八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第一章三角形的證明1.1.3等腰三角形課件新版北師大版 (2

1、八年級(jí)數(shù)學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)下下 新課標(biāo)新課標(biāo) 北師北師 第一章第一章 三角形的證明三角形的證明 學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知檢測(cè)反饋檢測(cè)反饋 1 課堂講解課堂講解 u等腰三角形的判定等腰三角形的判定 u反證法反證法 2 課時(shí)流程課時(shí)流程 逐點(diǎn)逐點(diǎn) 導(dǎo)講練導(dǎo)講練 課堂課堂 小結(jié)小結(jié) 作業(yè)作業(yè) 提升提升 1 1、等腰三角形是怎樣定義的？、等腰三角形是怎樣定義的？ 有兩條邊相等的三角形有兩條邊相等的三角形, ,叫做等腰三角形叫做等腰三角形. . 等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形. . 等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊 上的高重合上的高重合( (也稱(chēng)為也稱(chēng)

2、為“三線(xiàn)合一三線(xiàn)合一”).). 等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等( (簡(jiǎn)寫(xiě)成簡(jiǎn)寫(xiě)成 “等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角”) ) . . 2 2、等腰三角形有哪些性質(zhì)？、等腰三角形有哪些性質(zhì)？ D D A A B BC C 既是性質(zhì)又既是性質(zhì)又 是判定是判定 1知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定等腰三角形的判定 思考思考 我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等， 那么它們所對(duì)的角相等那么它們所對(duì)的角相等. . 反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)三角反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)三角 形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？ 如圖，在如圖，在ABC

3、中，中，B=C. 作作ABC的角平分線(xiàn)的角平分線(xiàn)AD. 在在BAD和和CAD中，中， 1=2， B=C ， AD=AD, BAD CAD (AAS). AB=AC. 歸歸 納納 由上面推證，我們可以得到等腰三角由上面推證，我們可以得到等腰三角 形的判定方法：形的判定方法： 如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等.那么這那么這 兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成 “等角對(duì)等角對(duì) 等邊等邊”). 1判定定理：判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角腰三角 形形(簡(jiǎn)稱(chēng)等角對(duì)等邊簡(jiǎn)稱(chēng)等角對(duì)等邊) 應(yīng)用應(yīng)用格式：在格式：在ABC中，中，BC,

4、ABAC. 2等腰三角形的判定與性質(zhì)的異同等腰三角形的判定與性質(zhì)的異同 相同點(diǎn)：相同點(diǎn)：都是在一個(gè)三角形中都是在一個(gè)三角形中； 區(qū)別區(qū)別：判定是由角到邊，性質(zhì)是由邊到角判定是由角到邊，性質(zhì)是由邊到角 即：即： 性性質(zhì)質(zhì) 判判定定 等等邊邊等等角角 例例2 已知已知：如：如圖，圖，ABDC，BDCA，BD與與CA 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E. 求證：求證：AED是是等腰三角形等腰三角形. ABDC，BDCA，ADDA， ABD DCA ( SSS ). ADBDAC (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等). AEDE (等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊). AED是等腰三角形是等腰三角形. 證明：證明：

5、總總 結(jié)結(jié) 本題運(yùn)用了本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想，將要證的兩角相等利用等，將要證的兩角相等利用等 角的余角相等轉(zhuǎn)化為證其余角相等；對(duì)頂角這一隱含角的余角相等轉(zhuǎn)化為證其余角相等；對(duì)頂角這一隱含 條件在推導(dǎo)角的相等關(guān)系中起了關(guān)鍵的橋梁作用條件在推導(dǎo)角的相等關(guān)系中起了關(guān)鍵的橋梁作用 1如圖，在如圖，在ABC中，中，BD平分平分ABC，交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)D， 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)D作作BC的平分線(xiàn)，交的平分線(xiàn)，交AB于點(diǎn)于點(diǎn)E，請(qǐng)判斷，請(qǐng)判斷BDE 的形狀，并說(shuō)明理由的形狀，并說(shuō)明理由. 解：解：BDE為等腰三角形為等腰三角形 理由如下：因?yàn)槔碛扇缦拢阂驗(yàn)锽D平分平分ABC， 所以所以ABDDBC. 因?yàn)橐驗(yàn)镈EB

6、C，所以，所以EDBDBC. 所以所以EBDEDB. 所以所以EBED. 故故BDE為等腰三角形為等腰三角形 2在在ABC中，中，A和和B的度數(shù)如下，能判定的度數(shù)如下，能判定ABC 是等腰三角形的是是等腰三角形的是() AA50，B70 BA70，B40 CA30，B90 DA80，B60 B 3如圖，如圖，BC36，ADEAED72， 則圖中的等腰三角形有則圖中的等腰三角形有() A3個(gè)個(gè) B4個(gè)個(gè) C5個(gè)個(gè) D6個(gè)個(gè) D 4如圖，在如圖，在ABC中，中，BD平分平分ABC，EDBC， 已知已知AB3，AD1，則，則AED的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為() A2 B3 C4 D5 C 5如圖，在如圖，在A

7、BC中，中，ABAC，BD是是AC邊上的邊上的 高，高，CE是是AB邊上的高，它們相交于點(diǎn)邊上的高，它們相交于點(diǎn)O，則圖，則圖 中除中除ABC外一定是等腰三角形的是外一定是等腰三角形的是() AABD BACE COBC DOCD C 6已知已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為的三邊長(zhǎng)分別為4，4，6，在，在ABC 所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線(xiàn)，將所在平面內(nèi)畫(huà)一條直線(xiàn)，將ABC分割成兩個(gè)三分割成兩個(gè)三 角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直 線(xiàn)最多可畫(huà)線(xiàn)最多可畫(huà)() A3條條 B4條條 C5條條 D6條條 B 7如圖，一艘輪船在如圖，一艘輪船在A處測(cè)得燈塔處測(cè)得燈塔P

8、位于其北偏東位于其北偏東 60方向上，輪船沿正東方向航行方向上，輪船沿正東方向航行30 n mile到達(dá)到達(dá)B 處后，此時(shí)測(cè)得燈塔處后，此時(shí)測(cè)得燈塔P位于其北偏東位于其北偏東30方向上，方向上， 此時(shí)輪船與燈塔此時(shí)輪船與燈塔P的距離是的距離是() A15 n mile B30 n mile C45 n mile D30 n mile B 3 3 8在下列三角形中，若在下列三角形中，若ABAC，則不能被一條直，則不能被一條直 線(xiàn)分成兩個(gè)小等腰三角形的是線(xiàn)分成兩個(gè)小等腰三角形的是()B 9在平面直角坐標(biāo)系中，已知在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，2)，B(4， 0)若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C

9、，使，使ABC為等腰三角為等腰三角 形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是的個(gè)數(shù)是( ) A5 B6 C7 D8 B 2知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)反證法反證法 想一想想一想 小小明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等， 那么那么這兩個(gè)角所對(duì)的這兩個(gè)角所對(duì)的邊也邊也不不相等相等.你你認(rèn)為小明這個(gè)認(rèn)為小明這個(gè)結(jié)結(jié) 論論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？ 小小明是這樣想的明是這樣想的： 如如圖，在圖，在ABC中中，已，已 知知BC,此時(shí)此時(shí)AB與與AC要要 么么相等，要么不相等相等，要么不相等. 假設(shè)假設(shè)ABAC那么那么根據(jù)根據(jù)“等邊對(duì)

10、等等邊對(duì)等 角角”定理可得定理可得CB， 這與已知這與已知條條 件件BC相相矛盾矛盾，因此，因此 ABAC 你能你能理解他的推理過(guò)程嗎？理解他的推理過(guò)程嗎？ 歸歸 納納 小明在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，小明在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立， 然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或 已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié) 論一定成立論一定成立.這種證明方法稱(chēng)為這種證明方法稱(chēng)為反證法反證法. 1定義定義 在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與 定義、基本事實(shí)、已有

11、定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果， 從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱(chēng)為從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱(chēng)為反反 證法證法 2利用反證法證明命題的一般步驟利用反證法證明命題的一般步驟 (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；假設(shè)命題的結(jié)論不成立； (2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾； (3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確 3適宜用反證法證明的命題適宜用反證法證明的命題 反證法主要用于直接證明比較困難的命題，例如反證法主要用于直接證明比較困難的

12、命題，例如 下面幾種常見(jiàn)類(lèi)型的命題就適宜用反證法：下面幾種常見(jiàn)類(lèi)型的命題就適宜用反證法： (1)結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，如鈍角三角形中不結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，如鈍角三角形中不 能有兩個(gè)鈍角；能有兩個(gè)鈍角； (2)唯一性命題，如兩條直線(xiàn)相交只有一個(gè)交點(diǎn)；唯一性命題，如兩條直線(xiàn)相交只有一個(gè)交點(diǎn)； (3)命題的結(jié)論以命題的結(jié)論以“至多至多”“”“至少至少”等形式敘述的命等形式敘述的命 題，如一個(gè)凸多邊形中至多有題，如一個(gè)凸多邊形中至多有3個(gè)銳角個(gè)銳角 用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角. 已知：已知：ABC. 求證：求證： A、B、C中不能

13、有兩個(gè)角是直角中不能有兩個(gè)角是直角. 例例3 證明：證明： 假設(shè)假設(shè)A，B，C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè) A和和B是是 直角，即直角，即 A= 90，B = 90. 于是于是 ABC = 90 90 C 180. 這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“A和和B是是 直角直角”的假設(shè)不成立的假設(shè)不成立. 所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角. 1已知五個(gè)正數(shù)的和為已知五個(gè)正數(shù)的和為1，用反證法證明：這五個(gè)正，用反證法證明：這五個(gè)正 數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于 . 解：解： 假設(shè)這五個(gè)數(shù)均小

14、于假設(shè)這五個(gè)數(shù)均小于 ， 不妨設(shè)不妨設(shè) 則有則有 即即 這與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立這與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立. 即已知五個(gè)正數(shù)的和等于即已知五個(gè)正數(shù)的和等于1，則這五個(gè)數(shù)中至少有，則這五個(gè)數(shù)中至少有 一個(gè)大于或等于一個(gè)大于或等于 1 5 111111 51 5abcde ， 1 5 111111 0 5abcde ， 11111 1 abcde ， 2用用反證法證明反證法證明“一個(gè)三角形中至多有一個(gè)鈍角一個(gè)三角形中至多有一個(gè)鈍角” 時(shí)，應(yīng)假設(shè)時(shí)，應(yīng)假設(shè)() A一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)鈍角一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)鈍角 B一個(gè)三角形中至多有一個(gè)鈍角一個(gè)三角形中至多有一個(gè)鈍角

15、 C一個(gè)三角形中至少有一個(gè)鈍角一個(gè)三角形中至少有一個(gè)鈍角 D一個(gè)三角形中沒(méi)有鈍角一個(gè)三角形中沒(méi)有鈍角 A 3下列命題中，宜用反證法證明的是下列命題中，宜用反證法證明的是( ) A等腰三角形兩腰上的高相等等腰三角形兩腰上的高相等 B有一個(gè)外角是有一個(gè)外角是120的等腰三角形是等邊三的等腰三角形是等邊三 角形角形 C兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行，則這兩條兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行，則這兩條 直線(xiàn)互相平行直線(xiàn)互相平行 D全等三角形的面積相等全等三角形的面積相等 C 1等腰三角形的判定是把角相等轉(zhuǎn)化為邊相等，但前等腰三角形的判定是把角相等轉(zhuǎn)化為邊相等，但前 提是在同一個(gè)三角形內(nèi)提是在同一個(gè)三角形內(nèi) 2利用反證法解題的一般步驟：利用反證法解題的一般步驟： (1)假設(shè)；假設(shè)； (2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證得出與已知、定歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證得出與已知、定 理、公理等相矛盾的結(jié)果；理、公理等相矛盾的結(jié)果； (3)結(jié)論：肯定命題結(jié)論正確結(jié)論：肯定命題結(jié)論正確. 1知識(shí)小結(jié)知識(shí)小結(jié) 如圖，在等腰三角形如圖，在等腰三角形ABC中，中，ABAC，AD是是BC邊上的高，邊上的高， 求證：求證：DA