第22講Fubini定理續(xù)

1、第22講Fubini定理續(xù) 目的：掌握乘積測度的概念，熟練掌 握Fubini定理并會運(yùn)用，了解Fubini 定理的證明。 重點(diǎn)與難點(diǎn)：Fubini定理及其證明。 第22講Fubini定理續(xù) 基本內(nèi)容： 一可測函數(shù)的截口 問題問題1：微積分中累次積分的內(nèi)層積分：微積分中累次積分的內(nèi)層積分 是什么意思？是什么意思？ 第22講Fubini定理續(xù) 問題問題2：對：對 LnLm 任意集合任意集合 E 及及 E 上的可測函數(shù)上的可測函數(shù) f(x,y)，如果考，如果考 慮關(guān)于慮關(guān)于 f(x,y) 的重積分化為的重積分化為 累次積分問題，首先應(yīng)考察累次積分問題，首先應(yīng)考察 什么？什么？ 可測函數(shù)截口的定義：f

2、x，f y。 第22講Fubini定理續(xù) 定義3 如果 是 上的函 數(shù)，則對每個(gè) ，記 ， 它是定義在 上的函數(shù)。 ),(yxf mn RR n Rx ),()(yxfyf x m R 第22講Fubini定理續(xù) 類似地，如果 上相對于 的可 測函數(shù)，即對任意 及任意 ， ，通常稱該函 數(shù)為 -可測函數(shù)，則對任意 ， 是 上的可測函數(shù)，對任意 是 上的可測函數(shù)。 m Ry mn LLE mn LLayxfyxE ),(| ),( mn LL m Ry n R x n fRx, m R mn LL 1 Ra y f 第22講Fubini定理續(xù) 證明：對任意 及任意 ， 任取 ，則 m Ry 1

3、Ra mn LLE ,)(|)(| yyyy ExaxfxaxfxE ),(|,),( |ayxfyxEyxx .),(| ),( y ayxfyxE ),( ,),(|Eyxayxfx 第22講Fubini定理續(xù) 由于,),(| ),( mn LLayxfyxE ,),(| ),( n y LayxfyxE .)(| n yy LaxfxE y f x f m R 故 即 由此得 可測，同理可證 是 上的可測函數(shù)，證畢。 第22講Fubini定理續(xù) 定理定理6 設(shè)設(shè) ，對任意，對任意 ， ，記，記 ， 則則 是是 上的可測函數(shù)，上的可測函數(shù)， 是是 上上 的可測函數(shù)。的可測函數(shù)。 mn LL

4、E m Ry)()(),()( y x EmyEmx n R m R n Rx 第22講Fubini定理續(xù) 則 。 證明：設(shè) M 是使得定理成立的那些 的集類，我們證明 M 具有如下性質(zhì)： (i) 若 mn LLE 1i i MEE , 21 MEEEE ik (ii) 若 是 M 的互不相交的可數(shù)集列，則 。 1i i MEE i E 第22講Fubini定理續(xù) (iii) 設(shè) ，且mBmARBRA mn , , 21 MEEEEBA ik 則. 1 i i MEE 顯然若 則 事 實(shí)上，此時(shí) , mn LBLA ,MBAE ).()(),()(ymAEmxmBEm B y Ax 第22講F

5、ubini定理續(xù) 由此立知 .)()()( nm RR y x dyEmmABmdxEm 為證(1)，記 ,)()(,)()( y iiii EmyxEmx 由于 , 11 i y i yi i ixx EEEE 第22講Fubini定理續(xù) 故由測度的可數(shù)可加性知 單調(diào)遞增 收斂到 ，由于每個(gè) ，即 )(x i )(x MEi ,)()( nm RR ii dyydxx 由單調(diào)收斂性定理立得 ,)()( nm RR dyydxx 由此得(i)。 第22講Fubini定理續(xù) 若 是 M 中互不相交的有限 個(gè)集合 ，則 ， 從而對任意 k i E 1 k i xExE i 1 ,)()( k i

6、EE i 1 k i i EE 1 mn EyRx, .)()( 1 k i y E y E i 第22講Fubini定理續(xù) 由定理5知 及 均是可測函數(shù)，注意到 及 ，于是 y ExE )( ,)( y EixEi )( ,)( xExE )()( y E y E )( m R m R xxExE xEmdydy),()()( m R m R y y E y E yEmdydy).()()( 第22講Fubini定理續(xù) 由非負(fù)可測函數(shù)積分的有限可加性立得 , )()(),()( 11 k i k i ii yyxx 進(jìn)而 n R n R k i i dxxdxx 1 )()( k in R

7、k im R m R ii dyydyydxx 11 .)()()( 這說明，M 中任意有限個(gè)不交的集合之 并仍在 M 中，再利用 (i) 立得 (ii)。 第22講Fubini定理續(xù) 則 ，且 且 ，則 ， 至于 (iii) 的證明只需注意到若 ,BAEFMF mBmA,MFE ,EFMEF FFEE)( ,)(,)( yyy xxx FFEEFEEE 便容易證得。事實(shí)上，若 第22講Fubini定理續(xù) 由 (ii) 的證明知 , )( xxx FFEE , )( y F y FE y E 故 m x E Ex dyyEm)()( ),()( xx FmFEm m x m x R F R F

8、E dyydyy)()( )( ),()()( yyy FmFEmEm 第22講Fubini定理續(xù) 進(jìn)一步 ,)()()( nnn RRR xxx dxFmdxFEmdxEm .)()()( mmm RRR yyy dxFmdmFEmdxEm 由于 ,)()( nm RR y x mBmAdyEmdxEm 第22講Fubini定理續(xù) 因此由 及 知 MF AFBF yx , ,)()( nm RR y x dyFmdxEm 進(jìn)而 ,)()( nm RR y x dyFEmdxFEm 這說明 ，依 (iii) 的假設(shè)， MFBA 令 ，則 且 ii EBAF, 1 ii FF,MFi 第22講F

9、ubini定理續(xù) 由 (i) 立知 , 11 ii ii MEBAF 所以 . 11 MEFBA i i i i 第22講Fubini定理續(xù) 記 ,|,|lyRyBkxRxA m k n nn LLEM ,)(,MBAElk lk 對任意正整數(shù) 由上面的證明知 是含所有可測矩形的 M 有限不交并的單調(diào)類，于是 , mn LLM 第22講Fubini定理續(xù) 且 是單調(diào)遞增的集列， 由 (i) 知 。定理證畢。 所以對任意 及任意 k,l, mn LLE MBAE lk )(lk ,)( 1 k kk BAEE )( kk BAE ME 有 ，不妨取 ， 則 第22講Fubini定理續(xù) 二Fubi

10、ni定理的特殊形式 , mn mn RyRxLLE ),()(),()( y x EmyEmx .)()(dyydxx 定理：設(shè)定理：設(shè) 則則 第22講Fubini定理續(xù) 三Fubini定理 定理7 富比尼（Fubini）定理 設(shè) f 是 Rn+m上的 LnLm-可測函數(shù)， (i) 若 ，且 (a) 則 分別是 Rn 和 Rm 上的可測函數(shù)，且 (b) f0 mn RR y x dxxfydyyfx)()(,)()( , mnm RR dyydxdyyxfdxx)(),()( n R 第22講Fubini定理續(xù) (ii) 若 f 滿足 (c) 則 f(x,y) 是 Rn+m 上的可積函數(shù)。 (

11、iii) 若 f(x,y) 是 Rn+m 上的可積函數(shù)，則對幾乎 所有的 是 Rm 中的可積函數(shù)；同 樣，對幾乎所有的 是 Rn 中的可 積函數(shù)，并且等式 (b) 成立。 mn RR x dxxdyyfx)(,)(|)( * x n fRx, ym fRy, 第22講Fubini定理續(xù) 證明：首先假設(shè) f 是非負(fù)的，由定理5 知 是有意義的。設(shè) ，且 ，則 ， 由定理6知(b)成立。故(b)對所有 -非負(fù)簡單函數(shù) f 成立，即 , mn LLE E f )()(),()( y x EmyEmx mn LL ., 1 mn N k kEk LLEaf k 第22講Fubini定理續(xù) 對一般的 -

12、可測函數(shù) f，可作簡 單函數(shù)序列 fk，使 且 fk 處 處收斂到 f， ，則 mn LL 1 0 kk ff m R xkk dyfx)()( .)(dxdyfdxx mnn R k R k 第22講Fubini定理續(xù) 由Levi定理知 單調(diào)遞增 收斂到 ，再一次利用 Levi定理得 。但 由 fk 的單調(diào)收斂性及Levi定理知 ， 故 。 m R xkk dyfx)()( dyyfx m R xk )()( nn RR k dxxdxx)()( mn R mn R k n R k dxdyyxfdxdyfdxx),()( dxxdxdyf n R k mn R )( 第22講Fubini定

13、理續(xù) 類似可證 ，其中 。 為證(ii)，設(shè) 是一般的 -可測函數(shù)，且 。 dxxdxdyf n R k mn R )( n R y dxxfy)()( ),(yxf mn LL m R x dyfx,|)( n R dxx)( * 第22講Fubini定理續(xù) 將 (i) 中的 f 換成 | f |，便不難得 | f | 是 上的可積函數(shù)，從而由 易知 也是上的可積函數(shù)。 |,|ffff fff mn R 第22講Fubini定理續(xù) 最后證 (iii),由于 是 域，由 f 的 -可測性不難證明 均是 可測的。又因?yàn)?在 中可積， 故 也可積,將 (i) 依次應(yīng)用于 立知 均是 上的可積函數(shù)，

14、 均是 上的可積函數(shù)。 ff , mn LL ),(yxf mn R ff , mm RR xx dyfxdyfy)()(,)( n R m R ydyfy)(,)( m R mn LL mn LL ff , m R y dyf )( 第22講Fubini定理續(xù) 因?yàn)?，故對使得 且 的每個(gè) 是 中的可積函 數(shù),但由 的可積性知 記 ，則 ，且對任意 ， 從而 在 上可積， xxx fff)()( )(x )(x x fx, )(),(xx ,.)(,.)( nn ReaxReax )(|,)(| xxExxE 0)( EEm EERx n )(xf m R m R )()(xx 第22講Fubini定理續(xù) 注：雖然Fubini定理中加上了“ f 是 -可測函數(shù)”的條件，但這一條件可以換 成“ f是 上的可測函數(shù)”。這是因?yàn)椋?若 f 是 上的可測函數(shù)，則對任 意 ， 是可測集，由 本章 3定理2知存在 ，使 ，且 。 mn LL mn R 1 Ra mn LLEE 21, 21 EEE0)()( 12 EEmEEm mn R ),(| ),(ayxfyxRE mn 第22講Fubini定理續(xù) 我們知