高考數(shù)學(xué)60個(gè)易錯(cuò)典型題（含知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥及解析）

1、高考數(shù)學(xué)60個(gè)易錯(cuò)典型題（含知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)撥及解析）【易錯(cuò)點(diǎn)1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。設(shè)，若，求實(shí)數(shù)a組成的集合的子集有多少個(gè)？【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。解析：集合a化簡(jiǎn)得，由知故（）當(dāng)時(shí)，即方程無(wú)解，此時(shí)a=0符合已知條件（）當(dāng)時(shí)，即方程的解為3或5，代入得或。綜上滿足條件的a組成的集合為，故其子集共有個(gè)。【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在應(yīng)用條件abab時(shí)，要樹立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集合是空集的情況優(yōu)先進(jìn)行討論（2）在解答集合問題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無(wú)序性、互異性

2、”特別是互異性對(duì)集合元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語(yǔ)言（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）和自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化如：，其中,若求r的取值范圍。將集合所表達(dá)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言向自然語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合a表示以原點(diǎn)為圓心以2的半徑的圓，集合b表示以（3，4）為圓心，以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無(wú)公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來(lái)解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語(yǔ)言的應(yīng)用?！揪?】已知集合、，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 。答案：或?！疽族e(cuò)點(diǎn)2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。例2、已知,求的取值范圍【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此

3、題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù)最值求解，但極易忽略x、y滿足這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。解析：由于得(x+2)2=1-1，-3x-1從而x2+y2=-3x2-16x-12=+因此當(dāng)x=-1時(shí)x2+y2有最小值1, 當(dāng)x=-時(shí)，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范圍是1, 【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來(lái)理解條件對(duì)x、y的限制，顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3x-1，。此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解。【練2】（05高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,y）在曲線上變化，則的最大值為（）（a）（b）（c）（d）

4、答案：a【易錯(cuò)點(diǎn)3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。是r上的奇函數(shù)，（1）求a的值（2）求的反函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。解析：（1）利用（或）求得a=1.（2）由即，設(shè),則由于故，而所以【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)閞可省略）。（2）應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換?！揪?】（2004全國(guó)理）函數(shù)的反函數(shù)是（）a、 b、c、 d、 答案：b【易錯(cuò)點(diǎn)4】求反函數(shù)與反函數(shù)值

5、錯(cuò)位例4、已知函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的解析式為（）a、 b、 c、 d、【易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由與互為反函數(shù)，而認(rèn)為的反函數(shù)是則=而錯(cuò)選a。解析：由得從而再求的反函數(shù)得。正確答案：b【知識(shí)點(diǎn)分類點(diǎn)拔】函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他只是表示中x用x-1替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過程來(lái)看：設(shè)則，再將x、y互換即得的反函數(shù)為，故的反函數(shù)不是，因此在今后求解此題問題時(shí)一定要謹(jǐn)慎?！揪?】（2004高考福建卷）已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是y=f-1(x)，則函數(shù)y= f-1(1-x)的圖象是（）答案：b【易錯(cuò)點(diǎn)5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)

6、于原點(diǎn)對(duì)稱。判斷函數(shù)的奇偶性?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。解析：由函數(shù)的解析式知x滿足即函數(shù)的定義域?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域下易證即函數(shù)為奇函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。（2）函數(shù)具有奇偶性，則是對(duì)定義域內(nèi)x的恒等式。常常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。【練5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程繁鎖。

7、函數(shù)的反函數(shù)為，證明是奇函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)?！舅季S分析】可求的表達(dá)式，再證明。若注意到與具有相同的單調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。解析：，故為奇函數(shù)從而為奇函數(shù)。又令在和上均為增函數(shù)且為增函數(shù)，故在和上分別為增函數(shù)。故分別在和上分別為增函數(shù)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。（3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即 。【練6】（1）（99全國(guó)高考題）已知 ，則如下結(jié)論正

8、確的是（）a、 是奇函數(shù)且為增函數(shù) b、 是奇函數(shù)且為減函數(shù)c、 是偶函數(shù)且為增函數(shù) d、 是偶函數(shù)且為減函數(shù)答案：a（2）（2005天津卷）設(shè)是函數(shù)的反函數(shù)，則使成立的的取值范圍為（）a、 b、 c、 d、答案：a （時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，所以.）【易錯(cuò)點(diǎn)7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立定義域優(yōu)先的原則。例7、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識(shí)。解析：由于即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可。設(shè) ， 由于

9、 故當(dāng) 時(shí)，此時(shí)函數(shù)在上增函數(shù)，同理可證函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在和上分別為增函數(shù)，在和上分別為減函數(shù).【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。（2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率都大于（小于）零。（3）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中不能說在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù),在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“”和“或”，【練7】（1） （濰坊市統(tǒng)

10、考題）（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。（2）設(shè)在的最小值為，求的解析式。答案：（1）函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。（2）（2） （2001天津）設(shè)且為r上的偶函數(shù)。（1）求a的值（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并給出證明。答案：（1）（2）函數(shù)在上為增函數(shù)（證明略）【易錯(cuò)點(diǎn)8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。例8、（2004全國(guó)高考卷）已知函數(shù)上是減函數(shù)，求a的取值范圍?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】是在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在r上遞減，但。解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則故解得。（2）當(dāng)時(shí)，易知此時(shí)函數(shù)也

11、在r上是減函數(shù)。（3）當(dāng)時(shí)，在r上存在一個(gè)區(qū)間在其上有，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是。【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來(lái)說明：與為增函數(shù)的關(guān)系:能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增，但，是為增函數(shù)的充分不必要條件。時(shí)，與為增函數(shù)的關(guān)系:若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)時(shí)，是為增函數(shù)的充分必要條件。與為增函數(shù)的關(guān)系:為增函數(shù)，一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，即為或。?dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階

12、段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡(jiǎn)化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。因此本題在第一步后再對(duì)和進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性?！揪?】（1）（2003新課程）函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）a、 b、 c、 d、答案：a（2）是否存在這樣的k值，使函數(shù)在上遞減，在上遞增？答案：。（提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但是函數(shù)在上遞減

13、，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出k值后要檢驗(yàn)。）【易錯(cuò)點(diǎn)9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例9、 已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。錯(cuò)解 :(a+)2+(b+)2=a2+b2+42ab+44+4=8(a+)2+(b+)2的最小值是8【易錯(cuò)點(diǎn)分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b22ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。解析：原式= a2+b2+4=( a2+b2)+(+)

14、+4=(a+b)2-2ab+ (+)2-+4=(1-2ab)(1+)+4由ab()2= 得：1-2ab1-=,且16，1+17原式17+4= (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)(a+)2+(b+)2的最小值是?！局R(shí)歸類點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)?！揪?】（97全國(guó)卷文22理22）甲、乙兩地相距s km , 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h ,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方

15、成正比，比例系數(shù)為b;固定部分為a元。把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？答案為:（1）（2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)c時(shí)，行駛速度v=；當(dāng)c時(shí)，行駛速度v=c?！疽族e(cuò)點(diǎn)10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時(shí)，沒有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。例10、是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)在上是增函數(shù)？若存在求出a的值，若不存在，說明理由?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴(kuò)大。解析：函數(shù)是由和復(fù)

16、合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法（1）當(dāng)a1時(shí)，若使在上是增函數(shù)，則在上是增函數(shù)且大于零。故有解得a1。（2）當(dāng)a1使得函數(shù)在上是增函數(shù)【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）?！揪?0】（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)，且試求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間。答案：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。（2）

17、（2005 高考天津）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）a、 b、 c、 d、答案：b.（記，則當(dāng)時(shí)，要使得是增函數(shù)，則需有恒成立，所以.矛盾.排除c、d當(dāng)時(shí)，要使是函數(shù)，則需有恒成立，所以.排除a）【易錯(cuò)點(diǎn)11】 用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性例11、已知求的最大值【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過條件將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而利用換元的思想令將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成錯(cuò)解，解析：由已知條件有且（結(jié)合）得，而=令則原式=根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)即時(shí)，原式取得最大值?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高

18、數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化?！揪?1】（1）（高考變式題）設(shè)a0，000求f(x)2a(sinxcosx)sinxc

19、osx2a的最大值和最小值。答案：f(x)的最小值為2a2a，最大值為（2）不等式ax的解集是(4,b)，則a_，b_。答案：（提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式的解集為）【易錯(cuò)點(diǎn)12】已知求時(shí), 易忽略n的情況例12、（2005高考北京卷）數(shù)列前n項(xiàng)和且。（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用與的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為對(duì)于任意n值都成立，忽略了對(duì)n=1的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。解析：易求得。由得故得又，故該數(shù)列從第二項(xiàng)開始為等比數(shù)列故?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列與之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系可以已知求。但注意只有在當(dāng)適合時(shí)兩者才可以合并否則要寫分段函

20、數(shù)的形式?！揪?2】（2004全國(guó)理）已知數(shù)列滿足則數(shù)列的通項(xiàng)為 。答案：（將條件右端視為數(shù)列的前n-1項(xiàng)和利用公式法解答即可）【易錯(cuò)點(diǎn)13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開始）例13、等差數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，。問n為何值時(shí)最大?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。解析：由題意知=此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，故即此二次函數(shù)開口向下，故由得當(dāng)時(shí)取得最大值，但由于，故若為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，最大。當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)最大。

21、【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外形如前n項(xiàng)和所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。【練13】（2001全國(guó)高考題）設(shè)是等差數(shù)列，是前n項(xiàng)和，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）a、b、c、 d、和均為的最大值。答案：c（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯(cuò)點(diǎn)1

22、4】解答數(shù)列問題時(shí)沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。例14、已知關(guān)于的方程和的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求的值?！舅季S分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。解析：不妨設(shè)是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：故從而=?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于等差數(shù)列，若，則；對(duì)于等比數(shù)列，若，則；若數(shù)列是等

23、比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用?！揪?4】（2003全國(guó)理天津理）已知方程和的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則=（） a、1 b、 c、 d、答案：c【易錯(cuò)點(diǎn)15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比的情況例15、數(shù)列中，數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列。（i）求使成立的的取值范圍；（ii）求數(shù)列的前項(xiàng)的和【易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前n項(xiàng)和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受阻。解：（i）數(shù)

24、列是公比為的等比數(shù)列，由得，即（），解得（ii）由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，得，這表明數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論.對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤。【練15】（2005高考全國(guó)卷一第一問）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和（1）求q的取值范圍。答案：

25、【易錯(cuò)點(diǎn)16】在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答結(jié)果不到位。例16、（2003北京理）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）令求數(shù)列前項(xiàng)和的公式?！舅季S分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列的通項(xiàng)公式再由數(shù)列的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求和。解析：（1）易求得（2）由（1）得令（）則（）用（）減去（）（注意錯(cuò)過一位再相減）得當(dāng)當(dāng)時(shí)綜上可得：當(dāng)當(dāng)時(shí)【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】一般情況下對(duì)于數(shù)列有其中數(shù)列和分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過在原數(shù)列的每一項(xiàng)的基礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)

26、過一項(xiàng)相減的方法來(lái)求解，實(shí)際上課本上等比數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例。【練16】（2005全國(guó)卷一理）已知當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和答案：時(shí)當(dāng)時(shí).【易錯(cuò)點(diǎn)17】不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。例17、求【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題解答時(shí)一方面若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不清而導(dǎo)致解題失誤。解：由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式得，取，就分別得到，【知識(shí)歸類點(diǎn)拔】“裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)（也可三個(gè)或更多）相乘，且這兩個(gè)數(shù)的

27、第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項(xiàng)的規(guī)律一般情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項(xiàng)，即，問題會(huì)很容易解決。另外還有一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，如：，求其前項(xiàng)和，可通過分母有理化的方法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。【練17】（2005濟(jì)南統(tǒng)考）求和答案：【易錯(cuò)點(diǎn)18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。例18、（2004年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20）設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn.()若首項(xiàng)，公差，求滿足的正整數(shù)k；()求所有

28、的無(wú)窮等差數(shù)列an，使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識(shí)，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力.學(xué)生在解第()時(shí)極易根據(jù)條件“對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立”這句話將k取兩個(gè)特殊值確定出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，但沒有認(rèn)識(shí)到求解出的等差數(shù)列僅是對(duì)已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應(yīng)進(jìn)一步的由特殊到一般。解：（i）當(dāng)時(shí)由，即 又.（ii）設(shè)數(shù)列an的公差為d，則在中分別取k=1,2,得（1）（2）由（1）得 當(dāng)若成立,若故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)若若.綜上，共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列：an : an=0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，

29、1，；an : an=2n1，即1，3，5，【知識(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】事實(shí)上，“條件中使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有成立.”就等價(jià)于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項(xiàng)系數(shù)同時(shí)為零，于是本題也可采用這程等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗(yàn)而犯下的邏輯錯(cuò)誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系?！揪?8】（1）（2000全國(guó)）已知數(shù)列,其中,且數(shù)列為等比數(shù)列.求常數(shù)p答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，再說明p值對(duì)任意自然數(shù)n都成立）【易錯(cuò)點(diǎn)19】用判別式判定方程解的個(gè)數(shù)（或交點(diǎn)的個(gè)數(shù)）時(shí)，易忽略討論二次項(xiàng)的系數(shù)是否為尤其是直

30、線與圓錐曲線相交時(shí)更易忽略.例19、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個(gè)交點(diǎn)，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的方程后，易忽視對(duì)方程的種類進(jìn)行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方程只利用判別式解答。解析：聯(lián)立方程組消去y得到（1）當(dāng)時(shí)，即，方程為關(guān)于x的一次方程，此時(shí)方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)。（2）當(dāng)時(shí)即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)（3）當(dāng)時(shí)，方程組有兩個(gè)交點(diǎn)此時(shí)且。（4）當(dāng)時(shí)即或時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)。綜上知當(dāng)或時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)

31、，當(dāng)且。時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或時(shí)方程組無(wú)解此時(shí)直線與雙曲線無(wú)交點(diǎn)?！局R(shí)點(diǎn)歸類點(diǎn)拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即判斷方程組解的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)另一種方法借助于漸進(jìn)線的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行，此時(shí)叫做直線與雙曲線相交但只有一個(gè)公共點(diǎn)，通過這一點(diǎn)也說明直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對(duì)應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會(huì)這種數(shù)與形的統(tǒng)一?！揪?9】（1）（2005重慶卷）已知橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為的左右頂點(diǎn)，而的左右頂點(diǎn)分別是的左右焦點(diǎn)。（1）求雙曲線的方程（2）若直線與橢圓及雙曲線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且與的兩個(gè)交點(diǎn)a和b滿足，其中o為原點(diǎn)，求k的取值范圍。答案：（1）（2）（2）已知雙曲線c： ，過點(diǎn)p（1，1）作直線l, 使l與c有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有_條。答案：4條（可知kl存在時(shí)，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k2)x2+2k(k-1)x-(1-k2)-4=0, 當(dāng)4-k2=0即k=2時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k2時(shí)，由=0有，有一個(gè)切點(diǎn)另：當(dāng)kl不存在時(shí)，x=1也和曲線c有一個(gè)切點(diǎn)綜上，共有4條滿足條件的直線）【易錯(cuò)點(diǎn)20