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文檔簡介

1、類題演練h正整數(shù)a與b,使得a方+ l|a2 + b2,求證：士詈是某 個正整數(shù)的平方。（1988年第29屆/M0試題）解答：根據(jù)對稱性，不妨假設abo（1）當Q = b時，土 =字2,所以只能型=1，ab+1 a2+lab+1為完全平方數(shù)；(2)當方時，令a = pb 廠,則p 2. 0 r b 1（由帶余除法知，這樣的整數(shù)卩、廠存在）。將a = pb - rR 入士，知論 =土學吐匕為正整數(shù)。ab+1 ab+1pb2-rb+l而易知br若r ：# 0,則此步驟可以一直進行下去:a = pb -r (p 2 0 r h - 1)； b = pr rr (pt 王 2, 0 r - 1)；r

2、= p2rt -r2(p22. 0 ?2 2, 0 73 ?2 - 1);Tn = Pn+24.1 E+2 (Pn+22, 0 7n+2 3時，因為(a, b) = 1,所以ab。令a = pb r貝Up 2, 1 r 2，1 r 2, 1 r - 1)；r = p2rr -r2(血二 2, 1 r2 2. 1 73 ?2 - 1);心=Pn+2 + 1 rn+2 5、7或9。將上述過程反推回去，即得到（a,力）=1時，所有滿足 條件的正整數(shù)a、b由a = 1, b = 1, k = 7,反推回去的結(jié)果為數(shù)列乙：Tt = 1, t2 = 1，rn+2 = 7心+1 - rn,其任意相鄰兩項都為

3、一組滿足題設條件的正整數(shù)。即有序正整數(shù)對：同理，由a = 2, b = 1，k = 5反推回的結(jié)果為:（Q, b）=（21_VH （5+y可）mfc）k-t-1+21+V21/5-v2142 2E21_血（5十何）k十21+何42 或2、習422_何（5+屁）十（a, b）=（21十、/藥（5r可） 22一炳（5一阿k-t-lk = 5反推回的結(jié)果為: k十 1kI 21 -VH（5r22）21+v215+V21 十21+yf214222-、方 /5-42 I，/C E JVo22-、習d4221+V21424-由q = 6, b = 1, k = 7反推回的結(jié)果為:由a = 3, b = 2, k = 3反推回的結(jié)果為:23-V5k+1（a, b）=（k 十 7c 十 1k21+4VH （5十冋） + 21-4、頁（5_v藥）2

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