微積分試題與答案6套

1、微積分試題(A卷).填空題(每空2分,共20分)1. 已知lim f (x) A,貝V對(duì)于0,總存在S 0,使得當(dāng)x 1時(shí)，恒有丨？(X) A | e2. 已知 limb-5 2，則 a =, bn 3n 23. 若當(dāng)xx0時(shí)，與 是等價(jià)無(wú)窮小量，則limx x04. 若f (x)在點(diǎn)x = a處連續(xù)，則lim f (x)x a5. f (x)ln( arcs in x)的連續(xù)區(qū)間是 6.設(shè)函數(shù)y =? (x)在xo點(diǎn)可導(dǎo)，貝UmoHh7.曲線y = x + 2x 5上點(diǎn)M處的切線斜率為6,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為8. d( xf (x)dx) 9.設(shè)總收益函數(shù)和總成本函數(shù)分別為2R 24Q 2Q，C2

2、Q 5，則當(dāng)利潤(rùn)最大時(shí)產(chǎn)量Q是單項(xiàng)選擇題(每小題2分,共18分)1.若數(shù)列刈在a的鄰域(a- , a+ )內(nèi)有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則(A)數(shù)列Xn必有極限，但不一定等于a(B)定不存在2.設(shè) f (x)1 arctg貝 U x1為函數(shù)f (x)的(x 1(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)定等于a(C)數(shù)列 xn的極限不一定存在(D)數(shù)列Xn極限存在，且數(shù)列Xn的極)(C)無(wú)窮型間斷占八、(D)連續(xù)占八、3. lim(1X(A)e24.1、3x 1)X(D)對(duì)需求函數(shù)(B)e3p5，需求價(jià)格彈性EdOO(C)時(shí),需求量減少的幅度小于價(jià)格提高的幅度。(B)(C)(A) 3(D) 105.假設(shè) lim f (

3、x)X X00, lim g(x)0;X X0f（X）, g （x）在點(diǎn)Xo的某鄰域內(nèi)（Xo可以除外）存在，又a是常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）。6.曲線 f (x) x3ax2 bx a2的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)是（(A)若limf(x)a或，則limf (X)a或XX。g(x)XXqg (X)(B)若limf (X)a或，則limf(x)a或X X0g(x)X X0 g(x)(C)若limf (X)不存在，則lim -f (X)才不.存在X X0g (X)xXqg(x)(D)以上都不對(duì)只有垂直漸近線；既有水平漸近線,(A) 0(B)1(C) 2(D) 37.曲線 y 4X 12(x 2)（A）只有水平漸近

4、線；（B）（C）沒(méi)有漸近線；（D）又有垂直漸近線8.假設(shè)f （X）連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)圖形如右圖所示，則f（x）具有（A）兩個(gè)極大值一個(gè)極小值（B）兩個(gè)極小值一個(gè)極大值（C）兩個(gè)極大值兩個(gè)極小值（D）三個(gè)極大值一個(gè)極小值9.若？（x）的導(dǎo)函數(shù)是x 2，則？（X）有一個(gè)原函數(shù)為（）.下載可編輯 .(A) In x(B)In x ；(C)x(D)計(jì)算題(共36分)1.求極限lim 1x 0x .1 x(6分)2.求極限limx1(ln x)x (6 分)sin2x3.設(shè) f (x)xa.1xsi nx0，求a ,b的值，使f (x)在(-g, +s)上連續(xù)。(64.設(shè)ex yxy1，求x 0 ( 6 分

5、)5.求不定積分xe 2xdx(6分)6.求不定積分1四利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)列表分析函數(shù)y2的幾何性質(zhì)，求漸近線，并作圖。(14分)1 x五.設(shè)f(x)在0, 1上連續(xù)，在(0, 1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0) f (1) 0, f(2)1，試證：(1) 至少存在一點(diǎn)(寺1)，使f()；(2) 至少存在一點(diǎn)(0,)，使f ( ) 1 ;(3) 對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在X。(0,)，使得f (x。)f(x。)x。 1。(12分)微積分試題（B卷）一.填空題（每空3分,共18分）b10. f x b dx a11.e 2xdx012.關(guān)于級(jí)數(shù)有如下結(jié)論:1 若級(jí)數(shù) un un 0收斂，則發(fā)散.n1n 1 Un1 若級(jí)數(shù)

6、 un un 0發(fā)散，則收斂.n 1n 1 Un若級(jí)數(shù) Un和 Vn都發(fā)散，則n 1n 1(Unn 1Vn）必發(fā)散.若級(jí)數(shù) Un收斂,n 1Vn發(fā)散，則（Un Vn）必發(fā)散.n 1n 1級(jí)數(shù) kUn （ k為任意常數(shù)）與級(jí)數(shù)n 1Un的斂散性相同n 1寫(xiě)出正確結(jié)論的序號(hào). 13.設(shè)二元函數(shù) z xex y (x 1) ln 1 y，貝Vdz(1,o).14. 若D是由x軸、y軸及2x + y- 2 = 0圍成的區(qū)域，貝Udxdy .D15. 微分方程xy y 0滿足初始條件y（1）3的特解是.二.單項(xiàng)選擇題（每小題3分,共24分）x10.設(shè)函數(shù)f（x） o（t 1）（t 2）dt，則f（x）在

7、區(qū)間-3 , 2上的最大值為（）.2 10(A)-(B)10(C) 1(D) 43 3y2）2d ，其中11. 設(shè) Ii cos x2 y2d , 12 cos(x2 y2)d , I3cos(x2DDDD (x, y)x2y21，則有()(A) I1 I2 I3(B)131211(C)121113(D)13111212.設(shè) Un0,n1,2,3，若 Unn 1發(fā)散,1)Un收斂，則下列結(jié)論正確的是().(A) U2n 1 收斂， U2n 發(fā)散 (B)n 1n 1U2n收斂， U2n 1發(fā)散n 1n 1(C) (U2n 1 U2n)收斂Q)n 1(U2n 1 U2n)收斂n 1是f （x, y

8、）在該點(diǎn)可微的（）13.函數(shù)f （x, y）在點(diǎn)P（x, y）的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),條件.（A）充分非必要（B）必要非充分（C）充分必要（D）既非充分又非必要16.設(shè) F(x)esint sintdt，則 F (x)xcosl nx(A) xyy(B)xy Inx y3x(ln x 1)，In x(C) (2yx)y y2x(D)(x21)yxy 2015.設(shè)級(jí)數(shù)an絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)(1 一)an（）.n 1n 1n14.下列微分方程中，不屬于一階線性微分方程的為（）（A）發(fā)散 （B）條件收斂（C）絕對(duì)收斂（D）不能判定斂散性散17.設(shè) uf (x y,y z, tz），則一uu u (

9、 )xyzt(A)2f1(B)2f2(C)2f3(D) 0為負(fù)常數(shù) （C）恒為零 （D） 不為常數(shù)（A）為正常數(shù)（B）四.計(jì)算下列各題（共52分）1.2cosx cos3 x dx (5 分)72.求曲線y x22x, y 0, x 1, x 3所圍成的平面圖形的面積.（6 分）3.已知二重積分x2d ，其中D由y 11 x2, x 1以及y 0圍成.D（I ）請(qǐng)畫(huà)出D的圖形，并在極坐標(biāo)系下將二重積分化為累次積分；（3分）（n）請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系下分別用兩種積分次序?qū)⒍胤e分化為二次積分；（4分）（川）選擇一種積分次序計(jì)算出二重積分的值（4分）4.設(shè)函數(shù)u f x,y,z有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z x,

10、y是由方程 xez yey zez所確定的二元函數(shù)，求，及du . （8分）x y5.求幕級(jí)數(shù)n 2n（J x的收斂域及和函數(shù)2nS(x).(8 分)6.求二元函數(shù)f （x, y） （x2y）e2y的極值(8 分)7.求微分方程y 2 ye 2x的通解，及滿足初始條件f (0)1, f (0)0 的特解.(6五.假設(shè)函數(shù)f （x）在a, b 上連續(xù)，在（a, b）內(nèi)可導(dǎo)，且f （x）0,記1XF(x)f(t)dt，證明在(a, b)內(nèi) F (x)0. (6 分)x a a微積分試卷（C）填空題（每空2分,共20分）1.數(shù)列Xn有界是數(shù)列Xn收斂的 條件。2.若2y sin x,則dy。3.函數(shù)

11、yX,x 0是第類間斷點(diǎn)，且為tanx間斷點(diǎn)。ax4.右 lim-b 3，則 a -,b =。X 1 x15. 在積分曲線族 2xdx中，過(guò)點(diǎn) （0 ,1 ） 的曲線方程6函數(shù) f（x） X 在區(qū)間1,1上羅爾定理不成立的原因X t7.已知 F(x) oe dt，則 F (x)P8.某商品的需求函數(shù)為Q 12-2 EQ則當(dāng)p = 6時(shí)的需求價(jià)格彈性為EP二 單項(xiàng)選擇題（每小題2分,共12分）1.若 lim 3，則 lim -X X。 (X X0(A)-2(B) 012(D)332.在X 1處連續(xù)但不可導(dǎo)的函數(shù)是（(A)y1(B) yX 1(D)y(x 1)23.在區(qū)間（-1，1）內(nèi)，關(guān)于函數(shù)f

12、（x） .1（A）.下載可編輯）。(C)X 12(C) y In(x 1)X2不正確的敘述為（)連續(xù)(C)有最大值，且有最小值(D)最小值4.當(dāng)x 0時(shí)，sin2x是關(guān)于x的（）。(A)同階無(wú)窮小(B)低階無(wú)窮小(C)（B）有界（D）等價(jià)無(wú)窮小有最大值，但無(wú)高階無(wú)窮小(0,)(C)。55曲線y x x3在區(qū)間（）內(nèi)是凹弧（A） （，0）（B）（D）以上都不對(duì)6.函數(shù)ex與ex滿足關(guān)系式（(A) exex(B)xe ex(C)xe exx(D) e ex三計(jì)算題（每小題7分,共42分）1.求極限lim空。x 0 1COSX2.求極限lim 2nnxsin（x為不等于0的常數(shù)）。2n3.求極限li

13、mx2xxo4. 已知 y 1 xey，求 y x 0 及 y x 05. 求不定積分Sin；xdx o、x6. 求不定積分xln(x 1)dx ox 1四已知函數(shù)y 廠，填表并描繪函數(shù)圖形。（14分）x定義域yy單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減區(qū)間極值點(diǎn)極值凹區(qū)間凸區(qū)間拐點(diǎn)漸近線圖形：五.證明題（每小題6分,共12分）1.設(shè)偶函數(shù)f （x）具有連續(xù)的二階導(dǎo)函數(shù)，且f（X） 0。證明：x 0為f （x）的極值點(diǎn)。2就k的不同取值情況，確定方程x勞nx k在開(kāi)區(qū)間（0，?）內(nèi)根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。微積分試卷（D卷）、單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題3分，共15分）:1.函數(shù)f (x, y)在x,yx, y處

14、的偏導(dǎo)數(shù)存在是在該處可微的）條件。A.充分;B.必要;C.充分必要;D.無(wú)關(guān)的.2.函數(shù)z ln3 亠y 在(1, 1)處的全微分dz (A. dx dyB. 2 dxdy ;C. 3 dxdy ; D. 32dxdy .3.設(shè)D為:R2A. R2 ;B. 2R2;重積分的值,DC. - R3;3x2 y2 dxdy=D.2R4.4.微分方程y4y5ye % sin x的特解形式為（）A ae xbsin xxaebcosxcsinxC axebsin x ;xaxebcosxcsin x .5.下列級(jí)數(shù)中收斂的是（B.C.D.1sin1 n二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15 分）:

15、1 -Jx2-dxf(X)（x（t1)(t已知函數(shù)zxy(x1.2）dt，則在區(qū)間-22.3.4.微分方程1 V2,3上 f (x)在 x(-1）處取得最大值。5.幕級(jí)數(shù)n0)，則- =x4x3y在初始條件yx 04下的特解是：y三101討1的收斂半徑是：R =三、計(jì)算下列各題 （本題共5小題，每小題8分，共40分）：1.已知z f （x y,xy），其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2已知x in蘭，求上，土。z y x y3.改換二次積分2dxo2 2siny dy的積分次序并且計(jì)算該積分。x4.求微分方程y4y 3y 0在初始條件yx0 6, yx0 10下的特解。5.曲線C的方程為yf(x)

16、，點(diǎn)(3,2)是其一拐點(diǎn)，直線l1,l2分別是曲線C在點(diǎn)(0,0)與(3,2)處的切線，其交點(diǎn)為(2,4)，設(shè)函數(shù)f(x)具有三階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算(xx) f (x )dx。四、求幕級(jí)數(shù)(n 1x2n1)n的和函數(shù)s(x)及其極值(10 分)。五、解下列應(yīng)用題 (本題共2小題，每小題10分，共20分)：311.某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的產(chǎn)量 Q x, y100x4y4，其中x為勞動(dòng)力人數(shù)，y為設(shè)備臺(tái)數(shù)，該企業(yè)投入 5000萬(wàn)元生產(chǎn)該產(chǎn)品，設(shè)招聘一個(gè)勞動(dòng)力需要15萬(wàn)元，購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)設(shè)備需要25萬(wàn)元，問(wèn)該企業(yè)應(yīng)招聘幾個(gè)勞動(dòng)力和購(gòu)買(mǎi)幾臺(tái)設(shè)備時(shí)，使得產(chǎn)量達(dá)到最高？2.已知某商品的需求量 Q對(duì)價(jià)格P的彈性 2P2，而市場(chǎng)

17、對(duì)該商品的最大需求量為10000件，即Q (0)=10000, 求需求函數(shù) Q ( P )。微積分試卷(E卷)、單項(xiàng)選擇題 (每小題3分，共18分)21.設(shè)函數(shù)f xX ； X 1在x 1處可導(dǎo)，則ax b;x 1A.a 0,b1B. a 2,b1 C.3,b2 d.a 1,b22.已知f x在x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且0,lim x 01 cosx2，則在xf x滿足(A.不可導(dǎo)B.可導(dǎo) C.取極大值D.取極小值3.若廣義積分dx收斂，則(In x4.5.A. k 1limx0 B.x 0時(shí),B.C.cosx是關(guān)于C.D.不存在D.以上都不對(duì)A.同階無(wú)窮小6.函數(shù)x2的(B.低階無(wú)窮小.C.高階

18、無(wú)窮小.D.等價(jià)無(wú)窮小.f(x)具有下列特征：f(0) 1, f (0)0，當(dāng) x 0 時(shí)，f (x) 0, f (x)0f (x)的圖形為(則3分，共18 分)二、填空(每小題)?！皊in xlim 廠。xX2.1 .1 x2dx1 3.已知f（X。）存在，則|imh 0f(x。 h) f(xo h)h4設(shè) y ln(x 1)，那么 y(n)(x)5.ddx0 t22 e dtx6 某商品的需求函數(shù) Q 75 P2，則在P= 4時(shí)，需求價(jià)格彈性為，收入對(duì)價(jià)格的彈性是ER5分，后四小題每題 6共44分）EP三、計(jì)算（前四小題每題xlimxarcta ntdt 0x22xlimxe3. xln

19、xdx1,dx4.廠x(1 x )5求由yetdtxcostdt 0所決定的隱函數(shù)y yx的導(dǎo)數(shù)y.00dxsin x6已知 是f(x)的原函數(shù)，求 xf (x)dx。x7求由曲線y x3與x 1,y 0所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。8.求曲線y2x與直線y kx 1所圍平面圖形的面積，問(wèn)k為何時(shí)，該面積最小?X(-m, -2)-2(-2 , -1 )(-1 , 0)0(0,+ g)y+0一一0+y一一一+y/, n極大值-4, n, U極小值0/, U1;斜漸近線:垂直漸近線：X繪圖，描幾個(gè)點(diǎn)(2, 4), (0,0), (1,2四、（A類12分）列表分析函數(shù)y J 函數(shù)的

20、單調(diào)區(qū)間、 凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并作出 1 X函數(shù)圖形。解：（1）函數(shù)的定義域 D:（,1)(1,），無(wú)對(duì)稱性;2、X2x一 y(1x)20,得 X12, X20y(2x2)(1x)2 2(x22x)(1x)2y1 x 4(1 x)3列表:（B類12分）列表分析函數(shù)y ln（12x ）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間等幾何性質(zhì)，并作出函數(shù)圖形。解：函數(shù)定義域 D:(- a, +8), 2x20 ,得 x 01 x2偶函數(shù)關(guān)于 Y軸對(duì)稱; 繪圖，描幾個(gè)點(diǎn)：(0, 0), (-1 , In2 ) , (1, In2 )1X130,得 X12(1 x2) 2x 2x 2(1五、（B類8分）設(shè)f x連續(xù)，證明

21、：xuxft dt dux u f u du0 00證明：令x uxF(x)f(t)dt0 0G(x) 0(x u)f(u)du 只需證明 F (x) G (x) (3 分)F (x)x0 f(t)dtG(x)xxx f (u)duuf (u)duG(x)x0f(u)duxxf (x) xf(x) 0 f (u)du所以 F (x) G (x)(8 分)(A類8分)設(shè)f(x)在a, b 上連續(xù)在(a ,b )內(nèi)可導(dǎo)且f (x)01 xF(x)a f(t)dt，x (a,b)x a a試證(1) F (x)在(a ,b )內(nèi)單調(diào)遞減 0 F(x) f(x) f(a) f(b)證(1)x(x a)

22、 f (x) a f (t)dt(x a)2積分中值定理(x a)f(x) f( 8(x a)F (x)(a,x)f(x) f( E)x a(x a)2由f (x) 0知f (x)單調(diào)減，即在(a ,b )內(nèi)當(dāng)?shù)脁 時(shí)有 f (x) f()又(x a) 0 可F (x)0.即F (x)在(a ,b )內(nèi)單調(diào)減.1 x(2)因 F(x) f (x)f(t)dt f (x)x a a積分中值定理f( E f(x) 0又由f(x)單調(diào)減知，f(a)f( ) f(x) f(b)于是有0 F(x) f(x) f(a) f(b)微積分試卷（F卷）、單項(xiàng)選擇題 （每小題3分，共2x ; xax b; x1.設(shè)函數(shù)f xA.a 0, bB. a18 分)1在x 1處可導(dǎo)，則（12,b1C.a 3,bD.a 1,b2A.同階無(wú)窮小.B .低階無(wú)窮小.C.高階無(wú)窮小.D若廣義積分dxk收斂，則（)2x l n xA. k 1B.k1C