點(diǎn)到直線的距離

1、點(diǎn)到直線的距離一、教材分析1、“點(diǎn)到直線的距離” 是人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書 （必修）數(shù)學(xué) 第二冊(cè)（上）第七章第 3 節(jié)兩直線位置關(guān)系的第四部分，其主要內(nèi)容是：點(diǎn)到直 線的距離公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。2、“點(diǎn)到直線的距離公式”是在學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間的距離公式、直線方程、兩 直線的位置關(guān)系以及用代數(shù)方程研究曲線性質(zhì)的“以數(shù)論形，數(shù)形結(jié)合” 的數(shù)學(xué) 思想方法基礎(chǔ)上， 進(jìn)一步研究如何用點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程求點(diǎn)到直線距離的重要 工具，它使學(xué)生對(duì)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)從定性的認(rèn)識(shí)上升到了定量的認(rèn) 識(shí)。它是點(diǎn)線位置關(guān)系、 線線位置關(guān)系的橋梁， 是我們以后研究圓錐曲線與直線 位置關(guān)系的基礎(chǔ)。3、由于全日制普通高級(jí)

2、中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱 （試驗(yàn)修訂版）刪減了三角 函數(shù)中的一些同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，用平面解析幾何 （必修）的方法 推導(dǎo)此公式顯得繁瑣， 因此教科書借助于直角三角形的面積公式， 推導(dǎo)出點(diǎn)到直 線的距離公式。4、按教參安排，本部分內(nèi)容分為兩課時(shí)，第一課時(shí)側(cè)重于公式的推導(dǎo)及記 憶；第二課時(shí)側(cè)重于公式的應(yīng)用。本節(jié)授課內(nèi)容為第一課時(shí)。二、教學(xué)目標(biāo)根據(jù)以上分析結(jié)合我校學(xué)生實(shí)際，我確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：1、知識(shí)目標(biāo)：使學(xué)生掌握點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)及其初步應(yīng)用。2、能力目標(biāo) ：1）使學(xué)生掌握點(diǎn)到直線的距離公式及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能熟練運(yùn)用這一公式；（2）培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力；（ 3）培養(yǎng)學(xué)

3、生數(shù)形結(jié)合、 轉(zhuǎn)化、 化歸的數(shù)學(xué)思想， 培養(yǎng)學(xué)生研究探索能力。3、德育滲透目標(biāo)（1）培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作精神；（2）培養(yǎng)學(xué)生個(gè)性品質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索新知；（3）通過對(duì)公式推導(dǎo)思路的探索、評(píng)價(jià)，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué) 的美學(xué)意義，培養(yǎng)學(xué)生辯證統(tǒng)一的思想。三、教學(xué)重難點(diǎn)1、重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)及其結(jié)論以及簡(jiǎn)單的應(yīng)用。2、難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)。 在教材中，公式的推導(dǎo)使用了解析法或解析法結(jié)合平面幾何、三角等知識(shí)， 推導(dǎo)過程中滲透了多種數(shù)學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、化歸等） 。而高二的學(xué)生剛 剛學(xué)習(xí)解析幾何，對(duì)解析法不夠熟練， 綜合應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力不高。 因此， 公式的推導(dǎo)既是

4、重點(diǎn)也是難點(diǎn)。四、教法與學(xué)法 根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，結(jié)合我校學(xué)生實(shí)際水平，我使用了以下教法與相 關(guān)學(xué)法指導(dǎo)：（一）教學(xué)方法1、啟導(dǎo)法：本法屬于啟發(fā)式教學(xué)，它符合教學(xué)論中的自覺性、積極性、鞏 固性、可接受性， 教學(xué)與發(fā)展相結(jié)合， 教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體地位相統(tǒng)一 等原則，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探索公式推導(dǎo)的思路并完成公式推導(dǎo)， 培養(yǎng)學(xué)生思維 的靈活性、嚴(yán)密性等，滲透教學(xué)思想。其關(guān)鍵是通過教學(xué)中的引導(dǎo)、啟發(fā)，充分 調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。2、教具：多媒體（二）學(xué)法指導(dǎo)1、使用接受學(xué)習(xí)與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)相結(jié)合的學(xué)習(xí)方法， 鼓勵(lì)學(xué)生通過嘗試、 探索、 篩選，確定解決問題的方案。2、讓學(xué)生體驗(yàn)問題解決的思維過程，掌

5、握思考、討論、交流的學(xué)習(xí)方法。3、通過公式推導(dǎo)思路的優(yōu)化，深化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，提高學(xué)生 轉(zhuǎn)化問題的能力。五、教學(xué)過程情景創(chuàng)設(shè)：多媒體演示點(diǎn)到直線的距離的生活實(shí)例 （利用多媒體畫面形象 生動(dòng)的特點(diǎn)，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣）1、課題引入老師提問：點(diǎn)到直線的距離是什么？ 學(xué)生回答：點(diǎn)到直線的垂線段長(zhǎng)度。引例 ：求點(diǎn) P（3，4）到下列直線的距離L1：X 1 L 2：Y2 L 3： XY+30學(xué)生比較容易地求出了點(diǎn) P 到 L1、L2的距離，但點(diǎn) P 到 L3的距離不便于計(jì) 算。（多媒體演示）學(xué)生求點(diǎn) P到L3的距離的思路：先求過點(diǎn) P且垂直于 L3的垂線 PQ的方程； 再聯(lián)立直線 PQ、L3

6、 求垂足 Q（兩直線的交點(diǎn)）；最后用兩點(diǎn)間距離公式求 PQ設(shè)計(jì)意圖 ：使學(xué)生鞏固已學(xué)過的知識(shí)和方法，同時(shí)為下面問題的解決 作鋪墊。2、新課內(nèi)容：教師提出問題：“求點(diǎn) P（X0,Y0）到直線 L:AX+BY+C0 的距離”。 問題的解決：先考慮 A0，B0 的情形。方案一的教學(xué)： 學(xué)生類比引例，產(chǎn)生了這種思路：先求垂線的方程，再聯(lián) 立方程求交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后用兩點(diǎn)間的距離公式求解。教師讓學(xué)生自己動(dòng)手（點(diǎn)明本方法難在求 Q點(diǎn)坐標(biāo)），學(xué)生動(dòng)手求解并發(fā)現(xiàn) 在這里只使用了解析法運(yùn)算非常繁瑣， 那么如何化繁為簡(jiǎn)呢？ （多媒體演示解題 過程）設(shè)計(jì)意圖：（1）讓學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的解題差異。 （2）讓學(xué)生在思

7、路自然的方法上遇到困難時(shí)能思考用其它 方法解決問題。方案二的教學(xué)： 老師引導(dǎo)學(xué)生變換角度去思考，觀察圖形。 老師設(shè)問：要求的是垂線段的長(zhǎng)，在平面幾何中如何求線段的長(zhǎng)呢？ 學(xué)生回答：構(gòu)造直角三角形老師進(jìn)一步設(shè)問：怎樣構(gòu)造直角三角形呢？（老師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，抓住直角特征，構(gòu)造以垂線段為一直角邊的直角三角形）老師讓學(xué)生分組討論并將結(jié)果整理出來，此時(shí)出現(xiàn)了多種解決方案，大家共同探討決定：確定過一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線構(gòu)造圖形如圖，過點(diǎn) P作Y軸平行線并交 L于點(diǎn) S（X0，Btan= ,AX0+B Y2+C=0，即： Y2 A PS =Y0 Y2 =Ax0 By0 C sin =tan21 tan2A2

8、 B2 PQ = PSsin = Ax0 By0 C22A2 B2Y2）,則設(shè)計(jì)意圖：（1）讓學(xué)生在活躍的氛圍中探求更多知識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神2）張揚(yáng)學(xué)生個(gè)性，培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)。方案三的教學(xué) ：在方案二的實(shí)施基礎(chǔ)上，自然引出本方案，著重體現(xiàn)等積 法，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。過點(diǎn) P作 X軸的平行線，交 L于點(diǎn) R（X1，Y0），作 Y軸的平行線，交 L于點(diǎn)S（X0，Y2），1+B Y0+C=00+B Y2+C=0By0 C Ax0 C，Y2ABPR=X0X1AX 0 BY0 CAPS =Y0 Y2= AX 0 BY0 C=BRS= PR 2 PS2= A2B 2ABAX0 BY0

9、 Cd RS= PR PS d=Ax0 By0 C A2 B2設(shè)計(jì)意圖：（1）本方案同教材保持一致，讓學(xué)生在自學(xué)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加深印象。（2）培養(yǎng)學(xué)生用等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問題。補(bǔ)充說明通過實(shí)例討論當(dāng) A0或B0的特殊情形（引例），指出當(dāng) A0或 B0時(shí)，公式仍然成立，在實(shí)際解題時(shí)，可畫圖直接求解，也可套用公式。通過對(duì)特殊情形的討論，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性，滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想。 （多媒體演示并 說明公式仍然成立）回顧公式的推導(dǎo)過程，師生共同分析三個(gè)方案的不同：方案 1：用解析法，求垂線方程，聯(lián)立方程求交點(diǎn) Q，用兩點(diǎn)間的距離公式 求 PQ ，它是用方程的方法來解決幾何問題，也就是解析幾何首

10、先倡導(dǎo)的“以數(shù) 論形”的思想方法的具體應(yīng)用，它思路簡(jiǎn)單，但運(yùn)算較繁。方案 2：用解析法結(jié)合平面幾何、 三角的知識(shí)， 構(gòu)造以垂線段為一直角邊的 直角三角形，通過解直角三角形，求 PQ ，這說明在用解析法時(shí)應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合， 綜合應(yīng)用平面幾何、三角等知識(shí)化繁為簡(jiǎn)。方案 3：所用方法有一定技巧，同樣結(jié)合了平面幾何、三角的知識(shí)，著重體 現(xiàn)在等面積法上，強(qiáng)調(diào)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。通過三種方案的比較， 使公式的推導(dǎo)得以升華， 培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性。 然后師生共同探討總結(jié)出公式特征，即如下幾點(diǎn)：（一） 公式的結(jié)構(gòu)特征 ：分子是將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程一般式的左邊得 到的代數(shù)式加絕對(duì)值，分母是A2 B2（二）

11、公式的適用范圍 ： 、該公式對(duì)于任何位置的點(diǎn) P（包括直線上的點(diǎn)）及任意直線都適合； 、當(dāng) A0或 B0時(shí)，公式仍然成立，但計(jì)算時(shí)常用圖形直接求解。（三）使用公式時(shí)應(yīng)注意的問題 ：應(yīng)先將直線方程化為一般式3、例題分析 （首先回顧引例，然后看以下例題）例 1：求點(diǎn) P（ 1，2）到下列直線的距離（ 1）X3Y20（2）3X2（ 3）X3Y70（4）Y102X例2：點(diǎn) A（m，4）到直線 3X4Y10的距離為 21，求 m。5老師引導(dǎo)學(xué)生求解，讓學(xué)生掌握公式，但又不能局限于公式，同時(shí)使學(xué)生對(duì)公式的適用范圍也有了充分的理解。 ）4、練習(xí)反饋求原點(diǎn)到下列直線的距離（ 1）3X2Y260（2）XY求下列

12、點(diǎn)到直線的距離（1）A（2，3），3X4Y30（2）B（1，0）， 3XY 3 04（3）C（1， 2），Y= 4 X3 已知點(diǎn) A（a,6 ）到直線 3X4Y 2的距離 d取下列各值，求 a 的值：（ 1）d4（2）d4（學(xué)生解題，老師點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生鞏固點(diǎn)到直線的距離公式。 ）六、教學(xué)總結(jié)1、本節(jié)課的重點(diǎn)放在點(diǎn)線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用上，難點(diǎn)放在點(diǎn)線距離公 式的推導(dǎo)上，并讓學(xué)生認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化思想和等價(jià)思想，從而突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。2、在教學(xué)過程中通過設(shè)問、解問，運(yùn)用逐步遞進(jìn)的方法，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué) 習(xí)的積極性、主動(dòng)性，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)創(chuàng)新。體現(xiàn)學(xué)生的主體 作用和教師“授之予漁”的主導(dǎo)作用。3、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)