構(gòu)造新數(shù)列求遞推數(shù)列通項(xiàng)

1、構(gòu)造新數(shù)列求遞推數(shù)列通項(xiàng)在研究數(shù)列問題時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是首要解決的問題.在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法有多種，但筆者認(rèn)為利用構(gòu)造新數(shù)列把非特殊數(shù)列轉(zhuǎn) 化為等差，等比兩種典型的特殊數(shù)列是最為重要的但由于構(gòu)造新數(shù)列需要比較 靈活的變形技巧，學(xué)生在應(yīng)用構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)卻往往會(huì)感到力不從心.為此本文以2008年數(shù)學(xué)高考試題中涉及的數(shù)列和平時(shí)教學(xué)中所遇到的典型的數(shù) 列為例,介紹利用構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)的常用技巧，供讀者參考1. 求由an =pan-f (n)確定的數(shù)列通項(xiàng)公式例1已知an滿足a1 = 3,an d = 2an 1, nN *，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解令務(wù)i x二2(an

2、x)，解得x = 1 .則數(shù)列an 1是首項(xiàng)為4,公比為2的等 比數(shù)列.則 an (a1 1) -2nJ,得 an=2n1-1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an =2n 1 -1,n N*.2例2 (2008湖北理科第21題)已知數(shù)列an滿足a a =-an - n - 4, n N3其中為常數(shù).求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.2解令an 1 A(n 1) B二(an An B),其中A, B為待定系數(shù).32112即 an 1an - A n - A - B.又 an 1 an - n -4,n N*,則解得 A = -3,B =21.3333由此可得數(shù)列an -3n 21為等比數(shù)列.22則 an -3n 2

3、1 =佝 -3 21) ( )n4,化簡(jiǎn)得 an =(18 ) ( )nJ - 3n - 21.33故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an = (18)(2)n4 3n -21, n N*.3評(píng)注 對(duì)于求由an二pan4 f (n)確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般方法為尋找關(guān)于n的函數(shù)g(n),構(gòu)造遞推關(guān)系an g( n)二pan4 g( n1),使得數(shù)列an g(n)為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式.構(gòu)造新數(shù)列最關(guān)鍵是尋找函數(shù) g(n), 這需要根據(jù)f(n)的結(jié)構(gòu)而定，如f(n)是關(guān)于n的一次式，則g(n)也為一次式，如f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，則g(n)也應(yīng)為關(guān)于n的二次函數(shù).在確定g(n)結(jié)構(gòu)后再

4、通過待定系數(shù)的方法求出g(n).2. 求由an = pan - f (n) F確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式例3 (2008年全國(guó)卷II第20題)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn 已知a a , aniSn3n， nN*,求數(shù)列a*的通項(xiàng)公式.解由于 an i -Sn - 3n,aSnd - 3nJ,則 an2an - 2 -3nJ,左右兩邊同除 3n1得34 = 39 .令3X = 3 (3X)，(其中X為待定系數(shù)，n 一 2 ),易得x3則數(shù)列齊|從第2項(xiàng)起為等比數(shù)列.an 2 a22、廠3珂廠3)心,解得an =(a-3)2心-2 1故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana, n =1：(a_3) 2心 +2 3心

5、評(píng)注 求由an =panf(n) rn確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般可以通過左右兩邊同除rn ,消除不和諧的指數(shù)rn ,使其化歸為求由形如an = panJ f(n)確定的 數(shù)列的通項(xiàng)公式.3. 求由an確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式qan +r例4 (2008年陜西卷第22題)已知數(shù)列an的首項(xiàng)6 = 3,可i二上匚，52an +1n =1,2,.求an的通項(xiàng)公式.3an1由 an1-h得二 13 an1 - .令 (X)，易得 X _ _ 1.3 an 13 an則數(shù)列丄1為等比數(shù)列.從而-1 =(丄1) ()n 4，解得an 3 nanan a132 + 3故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anJ , n N2

6、+3n評(píng)注 對(duì)于由分式遞推關(guān)系確定的數(shù)列，對(duì)左右兩邊進(jìn)行倒數(shù)是一種常用的技巧和方法.通過取倒數(shù)再構(gòu)造新數(shù)列，最終把數(shù)列化歸為等比或等差數(shù)列，進(jìn)而求 出原數(shù)列的通項(xiàng)公式.4.求由an .2二p an 1 q an確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式例5 （2008年天津卷文科第20題）在數(shù)列an中，首項(xiàng)a 1,a2 = 2,且an 1 = （1 q） an -q 6，（n 一 2,q = 0），求數(shù)列佝的通項(xiàng)公式.解令an i x ay（anx色）,則a. 1 =（y-x）已-xy色,由條件得v _ x =1 + q丿M，解得x = -q, y =1，則數(shù)列 佝-qan為公差為0的等差數(shù)列.xy = -q故 a

7、* - qan j - a? - qai = 2 - q，即 an - qan j 2 - q.當(dāng) q =1 時(shí),an = an -1 = n .當(dāng)q =1時(shí)，令an m二q(anJ - m)，則m = -q，則數(shù)列an - -是公比為q, q 1q 1n -1q =1,q首頁(yè)為話的等比數(shù)列.從而an -黔計(jì)十,即補(bǔ)冷尸n,故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann-1=汕 q _ 2q -1例6 （2008年廣東理科第21題）設(shè)p,q為實(shí)數(shù)，:是方程x px 0的 兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列Xn滿足X1二p,X2二 p2 -q,Xn二- qx“/, n一 3, n N .求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式.解令 Xn mXn4、=

8、 n（ Xn4，口人 ）,則 x* = （n- m） x* 4x,由條件得n =：r或*m = 一：吩P,解得m,n的一組解為小 m = -q則數(shù)列禺- 1 G是公比為的等比數(shù)列,數(shù)列禺-：Xn是公比為：的等比數(shù)列.故 Xn _ - Xn1 =(X2 - - Xj ： n J ,Xn _Xn=(X? _X1) Q.又 片=p,x2 = p2 _ q,= p, ：上 =q，貝x2 = ： 22 一 ：.,片 二-.貝y Xn?-Xnl - ?n, X： XnJ - n,當(dāng)： 1時(shí)，解該兩式有關(guān)Xn,Xnd的方程，得-.Bn41 _otn半(0 0(以.二=0 Gn,(P G)Xn = Bn十一口

9、 計(jì)，即 Xn = RP -a X x當(dāng)二：時(shí)，Xn - 一Xn二:-n，即為 Xn - :- Xnj =,則 V -cta則數(shù)列緯是公差為1的等差數(shù)列，則咯=已 n -1，解得Xnota a故數(shù)列Xn的通項(xiàng)公式為Xn =P -a a n + na n ,a = B，一般先構(gòu)造形如評(píng)注 對(duì)于求由an .2 = p an d q an確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式an 2 xany(an d xan)的數(shù)列遞推關(guān)系，使得數(shù)列an xan為等比數(shù)列，進(jìn)5.求由 an 2 二 an 1 wp anq確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式例7 (2008年重慶理科第21題)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足1 _ ai =2包耳勺話丸

10、2, n N *.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.4n n 12 n 2解 對(duì) an = an 12 an 2 左右取對(duì)數(shù)得 log 2 an = log 2 (an 12 an 2 )3即 log 2 an 2log 2 an 1log 2 an.令gan七 +xlog2 an4t = y( log? a +xlog2 a“)，對(duì)照上式得 卩3-x =2.xy =1x = 2解得1或r=2_1152 .由于 log2 a2+2log2 a = 0, log 2 a2-一 log 2 印=一一, y 222故得數(shù)列 I(oai 21 02nJ是各項(xiàng)為0的常數(shù)數(shù)列，數(shù)列而求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.其中的常數(shù)X,y

11、利用待定系數(shù)法求得.15log 2 a. - 2 log 2 a.是首項(xiàng)為-2 ,公比為-2的等比數(shù)列.故得 log2an 2log2anj=0, log? a.-12 log2 a. j(-2嚴(yán),解上述有關(guān)log? an,log2 a.的方程得 log 2an =(-2)2解 設(shè) a. =ta門：:.，則 ta. =a.a. j - -.31 3an1 . ta. ta. J3故可七.希（.廠亍希（.，3)二二 tan i (n _1),/ C、 I 1 故數(shù)列a.的通項(xiàng)公式為a. 才）評(píng)注 求由形如a. 2二a.iP a.q確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式，考慮到左右兩邊次數(shù)的不統(tǒng)一,可以先左右兩邊取對(duì)數(shù)達(dá)到次數(shù)的統(tǒng)一,從而轉(zhuǎn)化為求由a. 2 = P a. d q a.確定的數(shù)列的通項(xiàng)公式 6利用三角函數(shù)構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式/例8已知數(shù)列a.滿足a . 3,a.冃 八3 ,門 N*，求數(shù)列a.