排列組合的二十種解法

1、教學(xué)目標(biāo)1. 進(jìn)一步理解和應(yīng)用分步計(jì)數(shù)原理和分類(lèi)計(jì)數(shù)原理。2. 掌握解決排列組合問(wèn)題的常用策略；能運(yùn)用解題策略解決簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用題。提高學(xué)生解決問(wèn)題分析問(wèn)題的能力3. 學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問(wèn)題復(fù)習(xí)鞏固1.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）完成一件事，有 n類(lèi)辦法，在第 1類(lèi)辦法中有種不同的方法，在第 2類(lèi)辦法中有 m2種不同的方法，在第 n類(lèi)辦法中有 mn種不同的方法，那么完成這件事共有：Nm1m2mn種不同的方法.2. 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n個(gè)步驟，做第1步有m,種不同的方法，做第 2步有m2種不同的方法，做第n步有口種不同的方法，那么完成這件事共有:Nm1 m

2、2mn種不同的方法.3. 分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類(lèi)計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件.解決排列組合綜合性問(wèn)題的一般過(guò)程如下：1. 認(rèn)真審題弄清要做什么事2. 怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類(lèi)，或是分步與分類(lèi)同時(shí)進(jìn)行 ，確定分多少步及多少類(lèi)。3. 確定每一步或每一類(lèi)是排列問(wèn)題（有序）還是組合（無(wú)序）問(wèn)題，元素總數(shù)是多少及取出多少個(gè)4. 解決排列組合綜合性問(wèn)題，往往類(lèi)與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略一. 特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)

3、沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解：由于末位和首位有特殊要求先排末位共有c3,應(yīng)該優(yōu)先安排以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置然后排首位共有c4A 3A4最后排其它位置共有 A由分步計(jì)數(shù)原理得C；c3a3288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問(wèn)題最常用也是最基本的方法，若以元素分析為主，需先安排特殊元素，再處理其它元素.若以位置分析為主，需先滿足特殊位置的要求，再處理其它位練習(xí)題:7種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里,問(wèn)有多少不同的種法二. 相鄰元素捆綁策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)

4、復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有八5八2八2A5 A2 A2要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題，可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題 即將需要相鄰的元素合并練習(xí)題：某人射擊8槍?zhuān)?槍?zhuān)?槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為20三. 不相鄰問(wèn)題插空策略例3. 一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有 4個(gè)舞蹈，2個(gè)相聲，3個(gè)獨(dú)唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種解:分兩步進(jìn)行第一步排 2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共有 A5種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種A：不同的方法，由分步計(jì)數(shù)原理，節(jié)目的不同順序共有A；

5、A：種元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為_(kāi)J0_四. 定序問(wèn)題倍縮空位插入策略例人排隊(duì)，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解：（倍縮法）對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：a7/ a3（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有A7種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有1種坐法，則共有A；種方法。思考：可

6、以先讓甲乙丙就坐嗎（插入法）先排甲乙丙三個(gè)人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有 方法定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插練習(xí)題:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求從左至右身高逐漸增加， 共有多少排法 Ci50五. 重排問(wèn)題求幕策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步：把第一名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間有 7_種分法.把第二名實(shí)習(xí)生分配到車(chē)間也有7種分依此類(lèi)推，由分步計(jì)數(shù)原理共有 76種不同的排法允許重復(fù)的排列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地n不同的元素沒(méi)有限制地安排在 m個(gè)位置上的排列數(shù)為

7、 mn種練習(xí)題：1. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目如果將這兩個(gè) 節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 _42_2. 某8層大樓一樓電梯上來(lái) 8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方法78六. 環(huán)排問(wèn)題線排策略例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人A：并從此位置把圓形展成直線其余 7人共有（8-1 ）!種排法即7 !CD/5”鯊 BE：1 A_f HABCDEFGHAG一般地，n個(gè)不同元素作圓形排列，共有（n-1）!種排法.如果從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素作1圓形排列共有一A

8、mn120練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈七. 多排問(wèn)題直排策略例人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法解：8人排前后兩排，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排個(gè)特殊元素有 A4種,再 排后4個(gè)位置上的特殊元素丙有 a種,其余的5人在5個(gè)位置上任意排列有 A5種,則共 有a4a4a5種岔石 岔石1剳石1剳刀J 前匸排一J廠一一般地，元素分成多排的排列問(wèn)題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研練習(xí)題：有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排14個(gè)座位，現(xiàn)安排 4人就座規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這 4人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346八. 排列組合混合問(wèn)題先選

9、后排策略例8.有5個(gè)不同的小球，裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個(gè)球，共有多少不同的裝法.4解：第一步從5個(gè)球中選出4個(gè)組成復(fù)合元共有 C5種方法.再把4個(gè)元素（包含一個(gè)復(fù)合元444素）裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有A4種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有C5A4解決排列組合混合問(wèn)題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想 .此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎練習(xí)題：一個(gè)班有 6名戰(zhàn)士，其中正副班長(zhǎng)各 1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù)，且正副班長(zhǎng)有且只有 1人參加，則不同的選法有194種九. 小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略例9.用1,4,3,4,5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1, 5在兩

10、個(gè)奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個(gè)444解：把1 , 5 , 2 , 4當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與3排隊(duì)共有A4種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有 A4A4種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有a；a4a4種排法.*15243小集團(tuán)排列問(wèn)題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。練習(xí)題：1 .計(jì)劃展出10幅不同的畫(huà)，其中1幅水彩畫(huà)，4幅油畫(huà)，5幅國(guó)畫(huà)，排成一行陳列，要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為a4a5a44.5男生和5女生站成一排照像，男生相鄰，女生也相鄰的排法有 a；a5a5種十.元素相同問(wèn)題隔板策略例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給 7個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案解：因

11、為10個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成9個(gè)空隙。在9個(gè)空檔 中選6個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成7份，對(duì)應(yīng)地分給7個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì) 應(yīng)一種分法共有 C；種分法。o|o o|o|o o|o|o o|oII二lira II III頭 IS一二三四五六七班班班將n個(gè)相同的元素分成 口份（n, m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插丿入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為練習(xí)題：1. 10個(gè)相同的球裝5個(gè)盒中,每盒至少一有多少裝法C；2 . x y z w 100求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)C103十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,123,4,5,

12、6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種解：這問(wèn)題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有 5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù)，所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有 C；,只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有 C；C；,和為偶數(shù)的取法共有 C；C； C53。再淘汰和小于10的偶數(shù)共9種，符合條件的取法共有 c5c| C53 9有些排列組合問(wèn)題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷，可以先求練習(xí)題：我們班里有 43位同學(xué)，從中任抽5 人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種十二.平均分組問(wèn)題除法策略例12. 6本不同的書(shū)平均分成 3堆,每堆2

13、本共有多少分法2 2 2 解：分三步取書(shū)得C6C4C2種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)數(shù)的現(xiàn)象，不妨記6本書(shū)為ABCDEF若2 2 2 第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF該分法記為（AB,CD,EF）,則C6C4C2中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 A3 種取法，而這些分法僅是(AB,CD,EF) 一種分法，故共有C；C：C2/A3種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以人叮(n為均分練習(xí)題：1將13個(gè)球隊(duì)分成3組,一組5個(gè)隊(duì),其它兩組4個(gè)隊(duì)，有多少分法(G；C；C：

14、/A2)名學(xué)生分成3組,其中一組4人，另兩組3人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組，有多少種不同的分組方法(1540)3. 某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為 ( ciciAf/A； 90)十三合理分類(lèi)與分步策略例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員，其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞，現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究2 2只會(huì)唱的5人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有 C3C3種，只會(huì)唱的5人中只有1人選上唱歌 人員 WC：種，只會(huì)唱的5人中只有

15、2人選上唱歌人員有 CfCf種，由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有2 2C3C31 1C5C3C2 2C5C5 種。解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做練習(xí)題：1. 從4名男生和3名女生中選出4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有込2. 3成人2小孩乘船游玩,1號(hào)船最多乘3人，2號(hào)船最多乘2人,3號(hào)船只能乘1 人,他們?nèi)芜x2 只船或3只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船 ，這3人共有多少乘船方法.(27)本題還有如下分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：*以3個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)*以3個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)*以只會(huì)跳舞的2人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都

16、可經(jīng)得到正確結(jié)果十四構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號(hào)為123,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有C；種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒練習(xí)題：某排共有10個(gè)座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種（120）十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5 的五個(gè)盒子，現(xiàn)將5個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且

17、恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少投法解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有 C；種還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球，3,4,5號(hào)盒3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法, 同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法，由分步計(jì)數(shù)原理有 2C；種3號(hào)盒 4 號(hào)盒 5 號(hào)盒對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖會(huì)收練習(xí)題:1.同一寢室4人，每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái) ，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種（9）2.給圖中區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū) 域不同色，現(xiàn)有4種可選顏色，則不同的著色方

18、法有72種卜六.分解與合成策略例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2 X 3 X 5 X 7 X 11 X 13依題意可知偶因數(shù)必先取 2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積， 所有的偶因數(shù)為：c5 C； C； C； C?練習(xí)：正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線解：我們先從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共 C；1258,每個(gè)四面體有3對(duì)異面直線，正方體中的 8個(gè)頂點(diǎn)可連成 3 58 174對(duì)異面直線分解與合成策略是排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決，然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu)，用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和

19、分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成，從而得到十七.化歸策略例17. 25人排成5X 5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種解：將這個(gè)問(wèn)題退化成 9人排成3X 3方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同 一列，有多少選法這樣每行必有1人從其中的一行中選取 1人后，把這人所在的行列 都劃掉，如此繼續(xù)下去從3X 3方隊(duì)中選3人的方法有C3C2C1種。再?gòu)?X 5方陣選出3X 3方陣便可解決問(wèn)題從5 X 5方隊(duì)中選取3行3列有CiCs選法所陣選不在同一行也不在同一列的3人有c；c3c3c；c；選法。處理復(fù)雜的排列組合問(wèn)題時(shí)可以把一個(gè)問(wèn)題退化成一個(gè)簡(jiǎn) 要的問(wèn)題，通過(guò)解決這個(gè)簡(jiǎn)要的問(wèn)題的解決找到解題方法,A走到B的最短路徑有練習(xí)題：某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，從多少種（C；35）十八數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略例18 .由0, 1, 2, 3, 4, 5六個(gè)數(shù)字可以組