“平方差公式”教學(xué)設(shè)計(jì)

1、平方差公式”教學(xué)設(shè)計(jì) “平方差公式”是人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第 151 頁(yè)至 153 頁(yè)的內(nèi)容，以下教 學(xué)設(shè)計(jì)靈活融入了講練結(jié)合、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)和討論交流等，充分體現(xiàn)了對(duì)教學(xué)樣式的創(chuàng)新探 索。本節(jié)課的授課教師是華南師范大學(xué)的林佳佳同學(xué)，本案在 由中國(guó)教育部國(guó)際交流 司與師范司以及東芝公司共同舉辦的首屆“東芝杯中國(guó)師范大學(xué)師范專業(yè)理科大學(xué)生 教學(xué)技能創(chuàng)新實(shí)踐大賽”中獲得第一名。具體設(shè)計(jì)如下： (一)教學(xué)目標(biāo) 1知識(shí)與技能目標(biāo)： (1) 理解平方差公式的本質(zhì)， 即結(jié)構(gòu)的不變性， 字母的可變性； 達(dá)到正用公式的水平，形成正向產(chǎn)生式：“( +)( ) ”-“ ?2”。 2過程與方法目標(biāo)： (1) 經(jīng)歷公式的獨(dú)

2、立建構(gòu)過程，構(gòu)建以數(shù)的眼光看式子的數(shù)學(xué) 素養(yǎng)；(2) 發(fā)展抽象概括的能力； (3)提升問題解決能力，進(jìn)行運(yùn)用平方差公式來(lái)研究等 周問題的探究。 3情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：糾正片面觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒 有什么實(shí)際意義！學(xué)了數(shù)學(xué)沒有用！ ”體會(huì)數(shù)學(xué)源于實(shí)際、高于實(shí)際、運(yùn)用于實(shí)際的科 學(xué)價(jià)值與文化價(jià)值。 (二)教學(xué)重點(diǎn) 1. 平方差公式的本質(zhì)的理解與運(yùn)用； 2. 數(shù)學(xué)是什么。 (三)教學(xué)難點(diǎn) 平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的可變性。 教學(xué)手段 計(jì)算機(jī)、 PPT、flash 。 五) 教學(xué)時(shí)間 一課時(shí)。 六)教學(xué)流程圖 教學(xué)流程 設(shè)計(jì)意圖 速算王的絕招 I根據(jù)著名心理學(xué)家桑代

3、克的試誤學(xué)習(xí)理論中的I 1 “準(zhǔn)備律”，運(yùn)用該情境，能夠讓學(xué)生在動(dòng)機(jī)上做 I i好準(zhǔn)備，對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生興趣，使學(xué)生在學(xué)習(xí)前I !處于對(duì)知識(shí)的“饑餓狀態(tài)”，產(chǎn)生一個(gè)心理“缺口”，i !i I從而激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生彌合心理缺口的學(xué)習(xí)動(dòng)力。! 動(dòng)手操作 i新課程改革的理念之一就是學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變?，F(xiàn) I代學(xué)習(xí)方式的一個(gè)基本特征是“體驗(yàn)性”，強(qiáng)調(diào)學(xué) I生親身去經(jīng)歷、去感悟。本環(huán)節(jié)讓學(xué)生從聽老師 i講推導(dǎo)轉(zhuǎn)向自己動(dòng)手進(jìn)行推導(dǎo)演算、數(shù)學(xué)表述， 體驗(yàn)“做數(shù)學(xué)(do mathematics)”的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育 I 理念。 抽象概括 Z2 I H HH H HH HH H H HH H I I根據(jù)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是

4、組織者、引導(dǎo)者 !與合作者的新理念，通過三個(gè)不同的刺激模式， 從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出平方差公式 的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。 公式運(yùn)用 i根據(jù)變式理論，設(shè)計(jì)了不同形式類型的典型例題， 突出平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母 的可變性。 速算王的秘密 (解惑傳道) !呼應(yīng)“速算王的絕招”這一部分，解答學(xué)生心中 ! i的疑惑，彌合學(xué)生心中的“缺口，讓他們體會(huì)到 平方差公式的威力。 意猶未盡 I根據(jù)桑代克的練習(xí)律與斯金納的強(qiáng)化原理設(shè)計(jì)該 i練習(xí)，以鞏固所學(xué)。讓學(xué)生接觸不同形式的問題, 建立起以數(shù)的眼光看式子的整體觀念，進(jìn)一步強(qiáng) I I化平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母的 i可

5、變性。 數(shù)學(xué)是什么 i新課標(biāo)提出的三維目標(biāo)中包括情感態(tài)度與價(jià)值觀 目標(biāo)。設(shè)計(jì) 幾何解釋與問題解決，目的是使學(xué)生 看到數(shù)學(xué)中的公式反映了實(shí)際問題中的客觀關(guān) I系，糾正偏見一一“數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、 i規(guī)定，沒有什么實(shí)際意義?！边M(jìn)而，使學(xué)生感受到 I 學(xué)了數(shù)學(xué)公式，可以解決實(shí)際問題，體會(huì)到數(shù)學(xué) 的應(yīng)用價(jià)值，并培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，促使 學(xué)生構(gòu)建起正確的數(shù)學(xué)觀。 畫龍點(diǎn)睛 強(qiáng)調(diào)平方差公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不變性，字母 的可變性；指出學(xué)習(xí)此公式的用途；通過問題 (a ! I + b+ c)( a+ b - c) = ?進(jìn)一步化解“結(jié)構(gòu)的不變 i性，字母的可變性這一難點(diǎn)，并為下一節(jié)內(nèi)容 I I的學(xué)習(xí)

6、埋下伏筆。 i L 牛刀小試 I第1題是為了鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，使學(xué)生達(dá) I到正用公式的水平；第 2題是為學(xué)生提供更大的 i思維發(fā)展空間，是把課內(nèi)知識(shí)延伸到課外，用所 i學(xué)的平方差公式解決“等周問題，以培養(yǎng)學(xué)生的 I問題解決能力和數(shù)學(xué)探究能力。 (七)教學(xué)過程 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 教師 活動(dòng) 學(xué)生 活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 1.速 在一次智力搶答賽中，主持人提供了兩道題。 教師 學(xué)生 通過“速算王的絕招” 算王 第 1 題：21 X 19 = ? 第 2 題：103X 97= ? 講故 聽故 這一故事的情境創(chuàng) 的絕 主持人話音剛落，就立刻有一個(gè)學(xué)生刷地站起來(lái) 事， 事， 設(shè)，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的 招 搶答

7、說(shuō)：“第1題等于399，第2題等于9991?！?激發(fā) 思 興趣，同時(shí)激發(fā)學(xué)生 (約 其速度之快，簡(jiǎn)直就是脫口而岀。同學(xué)們，你知 學(xué)生 考。 的好奇心和求知欲， 1分 道他是如何計(jì)算的嗎？你想不想掌握他的簡(jiǎn)便、 的學(xué) 順利引入新課。 鐘) 快速的運(yùn)算招數(shù)呢？ 習(xí)欲 望。 2 .動(dòng) (1)現(xiàn)有兩個(gè)數(shù)，不知其大小，請(qǐng)你隨意用兩 教師 學(xué)生 讓學(xué)生運(yùn)用前面已掌 手操 個(gè)字母來(lái)表示這兩個(gè)數(shù)； 發(fā)岀 動(dòng)手 握的三個(gè)乘法法則， 作 (2 )請(qǐng)把這兩個(gè)數(shù)的和與差分別表示岀來(lái)。這 指令 操作 自己動(dòng)手演算，積極 (約 兩個(gè)式子是多項(xiàng)式還是單項(xiàng)式？ 引導(dǎo) 演 思考，嘗試數(shù)學(xué)表述， 4分 (3)請(qǐng)將所得的和與差相乘

8、并化簡(jiǎn)； 學(xué)生 算， 為后面的抽象概括做 鐘) (4)請(qǐng)思考：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘 操 思考 好準(zhǔn)備。 積等于什么？(讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言描述岀來(lái)) 作。 表 達(dá)。 3 .抽 教師同時(shí)請(qǐng)三名學(xué)生板演不同的操作演算形式： 教師 學(xué)生 通過三個(gè)不同刺激模 象概 2 2 (x + y)(x y) = x y 引導(dǎo) 比較 式，由特殊到一般， 括 2 2 (m + n)(m - n) = m n 學(xué)生 分析 師生共同抽象概括岀 (約 2 2 (c + d)(c - d) = c - d 比較 三種 平方差公式，發(fā)揮教 3分 三位同學(xué)所用的字母，所得的結(jié)果完全不同！請(qǐng) 分析 形式 師的主導(dǎo)作用，學(xué)生

9、 鐘) 問：他們的結(jié)果真的沒有一點(diǎn)共同之處嗎？引導(dǎo) 三種 的異 的主體作用，培養(yǎng)學(xué) 學(xué)生橫向比較三個(gè)結(jié)果，抽象概括岀它們的共同 形式 同， 生的抽象概括能力。 結(jié)構(gòu)：“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積等于 的異 歸納 這兩個(gè)數(shù)的平方之差?！?同。 總結(jié) 它就是整式乘法的一個(gè)乘法公式一一平方差公 其共 式 性。 (formula for the differenee of squares ): 2 (a + b)(a - b) = a - 2 b 4 .公 式運(yùn) 用 (約 10分 鐘) 例1運(yùn)用平方差公式計(jì)算: (1) (2) (P + q)(P - q) (3x + 2)( 3x 2) , 1

10、1 (x + 2y)( _ x - 2y) (b + ae)( ac - b) 引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別岀它們都是兩個(gè)數(shù)的和與這 (4) 分析： 兩個(gè)數(shù)的差的乘積的形式。 教師 學(xué)生 引導(dǎo) 思考 學(xué)生 問 以數(shù) 題。 的眼 光去 看式 子， 1.根據(jù)變式理論，設(shè)計(jì) 了不同形式類型的典 型例題，強(qiáng)化平方差 公式的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu) 的不變性，字母的可 變性。 2.這組練習(xí)主要是要 考查學(xué)生有沒有掌握 下面各式的計(jì)算對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)，應(yīng)當(dāng)怎樣改 正？ (1) (X + 2)( x - 2) = X2 - 2 (2) (- 3a- 2)( - 3a- 2) = (- 3a)2- 22= 9a2- 4 5. 算 的 密

11、 ( 惑傳 道) (約 1分 鐘) 6 .意 猶未 盡 (約 8分 鐘) 什么 (約 8分 鐘) 103 X 97= ? 解：103 X 97 (100 + 3)(100 3) 1002- 32 9991 課堂練習(xí)：P153練習(xí)第2題 運(yùn)用平方差公式計(jì)算： (1) (2) (3) (4) (a+ 3b)( a - 3b) (3 + 2a)(- 3 + 2a) 51 X 49 (3x + 4)( 3x 4) (2x + 3)( 3x 2) 有人說(shuō)，數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定，沒有 什么實(shí)際意義！請(qǐng)問數(shù)學(xué)真的沒有什么實(shí)際意義 嗎？請(qǐng)看下面的問題： 1.幾何解釋： (1 )請(qǐng)表示圖(1)中陰影部分

12、的面積。 (2 )將陰影部分拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形，見圖 這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少？你能表示岀 它的面積嗎？ (3)比較前兩問的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？ a* a b I 1. 3 1 1 g b 1 1 IXF I (i) (2) (a + b)(a - b)。 -b2。 S 陰=a2 - b2， S 陰= (a + b)(a - b) = a2 - 還有人說(shuō)，學(xué)了數(shù)學(xué)沒有用？果真如此嗎？請(qǐng) 并進(jìn) 行分 析講 解。 教師 引導(dǎo) 講 解。 教師 巡視 觀 察， 進(jìn)行 個(gè)別 輔 導(dǎo)。 考。 學(xué)生 自己 思考 做 題。 平方差公式的結(jié)構(gòu)。 呼應(yīng)“速算王的絕招” 這一部分，解答學(xué)生 心中的疑惑，彌合學(xué) 生

13、心中的“缺口” ，讓 他們體會(huì)到平方差公 式的威力。 根據(jù)桑代克的練習(xí)律 與斯金納的強(qiáng)化原理 設(shè)計(jì)該練習(xí)，以鞏固 所學(xué)?？梢宰寣W(xué)生接 觸不同形式的問題， 建立起以數(shù)的眼光看 式子的整體觀念，進(jìn) 一步強(qiáng)化平方差公式 的本質(zhì)，即結(jié)構(gòu)的不 變性，字母的可變性。 教師 學(xué)生 新課標(biāo)提岀的三維目 引導(dǎo) 觀察 標(biāo)中包括情感態(tài)度與 分 思考 價(jià)值觀目標(biāo)。 析， 領(lǐng) 設(shè)計(jì)幾何解釋，目的 講解 演 示。 悟。 是使學(xué)生看到數(shù)學(xué)中 的公式反映了實(shí)際問 題中的客觀關(guān)系，糾 正“數(shù)學(xué)只是一些枯 燥的公式、規(guī)定，沒 有什么實(shí)際意義”這 樣的偏見。 看: 6.25平方 多少？ 解：如圖，原花園的面積 S= a2。 修改后

14、的花園面積如圖 + 2.5)( a 2.5) = a2 2.52) = 2.52 -6.25(m2)。 答：修改后的花園面積比修改前少了 米。 2.問題解決： 宏業(yè)住宅小區(qū)的花園，起初被設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)為 a米 的正方形，后因道路的原因，設(shè)計(jì)修改為：北邊 往南平移2.5米，而東邊往東平移 2.5米。試問 修改后的花園面積和原先設(shè)計(jì)的花園面積相差 1 a 1 (3 J (2)所示，其面積 S后 2.52。所以，S S 后=a2 (a 2、 (a 2 4 鐘) 1 .平方差公式的本質(zhì)：(a+ b)(a b) = a2 b2。 (1) 結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定不變的，即只要是兩個(gè)數(shù)的和 與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積，就一定等于

15、這兩個(gè)數(shù)的 平方之差。 (2) 公式中的字母 a和b卻可以變臉！可以是 其他字母；可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；可以是 單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。 2我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)習(xí)平方差公式，學(xué)了它我們 能做什么呢？ 在進(jìn)行某些乘法運(yùn)算時(shí)，利用平方差公式，可以 進(jìn)行簡(jiǎn)便、快速運(yùn)算。 計(jì)算：(a + b+ c)( a + b c) = ? 解：(a+ b+ c)( a + b c) =(a + b) + c( a + b) c =(a+ b)2 c2。 那么如何計(jì)算(a + b)2= ?也就是說(shuō)，如何計(jì)算兩 數(shù)和的完全平方呢？讓我們共同期待下一次數(shù) 學(xué)課的到來(lái)！ 家庭作業(yè)：P156 1運(yùn)用平方差公式計(jì)算： (2)

16、(3) / 2 2 (3X y)(3X + y) (xy + 1)( xy - 1) (2a 3b)( 3b + 2a) 教師 引導(dǎo) 分 析， 講解 演 示。 思 觀 察。 教師 學(xué)生 引導(dǎo) 思考 總 體 結(jié)。 會(huì)。 教師 學(xué)生 啟發(fā) 識(shí)另y 學(xué)生 岀這 以數(shù) 是兩 的眼 數(shù)和 光看 與這 字母 兩數(shù) 式 差的 子。 乘積 的結(jié) 構(gòu)。 教師 學(xué)生 布置 認(rèn)真 作 記 業(yè)。 錄。 設(shè)計(jì)問題解決的目 的，一是培養(yǎng)學(xué)生的 問題解決能力；二是 使學(xué)生知道，學(xué)了數(shù) 學(xué)公式，可以用來(lái)解 決實(shí)際問題，從而體 會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià) 值，并構(gòu)建起正確的 數(shù)學(xué)觀。 讓學(xué)生看到公式的本 質(zhì)所在，能突破公式 字面意義的局限性， 建立起較高層次的有 意義條件反射，而不 是機(jī)械的記憶公式。 點(diǎn)明學(xué)習(xí)平方差公式 的必要性。 進(jìn)一步化解“結(jié)構(gòu)的 穩(wěn)定性，字母的可變 性”這一難點(diǎn)，并為 下一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)埋 下伏筆。 由淺入深的練習(xí)和靈 活的變式練習(xí)，能夠 強(qiáng)化本節(jié)課所學(xué)的知 識(shí)。 (1) 業(yè)) (約 1分 鐘) (4) (- 2b- 5)( 2b - 5) (5) 2001X1999 (6) 998X1002 2.數(shù)學(xué)探究一一等周問題 宏業(yè)住宅小區(qū)的花園，起初被設(shè)計(jì)為邊長(zhǎng)為a米 教師 學(xué)生 該環(huán)節(jié)為學(xué)生提供更 的正方形，后因道路的原因，設(shè)計(jì)修改為：北邊 解釋 思考 大的