高中數(shù)學必修4第二章-向量-檢測試題

1、第二章檢測試題(時間 :90 分鐘滿分 :120 分 )【選題明細表】知識點、方法題號向量及相關概念1、4、12 、14向量的線性運算2、3、8、16向量的數(shù)量積6、7、11 、13 、15 、17向量的應用5、9、10 、18一、選擇題 (本大題共10 小題 ,每小題 5 分 ,共 50 分 )1.(2011宿州高一檢測 )如果 a 、b 是兩個單位向量,那么下列四個結論中正確的是(D)(A)a=b(B)a b=1(C)a=-b(D)|a|=|b|解析 :由單位向量的定義知,D 正確 .2.設平面向量a=(3,5),b=(-2,1),則 a-2b等于 (A)(A)(7,3)(B)(7,7)(

2、C)(1,7)(D)(1,3)解析 :a-2b=(3,5)-(-4,2)=(3+4,5-2)=(7,3).故選 A.3. ?+?-?+?化簡后等于 ( B )(A)3 ? (B)?(C) ? (D) ?解析 :原式 =( ?+?)+( ?-?)=( ?-?)+( ?+?)=0+ ?=?,故選 B.4.(2011年高考廣東卷 )已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若為實數(shù) ,(a+ b) c,則等于(B)1 1(A) (B) (C)1 (D)24 2解析 :a+ b=(1,2)+(1,0)=(1+,2),若(a+ b) c,則 4(1+ )-3 2=0,1解得= 2,故選

3、B.5.若四邊形 ABCD 滿足 ?+?=0,( ?-?)?=0, 則該四邊形一定是(C)(A) 正方形 (B)矩形(C)菱形(D) 直角梯形解析 :由?+?=0 即 ?=?可得四邊形ABCD 為平行四邊形 ,由 (?-?)?=0 即?=0 可得 ?,所以四邊形一定是菱形.故選 C.6.(2011烏魯木齊高一檢測 )如果向量 a,b 滿足 |a|=1,|b|=2 ,且 a (a-b), 則 a 和 b 的夾角大小為 ( B )(A)30 (B)45 (C)75 (D)135 解析 :設 a 和 b 的夾角為 ,由于 a (a-b),所以 a(a-b)=0,即 a 2-a b=0,所以 12-1

4、 2 cos =0,所以 cos = 2 ,2又 0 180 ,因此 ,=45 ,故選 B.7.(2010年高考重慶卷)已知向量a,b滿足a b=0,|a|=1,|b|=2,則|2a-b|等于(B)(A)0 (B)22(C)4 (D)8解析 :|2a-b|2 =4a 2 -4a b+b2=4-40+4=8,|2a-b|=22.故選B.8.已知 AD 、BE 分別為ABC 的邊 BC 、AC 上的中線 ,設 ?=a, ?=b, 則 ?等于 (B)(A) 4a+ 2 b3 32 4(B) 3a+ 3 b2 4(C) a- b3 32 4(D)- 3a+ 3b2142解析 :?=2 ?=2(?+ ?

5、)=?+ ?3333= 2a+ 4b. 故選 B.3 39.一質(zhì)點受到平面上的三個力F1,F2,F3(單位 :牛頓 )的作用而處于平衡狀態(tài),已知 F1,F2 成 60 角,且 F1,F2 的大小分別為2 和4,則F3 的大小為 (D)(A)6 (B)2(C)2 5(D)2 7解析 :由于質(zhì)點處于平衡狀態(tài),所以 F1+F 2+F 3 =0,則 F3=-(F 1 +F 2),所以2+F 2) 2|F3 |2= ?=-(F 132+2F2= ?11 F2 + ?21=2 2+4 2 +2 24 2=4+16+8=28,所以 |F3 |=2 7,故選 D.10. 已知向量 a=(1,2),b=(2,-

6、3),若向量 c 滿足 (c+a) b,c (a+b), 則 c 等于 ( D )7 777(A)( , )(B)(- ,-)9 339(C)(7,7)(D)(- 7,-7)3 993解析 :設 c=(m,n),則 a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1),對于 (a+c) b,則有 -3(1+m)=2(n+2),又 c (a+b), 則 3m-n=0,77由解得:m=-9,n=-3 ,故選D.二、填空題(本大題共4 小題 ,每小題5 分,共20分)11.(2011年高考福建卷 ) 若向量解析 :ab=1 (-1)+1 2=1.答案 :112. 設 e1 ,e2 為兩個不共線的向量解析

7、 :a,b 共線 ,a=(1,1),b=(-1,2),則 ab 等于,若 a=e 1 + e 2 與 b=-(2e1-3e.2)共線 ,則等于.由向量共線定理知 ,存在實數(shù)k,使得a=kb,即 e 1+ e2 =-k(2e 1-3e 2)=-2ke 1 +3ke 2又e1 ,e2 不共線 ,1 = -2?,?= 3?3解得=- .2答案 :-3213.(2011 年高考江蘇卷 )已知 e 1,e2 是夾角為2-2e 2 ,b=ke 1 +e 2,若 ab=0, 則實數(shù) k 的的兩個單位向量 ,a=e 13值為.解析 :ab=(e 1 -2e 2 )(ke 1+e 2)=k?1 e2-2?2 +

8、(1-2k)e212=k+(1-2k)cos2-235=2k-2.又 a b=0,5 52k- 2=0, k= 4.答案 :5414. 關于平面向量 a,b,c, 有下列三個命題 :若 ab=a c,則 b=c;若 a=(1,k),b=(-2,6),ab, 則 k=-3;非零向量a 和 b 滿足 |a|=|b|=|a-b|,則 a 與 a+b 的夾角為60 ,其中真命題的序號為.(寫出所有真命題的序號 )解析 :a b=a c? a(b-c)=0,表明 a 與 b-c 向量垂直 ,不一定有 b=c, 所以不正確 ;對于 ,當 ab時,16+2k=0, 則 k=-3, 所以正確 ; 結合平行四邊

9、形法則知,若|a|=|b|=|a-b|,則 |a|,|b|,|a-b| 可構成一正三角形,那么 a+b 與 a 的夾角為30 ,而非 60 ,所以錯誤 .答案 :三、解答題 (本大題共 4 小題 ,共 50 分 )15.( 本小題滿分12 分)(1)已知 a=(4,2),求與 a 垂直的單位向量的坐標 .(2)若 |a|=2,|b|=1,且 a 與 b的夾角為 120 ,求|a+b| 的值 .解:(1) 設與 a 垂直的單位向量為e=(x,y),2 2則? + ? = 1, 4?+ 2?= 0,?=5?=5,5-解得 或 5?=- 2 5?=2 5 .555 25) 或 e=(-5 25所以

10、e=(,-,).5555(2)|a+b| 2=(a+b)2=a 2 +2a b+b 2=4+2 21cos 120 +1=3,所以 |a+b|= 3 .16.( 本小題滿分12 分)1 1如圖 ,以向量 ?=a, ?=b 為鄰邊作 ? OADB, ?=?,?=?,用 a,b 表示33?,?,?.解:?=?-?=a-b,?= 1 ?=1a- 1 b,6 6 6 15?= ?+?= a+ b;66又?=a+b,111?=?+3 ?=2 ?+6 ?2223?33= a+ b;2a+2 b- 1a- 5 b?=-=?33 6 61 1= a- b.2617.( 本小題滿分13 分)已知 ?=(2,1)

11、,?=(1,7),?=(5,1),設 M是直線OP上一點 (O為坐標原點).(1)求使 ?取最小值時的?.(2)對 (1) 中求出的點M, 求AMB的余弦值.解:(1) M 是直線 OP 上一點 , ?,設?= ?=(2 ,),則?= ?-?=(1-2 ,7- ), ?= ?-?=(5-2 ,1- ),2+12=5(-2)2-8,?=5 -20 當=2 時 ,?取最小值 ,此時 ?=(4,2).(2)由 (1) 知,?=(-3,5), ?=(1,-1),? 417cos AMB= =-.|?|?1718.( 本小題滿分13 分 )1 3已知向量 a=( 3,-1),b=(,).(1)求證 :a

12、 b;(2)是否存在不等于零的實數(shù) k 和 t,使 x=a+(t 2-3)b,y=-ka+tb, 且 x y?如果存在 , 試確定 k 與 t 的關系 ;如果不存在 ,請說明理由 .1 3 3 3(1)證明 :ab= 3 +(-1) =-=0,2222a b.(2)解 :假設存在非零實數(shù)k,t, 使 x y,則a+(t 2-3)b (-ka+tb)=0,整理得 -ka 2+t-k(t2 -3)a b+t(t 2 -3)b 2 =0.又 a b=0,a 2 =4,b 2 =1.-4k+t(t2 -3)=0,1即 k= 4(t 3-3t),故存在非零實數(shù)k,t, 使 x y 成立 ,1其關系為 k

13、= 4(t 3 -3t).自我補償1.(平面向量及其相關概念) 下列敘述中真命題的個數(shù)是(A)若 a=b, 則 3a2b;若 ab, 則 a 與 b 的方向相同或相反;若 ab,b c 則 ac;?與 a 同方向的單位向量是|?|(A)0 (B)1(C)2 (D)3解析 :對于 , 若 a=b=0時,3a=2b,若 a=b 0,3a2b 也不正確 ,因為向量只有相等 ,不能比較大小 ,正確的表示為若 a=b 0,則|3a|2b|; 對于忽略了零向量 ,不正確 ;對于 ,若 b=0,滿足 a b,b c,但 a,c 不一定共線 ;對于 ,若 a=0 時,顯然錯誤 .2.(不理解向量的幾何意義)

14、已知點 O 、N 、 P 在ABC 所在平面內(nèi) ,且|=|=|,+=0, 且? ? ? ? ?、N 、 P 依次是ABC 的( C ) =,則點 O(A) 重心、外心、垂心(B) 重心、外心、內(nèi)心(C) 外心、重心、垂心(D) 外心、重心、內(nèi)心解析 :由| ?|=| ?|=| ?|知,O 為ABC 的外心 ;由?+ ?+?=0,可得 N 為ABC 的重心 ;?=?,(?-?)?=0,?=0,即可證得 P 為ABC 的垂心 ,選 C.3.(利用數(shù)量積求夾角范圍) 若向量 a=(-2,2) 與 b=(1,y) 的夾角為鈍角 ,則 y 的取值范圍是.解析 :ab0得 -2 1+2y0,y1,又 a 與 b 夾角為鈍角 ,故 a 與 b 不反向 ,則-2y-2 10,得 y-1y 的取值范圍是 (- ,-1) (-1,1).答案 :(- ,-1) (-1,1)4.(向量垂直的坐標運算)已知向量a=(4,3),b=(-1,2),若 a- b