+1)=-f(x),若f(x) 在區(qū)間-1,0上是減函數(shù),則f(x)在區(qū)間1,3上是() A.增函數(shù)B.減函數(shù) C.先增后減的函數(shù) D.先減后增的函數(shù) (2)(2018全國(guó),理11)已知f(x)是定義域?yàn)?-,+)的奇函數(shù),滿足 f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=() A.-50 B.0C.2D.50 思考解有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性綜合問題的策略有 哪些? D C -30- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 解析: (1)由f(x)在-1,0上是減函數(shù),又f(x)

17、是R上的偶函數(shù),故f(x)在 0,1上是增函數(shù). 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x+1)+1=-f(x+1)=f(x),故2是函數(shù)f(x) 的一個(gè)周期. 結(jié)合以上性質(zhì),畫出f(x)的部分草圖,如圖所示. 由圖象可以觀察出,f(x)在1,2上為減函數(shù),在2,3上為增函數(shù).故 選D. -31- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 (2)f(-x)=f(2+x)=-f(x), f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x). f(x)的周期為4.f(x)為奇函數(shù),f(0)=0. f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f

18、(0), f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2. -32- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 解題心得函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略: (1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性 相同,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反. (2)周期性與奇偶性結(jié)合.此類問題多考查求值問題,常利用奇偶 性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的 定義域內(nèi)求解. (3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問題通常先利用周期 性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,再利用奇偶性和單調(diào)性求解. -33- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 答案 答案 關(guān)閉 (1)A (2)D 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù),g(x)是R上的奇函數(shù), 且g(x)=f(x-1),若f(2)=2,則f(2 018)的值為() A.2B.0C.-2 D.2 -34- 考點(diǎn)1考點(diǎn)2考點(diǎn)3考點(diǎn)4 解析:(1)g(-x)=f(-x-1),-g(x)=f(x+1). 又g(x)=