完整版)高一：零點問題的解題方法(總14頁

1、課題談函數(shù)與方程(零點問題)的解題方法解題技能篇從近幾年高考試題看，函數(shù)的零點、方程的根的問題是高考的熱點，題型主要以選擇題、填空題為主，難度中等及以上主要考查轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結合及函數(shù)與方程的思想(1)函數(shù)零點的定義對于函數(shù)yf(x) (xD)，把使f(x)0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x) (xD)的零點(2)零點存在性定理(函數(shù)零點的判定)若函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)f(b)0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)，函數(shù)yf(x)至少有一個零點，即相應方程f(x)0在區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一個實數(shù)解也可以說：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的

2、圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根提醒此定理只能判斷出零點存在，不能確定零點的個數(shù)(3)幾個等價關系函數(shù)yf(x)有零點 方程f(x)0有實數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)y0(即x軸)有交點推廣：函數(shù)yf(x)g(x)有零點 方程f(x)g(x)0有實數(shù)根 函數(shù)yf(x)g(x)的圖象與y0(即x軸)有交點 推廣的變形：函數(shù)yf(x)g(x)有零點 方程f(x)g(x)有實數(shù)根 函數(shù)yf(x)的圖象與yg(x)有交點1函數(shù)的零點是函數(shù)yf(x)與x軸的交點嗎？是否

3、任意函數(shù)都有零點？提示：函數(shù)的零點不是函數(shù)yf(x)與x軸的交點，而是yf(x)與x軸交點的橫坐標，也就是說函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)；并非任意函數(shù)都有零點，只有f(x)0有根的函數(shù)yf(x)才有零點2若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，一定有f(a)f(b)03若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，有f(a)f(b)0)的圖象與零點的關系b24ac000二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸的交點(x1，0)，(x2，0)(x1，0)無交點零點個數(shù)210對于日后的考試中仍以考查函數(shù)的零點、方程的根和兩函數(shù)圖象交點橫坐標的等價轉(zhuǎn)化為主要考點，涉及題目的主要考向有： 1函數(shù)零點的

4、求解與所在區(qū)間的判斷；2判斷函數(shù)零點個數(shù)；3利用函數(shù)的零點求解參數(shù)及取值范圍考向一、函數(shù)零點的求解與所在區(qū)間的判斷1(2015溫州十校聯(lián)考)設f(x)ln xx2，則函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間為()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】法一：f(1)ln 11210，f(2)ln 20，f(1)f(2)0，函數(shù)f(x)ln xx2的圖象是連續(xù)的，函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間是(1，2)法二：函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)ln x，h(x)x2圖象交點的橫坐標所在的范圍，如圖所示，可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1，2)【答案】B2(2015西安五校聯(lián)考)

5、函數(shù)yln(x1)與y的圖象交點的橫坐標所在區(qū)間為()A(0，1)B(1，2)C(2，3) D(3，4)【解析】函數(shù)yln(x1)與y的圖象交點的橫坐標，即為函數(shù)f(x)ln(x1)的零點，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，且f(1)ln 210，f(2)ln 30，f(x)的零點所在區(qū)間為(1，2)【答案】B3函數(shù)f(x)3x7ln x的零點位于區(qū)間(n，n1)(nN)內(nèi)，則n_【解析】求函數(shù)f(x)3x7ln x的零點，可以大致估算兩個相鄰自然數(shù)的函數(shù)值，如f(2)1ln 2，由于ln 2ln e1，所以f(2)0，f(3)2ln 3，由于ln 31，所以f(3)0，所以函數(shù)f(x)的零點位于

6、區(qū)間(2，3)內(nèi)，故n2【答案】24(2015長沙模擬)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(a，b)和(b，c)內(nèi)B(，a)和(a，b)內(nèi)C(b，c)和(c，)內(nèi)D(，a)和(c，)內(nèi)【解析】本題考查零點的存在性定理依題意得f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零點的存在性定理知f(x)的零點位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內(nèi)【答案】A5(2014高考湖北卷)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x23x，則函數(shù)g(x)f(x)x3的零點的集合為()A1，3B3，1

7、，1，3C2，1，3D2，1，3【解析】令x0，則x0，所以f(x)f(x)(x)23(x)x23x求函數(shù)g(x)f(x)x3的零點等價于求方程f(x)3x的解當x0時，x23x3x，解得x13，x21；當x0時，x23x3x，解得x32【答案】D確定函數(shù)f(x)零點所在區(qū)間的方法(1)解方程法：當對應方程f(x)0易解時，可先解方程，再看解得的根是否落在給定區(qū)間上(2)利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)f(b)0若有，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(3)數(shù)形結合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判

8、斷1已知函數(shù)f(x)log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是()A(0，1)B(1，2) C(2，4) D(4，)【解析】因為f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(4)log240，所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2，4)【答案】C2方程log3xx3的根所在的區(qū)間為()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)【解析】法一：方程log3xx3的根即是函數(shù)f(x)log3xx3的零點，由于f(2)log3223log3210且函數(shù)f(x)在(0，)上為單調(diào)增函數(shù)函數(shù)f(x)的零點即方程log3xx3的根所在區(qū)間為(2，3)法二：方程log3xx3的根所

9、在區(qū)間即是函數(shù)y1log3x與y23x交點橫坐標所在區(qū)間，兩函數(shù)圖象如圖所示由圖知方程log3xx3的根所在區(qū)間為(2，3)【答案】C3(2015武漢調(diào)研)設a1，a2，a3均為正數(shù)，123，則函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間()A(，1)和(1，2)內(nèi)B(1，2)和(2，3)內(nèi)C(2，3)和(3，)內(nèi)D(，1)和(3，)內(nèi)【解析】本題考查函數(shù)與方程利用零點存在定理求解當x(1，2)時，函數(shù)圖象連續(xù)，且x1，f(x)，x2，f(x)，所以函數(shù)f(x)在(1，2)上一定存在零點；同理當x(2，3)時，函數(shù)圖象連續(xù)，且x2，f(x)，x3，f(x)，所以函數(shù)f(x)在(2，3)上一定存在零點，故

10、選B【答案】B考向二、判斷函數(shù)零點個數(shù)1已知函數(shù)f(x)滿足f(0)1，且f(0)2f(1)0，那么函數(shù)g(x)f(x)x的零點個數(shù)為_【解析】f(0)1，c1，又f(0)2f(1)0，f(1)1b1，b當x0時，g(x)2x20有唯一解x1；當x0時，g(x)x2x1，令g(x)0得x或x2(舍去)，綜上可知，g(x)f(x)x有2個零點【答案】22(2013高考天津卷)函數(shù)f(x)2x|log0.5x|1的零點個數(shù)為()A1B2C3 D4【解析】由f(x)2x|log0.5x|10，可得|log05x|x設g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)

11、的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象一定有2個交點，因此函數(shù)f(x)有2個零點【答案】B3(2015高考天津卷)已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)3f(2x)，則函數(shù)yf(x)g(x)的零點個數(shù)為()A2B3C4 D5【解析】分別畫出函數(shù)f(x)，g(x)的草圖，觀察發(fā)現(xiàn)有2個交點【答案】A4若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當x0，1時，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點個數(shù)是_【解析】由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù)在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)yf(x)及ylog3|x|的圖象，如下：觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個交點，即函數(shù)yf(x)log3|x|有4個零點【答案】4判斷函

12、數(shù)零點個數(shù)的方法(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì)(3)數(shù)形結合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點1(2015淄博期末)函數(shù)f(x)xln(x1)1的零點個數(shù)是_【解析】函數(shù)f(x)xln(x1)1的零點個數(shù)，即為函數(shù)yln(x1)與yx1圖象的交點個數(shù)在同一坐標系內(nèi)分別

13、作出函數(shù)yln(x1)與yx1的圖象，如圖，由圖可知函數(shù)f(x)xln(x1)1的零點個數(shù)是2【答案】22若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且x1，1時，f(x)1x2，函數(shù)g(x)則方程f(x)g(x)0在區(qū)間5，5上的解的個數(shù)為()A5 B7C8 D10【解析】依題意得，函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，在同一坐標系下畫出函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖象，結合圖象得，當x5，5時，它們的圖象的公共點共有8個，即方程f(x)g(x)0在區(qū)間5，5上的解的個數(shù)為8【答案】C考向三、利用函數(shù)的零點求解參數(shù)及取值范圍1(2014合肥檢測)若函數(shù)f(x)ax2x1有且僅有一個零點，

14、則實數(shù)a的取值為()A0B C0或D2【解析】當a0時，函數(shù)f(x)x1為一次函數(shù)，則1是函數(shù)的零點，即函數(shù)僅有一個零點；當a0時，函數(shù)f(x)ax2x1為二次函數(shù)，并且僅有一個零點，則一元二次方程ax2x10有兩個相等實根14a0，解得a綜上，當a0或a時，函數(shù)僅有一個零點【答案】C2(2014洛陽模擬)已知方程|x2a|x20(a0)有兩個不等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()A(0，4)B(4，) C(0，2)D(2，)【解析】依題意，知方程|x2a|x2有兩個不等的實數(shù)根，即函數(shù)y|x2a|的圖象與函數(shù)yx2的圖象有兩個不同交點如圖，則2，即a4【答案】B3已知函數(shù)f(x)log2xx

15、，若實數(shù)x0是方程f(x)0的解，且0x10時，方程x23axa0有兩個不等實根，即方程x23axa0有2個不等正實根，于是a，故a1【答案】必記結論有關函數(shù)零點的結論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號1(2015高考安徽卷)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是()Aycos x Bysin xCyln x Dyx21【解析】ycos x是偶函數(shù)，且存在零點；ysin x是奇函數(shù)；yln x既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)；yx21是偶函

16、數(shù)，但不存在零點【答案】A2函數(shù)f(x)2xa的一個零點在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1，3) B(1，2)C(0，3)D(0，2)【解析】由題意知f(1)f(2)0，即a(a3)0，0a3【答案】C3(2016東城期末)函數(shù)f(x)exx2的零點所在的區(qū)間是()A BC(1，2) D(2，3)【解析】f0，f(1)e0，零點在區(qū)間上【答案】B4(2014昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)3ax12a在區(qū)間(1，1)內(nèi)存在一個零點，則a的取值范圍是()AB(，1)CD(，1)【解析】當a0時，f(x)1與x軸無交點，不合題意，所以a0；函數(shù)f(x)3ax12a在區(qū)間(1，

17、1)內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以f(1)f(1)0，即(5a1)(a1)0，解得a1或a【答案】B5f(x)是R上的偶函數(shù)，f(x2)f(x)，當0x1時，f(x)x2，則函數(shù)yf(x)|log5 x|的零點個數(shù)為()A4B5 C8D10【解析】由零點的定義可得f(x)|log5x|，兩個函數(shù)圖象如圖，總共有5個交點，所以共有5個零點【答案】B6(2014開封模擬)偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x1)，且當x0，1時，f(x)x1，則關于x的方程f(x)lg(x1)在x0，9上解的個數(shù)是()A7 B8 C9 D10【解析】依題意得f(x2)f(x)，所以函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)在平面直角坐標系中

18、畫出函數(shù)yf(x)的圖象與ylg(x1)的圖象(如圖所示)，觀察圖象可知，這兩個函數(shù)的圖像在區(qū)間0，9上的公共點共有9個，因此，當x0，9時，方程f(x)lg(x1)的解的個數(shù)是9【答案】C7(2014南寧模擬)已知函數(shù)f(x)ln x3x8的零點x0a，b，且ba1，a，bN*，則ab_【解析】f(2)ln 268ln 220，且函數(shù)f(x)ln x3x8在(0，)上為增函數(shù)，x02，3，即a2，b3ab5【答案】58已知函數(shù)yf(x) (xR)滿足f(x2)f(x)，當x1，1時，f(x)|x|，則yf(x)與ylog7x的交點的個數(shù)為_【解析】因為f(x2)f(x)，所以yf(x)為周期

19、函數(shù)，其周期為2在同一直角坐標系中，畫出函數(shù)yf(x)和ylog7x的圖象如圖，當x7時，f(7)1，log771，故yf(x)與ylog7x共有6個交點【答案】69若函數(shù)yf(x)(xR) 滿足f(x2)f(x)且x1，1時，f(x)1x2；函數(shù)g(x)lg|x|，則函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象在區(qū)間5，5內(nèi)的交點個數(shù)共有_個【解析】函數(shù)yf(x)以2為周期，yg(x)是偶函數(shù)，畫出圖象可知有8個交點【答案】810(2015高考湖南卷)已知函數(shù)f(x)若存在實數(shù)b，使函數(shù)g(x)f(x)b有兩個零點，則a的取值范圍是_【解析】令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函數(shù)g(x)f(x

20、)b有兩個零點，即函數(shù)yf(x)的圖象與直線yb有兩個交點，結合圖象(圖略)可得a0或(a)h(a)，即a0或a3a2，解得a0或a1，故a(，0)(1，)【答案】(，0)(1，)1(2014高考山東卷)已知函數(shù)f(x)|x2|1，g(x)kx若方程f(x)g(x)有兩個不相等的實根，則實數(shù)k的取值范圍是()AB C(1，2)D(2，)【解析】先作出函數(shù)f(x)|x2|1的圖象，如圖所示，當直線g(x)kx與直線AB平行時斜率為1，當直線g(x)kx過A點時斜率為，故f(x)g(x)有兩個不相等的實根時，k的范圍為【答案】B2若函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是

21、()A(2，) B C(1，) D(0，1)【解析】函數(shù)f(x)axxa(a0且a1)有兩個零點，就是函數(shù)yax(a0且a1)與函數(shù)yxa(a0且a1)的圖象有兩個交點，由圖1知，當0a1時，兩函數(shù)的圖象只有一個交點，不符合題意；由圖2知，當a1時，因為函數(shù)yax(a1)的圖象與y軸交于點(0，1)，而直線yxa與y軸的交點一定在點(0，1)的上方，所以兩函數(shù)的圖象一定有兩個交點，所以實數(shù)a的取值范圍是a1【答案】C3(2015高考天津卷)已知函數(shù)f(x)函數(shù)g(x)bf(2x)，其中bR若函數(shù)yf(x)g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是()A B C D【解析】函數(shù)yf(x)g(x)恰有

22、4個零點，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4個不同的實數(shù)根，即直線yb與函數(shù)yf(x)f(2x)的圖象有4個不同的交點又yf(x)f(2x)作出該函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可得，當b2時，直線yb與函數(shù)yf(x)f(2x)有4個交點【答案】D4已知函數(shù)f(x)滿足f(x)1，當x0，1時，f(x)x，若在區(qū)間(1，1內(nèi)，函數(shù)g(x)f(x)mxm有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是()AB C D【解析】當x(1，0時，x1(0，1因為函數(shù)f(x)1，所以f(x)11.即f(x)函數(shù)g(x)f(x)mxm在區(qū)間(1，1內(nèi)有兩個零點等價于方程f(x)m(x1)在區(qū)間(1，1內(nèi)有兩個根，令ym(x1)，在同一坐標系中畫出函數(shù)yf(x)和ym(x1)的部分圖象(圖略)，可知當m時，函數(shù)g(x)f(x)mxm有兩個零點【答案】A5(2014高考天津卷)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_【解析】畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示函數(shù)yf(x)a|x|有4個零點，即函數(shù)y1a|x|的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有4個交點(根據(jù)圖象知需a0)當a2時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1a|x|的圖象有3個交點故a2當y1a|x|(x0)與y|x25x4|相切時，在整個定義域內(nèi)，f(x)的圖象與y1a|x|的圖象有5個交點，此時