§2.3.4平面向量共線坐標(biāo)表示

1、2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握兩向量平行時坐標(biāo)表示的條件；2. 熟練地應(yīng)用向量平行的條件的坐標(biāo)表示解決問題.學(xué)習(xí)過程（一）課前準(zhǔn)備1.已知 ax1, y1， bx2 , y2 ，則（ 1） a b；（ 2） a b；（ 3）a.2.已知 Ax1, y1， Bx2 , y2 ，則 AB.即：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的的坐標(biāo)減去的坐標(biāo) .3.(2008年四川卷文3) 設(shè)平面向量 a3,5 , b2,1，則 a2b( )A. 7,3B.7,7C.1,7D. 1,34. (2012年廣東卷文3) 若向量 AB(1,2), BC(3,4)；則 AC()A.(4,6)B.

2、(4, 6)C.( ,)D.( ,)5 (2008 年安徽卷文2)若 AB(2,4) ， AC(1,3) ,則 BC（）A（ 1， 1）B（ 1， 1）C（ 3，7）D （ -3,-7 ）6.預(yù)習(xí)必修 4 教材P98P100 .（二）新知學(xué)習(xí)新知 1：平面向量共線的坐標(biāo)表示1.設(shè) a ( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，其中 b0 ，若 a / /b ，則當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實數(shù)，使 ab ，如果用坐標(biāo)表示，可寫為：，即x1x2 ，消去后得 x y2xy ，y1y2121這就是說，當(dāng)且僅當(dāng)時，向量 a, b b0共線 .2.(1)若 a(2,3)， b( x, 6) ，且 a

3、/ /b ，則 x.(2)若 a(4,2)， b(6, y) ，且 a / /b ，則 y.(3)(2010年陜西卷理11) 已知向量 a2, 1 ， b1, m， c1,2 ，若 a b/ /c ，則 m.3.已知 a( 2,5) ， b2 a ，若 b 與 a 反向，則 b.1/114. 判斷下列各點的位置關(guān)系，并給出證明：(1)A(1, 1) ， B(1,3) ， C 2,5； (2)A(1,2) ， B( 3, 4) ， C 2,3.5；(3)A(1,2) ， B(0.5,0) ， C 5,6 ；(4)A(9,1) ， B(1, 3) ， C 8,0.5 .5.(2006年北京卷文9)

4、 若三點 A 2,2 ,Ba,0 , C 0,4共線，則 a 的值等于.6.(2006年北京卷理11) 若三點 A(2,2), B(a,0), C (0, b)( ab 0) 共線，則 11的值等于.ab7.(1)已知 A( 2,3) ， B(2,1) ， C 1,4， D7, 4, 試問 AB 與 CD 是否共線？(2)已知 A(0,1)， B(1,0) ， C 1,2 ， D 2,1, 試判斷 AB 與 CD 的位置關(guān)系，并給出證明 .（三）合作探究探究： 設(shè)點P是線段P1, P2( x1 , y1 )( x2 , y2 )PP上的一點，的坐標(biāo)分別是 設(shè)，1 2(1)當(dāng)點P是線段PP的中點

5、時，求點P的坐標(biāo)；1 2(2)當(dāng)點P是線段的PPP的坐標(biāo)；12 一個三等分點時，求點(3)當(dāng) PPPP 時，求點P的坐標(biāo) .122/11理論遷移：1. （ 1）若 A(2,1) ， B(4,3) ，則線段AB 的中點 C 的坐標(biāo)為；（ 2）若 A(1,2) ， B(3,6) ，則線段 AB 的中點 C 的坐標(biāo)為；（ 3）若 A(5,4) ， B(3,6) ，則線段 AB 的中點 C 的坐標(biāo)為.2. 已知點 O 0,0 ，向量 OA2,3 ， OB6, 3 , 點 P 是線段 AB 的三等分點，則點P 的坐標(biāo)為.3. 已知 A 2,3 , B 4,3 ,點 P在線段 AB的延長線上，且AP3 P

6、B ,求點 P的坐標(biāo) .2（四）課堂小結(jié)1.設(shè) a( x , y ) ， b( x , y) ，其中 b0 ，若 a / /b , 則.11222.設(shè)點 P是線段 PP 上的一點， P , P 的坐標(biāo)分別是 設(shè) ( x , y ) ， ( x , y),若PPPP ，則點P的1212112212坐標(biāo)為.3/11課后作業(yè)班級姓名得分1. （ 2013 年陜西卷文2）已知向量 a1,m , bm,2,若 a / /b , 則實數(shù) m 等于 ()A.2B.2C.2 或2D. 02.(2008年廣東卷文3) 已知平面向量 a(1,2) ， b( 2, m) ，且 a / b ，則 2a3b （）A.(

7、 5,10)B.(4, 8)C.(3,6)D.(2,4)3.已知向量 a(x,5) ， b(5, x) ，且 a, b 的方向相反，則x（）A.5B.5C.1D.14. （ 2011 年廣東卷文3）已知向量 a(1,2), b(1,0), c(3,4) ，若為實數(shù)， (ab) c ，則（）A 1B 1C 1D 2425（ 2013 年遼寧卷文 3）已知點 A 1,3 , B 4,1 ，則與向量 AB 同方向的單位向量為()A.3，-4B.4， -3C.34D.4355555，5，556.(2008年重慶卷文4) 若點 P 分有向線段 AB 所成的比為1，則點 B 分有向線段 PA 所成的比3是

8、 ( )A.-3B.- 1C.1D.32227. (2011年北京卷理10) 已知向量 a3,1 ， b0, 1 ， ck, 3 , 若 a2b 與 c 共線，則 k _.8.(2005年全國卷3 理 14) 已知向量 OAk，12， OB4，5， OCk，10 ，且 A、B、 C 三點共線，則 k.9.(2009年廣東卷理10) 若平面向量 a ， b 滿足 ab1 ， ab 平行于 x 軸， b (2,1) ，則 a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m10 (2011 年湖南卷文13) 設(shè)向量 a,b 滿足 | a |25, b(2,1), 且 a 與 b 的方向相反，則a 的坐標(biāo)為1

9、1.已知 a (3,2)， b ( 10,9) ，試問當(dāng) k 為何值時， kab 與 2a3b 平行？平行時它們同向還是反向？12. 如果向量 ABi 2 j ， BC im j , 其中 i, j 分別是 x 軸， y 軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù) m 的值使A, B,C 三點共線 .4/11 2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 掌握兩向量平行時坐標(biāo)表示的條件；2. 熟練地應(yīng)用向量平行的條件的坐標(biāo)表示解決問題.學(xué)習(xí)過程（二）課前準(zhǔn)備1. 已知 ax1, y1 ， bx2 , y2 ，則（ 1） a b；（ 2） a b；（ 3）a.2. 已知Ax1, y1 ， Bx2 , y2

10、 ，則 AB.即：一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的的坐標(biāo)減去的坐標(biāo) .3.(2008年四川卷文3) 設(shè)平面向量 a3,5 ,b2,1 ，則 a2b( A )A. 7,3B.7,7C.1,7D. 1,3【解】： a3,5 ,b2,1 a 2b3,522,134，527，3故選 C；【考點】：此題重點考察向量加減、數(shù)乘的坐標(biāo)運算；【突破】：準(zhǔn)確應(yīng)用向量的坐標(biāo)運算公式是解題的關(guān)鍵；4. (2012年廣東卷文3) 若向量 AB (1,2), BC(3,4)；則 AC()A.(4,6)B.(4,6)C.(,)D.( ,)【解析】選 AACABBC(4,6)5 (2008 年安徽卷文2)若 AB(

11、2,4) ， AC(1,3) ,則 BC（）A（ 1， 1）B（ 1， 1）C（ 3，7）D （ -3,-7 ）解：向量基本運算 BC ACAB (1,3)(2,4) (1,1)6.預(yù)習(xí)必修4 教材 P98P100 .（二）新知學(xué)習(xí)新知 1：平面向量共線的坐標(biāo)表示4. 設(shè) a ( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，其中 b0 ，若 a / /b ，則當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一實數(shù)，使 ab ，如果用坐標(biāo)表示，可寫為：，即x1x2 ，消去后得 x1 y2x2 y1，y1y2這就是說，當(dāng)且僅當(dāng)時，向量 a, b b0 共線.5/112. (1)若 a(2,3)， b( x, 6) ，且 a

12、 / /b ，則 x.(2)若 a(4,2)， b(6, y) ，且 a / /b ，則 y.(3)(2010年陜西卷理11) 已知向量 a2,1 ， b1, m ， c1,2，若 ab / /c ，則 m.解析： ab(1,m 1),由(a b) / c得12(m 1)( 1) 0 ，所以 m=-13. 已知 a(2,5) ， b2 a ，若 b 與 a 反向，則 b.4. 判斷下列各點的位置關(guān)系，并給出證明：(1) A( 1, 1) ， B(1,3) ， C 2,5 ；(2) A(1,2) ， B( 3, 4) ， C 2,3.5 ；(3) A( 1,2) ， B(0.5,0) ， C 5

13、, 6 ；(4) A(9,1) ， B(1, 3) ， C 8,0.5 .5. (2006年北京卷文9) 若三點 A 2,2 , B a,0 , C 0,4共線，則 a 的值等于.解： AB （ a 2， 2）， AC （ 2， 2），依題意，向量AB 與 AC 共線，故有 2（ a2） 40，得 a46. (2006年北京卷理11) 若三點 A(2,2), B(a,0), C (0, b)( ab0) 共線，則 11 的值等于.ab解： AB（ a2， 2）， AC（ 2， b2） ，依題意，有（a 2） （ b 2） 40即 ab 2a 2b 0 所以 11 1ab27. (1)已知 A(

14、2, 3) ， B(2,1) ， C 1,4 ， D7, 4 , 試問 AB 與 CD 是否共線？(2)已知 A(0,1) ， B(1,0) ， C 1,2 ， D 2,1 , 試判斷 AB 與 CD 的位置關(guān)系，并給出證明.（三）合作探究探究： 設(shè)點P是線段P1, P2( x1 , y1 )( x2 , y2 )PP上的一點，的坐標(biāo)分別是 設(shè)，1 2(1)當(dāng)點P是線段PPP的中點時，求點的坐標(biāo)；1 2(2)當(dāng)點P是線段的PPP的坐標(biāo)；12 一個三等分點時，求點6/1112P的坐標(biāo) .(3)當(dāng) PPPP 時，求點理論遷移：1. （ 1）若A(2,1)， B(4,3) ，則線段 AB 的中點 C

15、 的坐標(biāo)為；（ ）若A(1,2) ， B(3,6)，則線段AB的中點 C 的坐標(biāo)為；2（ 3）若 A(5,4) ， B(3, 6) ，則線段 AB 的中點 C 的坐標(biāo)為.5.已知點 O 0,0，向量 OA2,3 ， OB6, 3 , 點 P 是線段 AB 的三等分點，則點P 的坐標(biāo)為.6.已知 A2,3 ,B 4, 3 , 點 P 在線段 AB 的延長線上，且 AP3 PB ,求點P的坐標(biāo) .2（五）課堂小結(jié)3.設(shè) a( x1 , y1 ) ， b( x2 , y2 ) ，其中 b0 ，若 a / /b , 則.4.設(shè)點 P是線段 PP 上的一點， P , P 的坐標(biāo)分別是 設(shè) ( x , y

16、 ) ， ( x , y),若PPPP ，則點P的1212112212坐標(biāo)為.課后作業(yè)班級姓名得分1. （ 2013 年陜西卷文2）已知向量 a1,m , bm,2 ,若 a / /b ,則實數(shù) m 等于 ( )A.2B. 2C.2 或2D. 0答案： C解析： 由 a b 知 12 m2 0，即 m2 或2 .2.(2008年廣東卷文3) 已知平面向量 a(1,2) ， b( 2, m) ，且 a / b ，則 2a3b （）7/11A.( 5, 10)B.(4, 8)C.(3,6)D.(2,4)【解析】排除法 : 橫坐標(biāo)為 2(6)4,選 B.3. 已知向量 a(x,5) ， b(5, x

17、) ，且 a, b 的方向相反，則 x（）A.5B.5C.1D.14.（ 2011 年廣東卷文3）已知向量 a (1,2), b(1,0), c(3,4)，若為實數(shù)， (ab) c ，則（）A 1B 1C 1D 2423（ B） ab(1,2) ，由 (ab) c，得6 4(1)0 ，解得125（ 2013 年遼寧卷文3）已知點 A 1,3,B 4,1 ，則與向量 AB 同方向的單位向量為( )A.3， -4B.4， -3C.34D.4355555，5，55答案： A解析： 與向量 AB 同方向的單位向量為AB 3,43,4，故選 A.AB324 2557.(2008年重慶卷文4) 若點 P

18、分有向線段 AB 所成的比為1，則點 B 分有向線段 PA 所成的比3是 ( )A.-3B.- 1C.1D.3222【答案】 A【解析】本小題主要考查線段定比分點的有關(guān)計算。如下圖可知，B 點是有向線段PA 的外分點，|PB|3，故選 A。12|BA|2PAB7. (2011年北京卷理10) 已知向量 a3,1 ， b0,1 ， ck, 3, 若 a2b 與 c 共線，則 k_.【答案】1.【解析】 a2b (3,3) 由 a 2b 與 c 共線得 333kk1 .10. (2005 年全國卷3 理 14) 已知向量 OAk，12， OB4，5， OCk，10，且 A、 B、 C 三點共線，則

19、 k.解： AB(4k,7), AC( 2k , 2) , 由題意得 (4-k)(-2)-2k2 7=0, 解得 k=311. (2009 年廣東卷理10)若平面向量 a ， b 滿足 ab1 ， ab 平行于 x 軸， b(2,1) ，8/11則 a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m【解析】 a b(1,0) 或 ( 1,0) ，則 a (1,0)(2,1)( 1,1) 或 a ( 1,0) (2, 1)( 3,1) .10 (2011 年湖南卷文13) 設(shè)向量 a,b 滿足 | a |25, b(2,1), 且 a 與 b 的方向相反，則a 的坐標(biāo)為答案： ( 4, 2)解析：由題

20、| b |22 15 ，所以 a 2b ( 4, 2).13. 已知 a (3,2) ， b( 10,9) ，試問當(dāng) k 為何值時， kab 與 2a3b 平行？平行時它們同向還是反向？14. 如果向量 ABi 2 j ， BC im j , 其中 i, j 分別是 x 軸， y 軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù) m 的值使A, B,C 三點共線 .4 (2009 年重慶卷文 4)已知向量 a (1,1),b(2, x) ，若 ab 與 4b2a 平行，則實數(shù)x 的值是 ( )w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA 2B 0C1D 2【答案】 D解法 1：因為 a(1,1),b(2, x)

21、，所以 ab(3, x1),4b2a(6,4 x2), 由于 ab 與 4b2a平行，得 6( x1)3(4 x2)0 ，解得 x2 。解法 2：因為 ab 與4b2a 平行，則存在常數(shù)，使 a b4(b2a)，即 2( 1)a4( 1)b ，根據(jù)向量共線的條件知，向量a 與 b 共線，故 x2 。9/11(7)(2008年重慶卷理 7) 若過兩點 P1( 1,2) ,P2 (5,6) 的直線與 x 軸相交于點 P ，則點 P 分有向線段 PP12所成的比的值為 ()A. 1B. 1C. 1D.13553解：設(shè)點 P(x,0) ，則021，選 A60312.(2011年山東卷理12) 設(shè) A1 ， A2 ， A3 ， A4 是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點，若A1 A3A1A2R ， A1A4A1 A211, 已知點R ，且2 , 則稱 A3 ， A4 調(diào)和分割 A1， A2C c,0, D d,0c, dR調(diào)和分割點 A(0 ， 0) ， B(1 ， 0) ，則下面說法正確的是