偏微分方程的行波解畢業(yè)設(shè)計(jì)論文

1、偏微分方程的行波解目錄前言4一、孤立波與孤立子4二、直接積分法42.1.burgers方程4三、混合指數(shù)方法63.1.混合指數(shù)方法63.2.修正的kdv方程8四、雙曲正切函數(shù)展開方法104.1.雙曲正切函數(shù)展開方法的步驟104.2.kdv方程11五、一些方程的行波解12總結(jié)15致謝：16參考文獻(xiàn)17摘要：該論文介紹了兩種求解非線性偏微分方程的行波解的方法，對(duì)這些方法的求解步驟進(jìn)行整理，并舉例說(shuō)明它們?cè)诜蔷€性偏微分方程求解中的應(yīng)用。而且利用行波變換對(duì)一些非線性偏微分方程進(jìn)行求解。關(guān)鍵詞：非線性偏微分方程，行波解，孤立波。summary:this paper introduces two meth

2、ods for solving nonlinear partial differential equation of travelling wave solutions. some examples are given to explain these methods. some nonlinear partial differential equations are solved using these methods.keywords: nonlinear partial differential equations, travelling wave solutions, solitary

3、 wave.前言在線性理論日臻完善的今天，非線性科學(xué)已經(jīng)蓬勃發(fā)展于各個(gè)研究領(lǐng)域而成為研究焦點(diǎn)。因此在研究過程中將無(wú)法避免地碰到各種各樣的非線性方程，而對(duì)于這些非線性方程的求解無(wú)疑成為非線性科學(xué)研究的關(guān)鍵所在，也是非線性研究的難點(diǎn)所在。不同于線性方程，由于線性疊加原理的失效，還沒有辦法給出本質(zhì)上非線性的非線性系統(tǒng)的一般解。雖然一類犄角能用一種或幾種方法得到，但一種方法通常不能得到各種類型的特解。因此，求解非線性系統(tǒng)沒有統(tǒng)一的方法。通過眾多科學(xué)家的努力，人們已經(jīng)建立和發(fā)展了不少求解非線性系統(tǒng)的有效方法，特別是針對(duì)其中一些被歸為可積的非線性系統(tǒng)。常用的方法有反形變映射法、截?cái)嗾归_方法、混合指數(shù)法、函

4、數(shù)展開法等等。由于求解非線性偏微分方程比較困難，因此先將其化為常微分方程，求其特解和孤立解，在非線性偏微分方程求解中較為常見。一、 孤立波與孤立子歷史上對(duì)孤立波的最早報(bào)道可以追述到1834年。那年一次偶然的機(jī)會(huì)，英國(guó)科學(xué)家羅素觀察到了從愛丁堡格拉斯哥的運(yùn)河中汪水面上形成的保持 原有形狀和速度不變圓而光滑、輪廓分明的孤立的水波。但是真正引入“孤立子”這一概念并導(dǎo)致世界范圍內(nèi)對(duì)孤立子理論研究產(chǎn)生熱潮的是kruskal和zabusky在1965年發(fā)表的一篇文章，他們從連續(xù)統(tǒng)一體的觀點(diǎn)來(lái)考慮fpu問題的過程中提出了孤立波（子）的本質(zhì)。當(dāng)兩個(gè)孤立波碰撞之后保持形狀不變，那么就稱這類孤立波為孤立子（或簡(jiǎn)稱

5、孤子）?？紤]1+1維非線性發(fā)展方程， （1-1）這里和是自變量，分別表示空間與時(shí)間坐標(biāo)，是，的函數(shù)。是關(guān)于未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的適當(dāng)函數(shù)。若方程（1-1）的解僅以的形式依賴于和，其中是常數(shù)（表示波速），則稱為行波解。當(dāng)時(shí)，是右行波，當(dāng)時(shí)，是左行波。若方程（1-1）的行波解是局部化的，則稱為孤立波解。二、 直接積分法求發(fā)展方程的行波解，一般先將偏微分方程化為常微分方程來(lái)求解。這種方法已廣為應(yīng)用。許多間單但非常重要的非線性發(fā)展方程的行波解，特別是孤立波解可以通過直接積分獲得。2.1.burgers方程在非線性發(fā)展方程中，burgers方程是一個(gè)很有代表性的耗散波方程。它是最簡(jiǎn)單的非線性擴(kuò)散波動(dòng)的模型，

6、起源于湍流理論的研究。burgers方程可以描述許多物理現(xiàn)象，如黏性介質(zhì)中的聲波，具有有限電導(dǎo)的磁流波，充滿流體的黏彈性管中的波等，其一般形式為 （2-1-1）其中為耗散系數(shù)?？蓪⒎匠套饕韵滦问降奶鎿Q： （2-1-2）其中為常數(shù)，表示波速，為任意常數(shù)。將（2-1-2）代入方程（2-1-1），兩邊關(guān)于積分，得 （2-1-3）其中，為積分常數(shù)，由（2-1-3）有 （2-1-4）考慮方程右端，設(shè) （2-1-5）有兩個(gè)實(shí)根和，其中這樣，方程（2-1-4）可以寫成 （2-1-6）對(duì)方程（2-1-6）積分，求得其中為任意常數(shù)。返回原來(lái)的變量，可得方程（2-1-1）的一個(gè)精確解 （2-1-7）特別地，若取，

7、（2-1-7）化為 （2-1-8）其中，均為任意常數(shù)。三、 混合指數(shù)方法3.1.混合指數(shù)方法混合指數(shù)方法的基本原理是將非線性發(fā)展方程的孤立波解表示為該方程中線性部分的實(shí)指數(shù)解的級(jí)數(shù)形式，其實(shí)質(zhì)是將非線性發(fā)展方程的孤立波解的求解問題化為遞推方程的求解，從而將非線性發(fā)展方程孤立波解的求解問題歸結(jié)為組合計(jì)算問題?？紤]非線性發(fā)展方程， （3-1-1）其中為未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式。用混合指數(shù)法求方程（3-1-1）的孤立波解的步驟如下：第一步、引入行波變換 （3-1-2）其中為常數(shù)，表示波速，為任意常數(shù)，不妨取為零。將變換（3-1-2）代入方程（3-1-1）并關(guān)于變量盡可能積分，得 （3-1-3）

8、其中。第二步、為獲得方程（3-1-3）一般形式的孤波解，引入變換 （3-1-4）其中為待定常數(shù)。將上述變換代入方程（3-1-3），得 （3-1-5）第三步、對(duì)方程（3-1-5）進(jìn)行奇性分析，判別是否需要對(duì)其作非線性變換，即將代入方程（3-1-5），平衡方程中最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與最高階非線性項(xiàng)，計(jì)算出的值，通常為正整數(shù)；若為有理數(shù)，可令來(lái)變換方程（3-1-5）；若為負(fù)數(shù)可假設(shè)。第四步、假定方程（3-1-5）具有如下形式的解 （3-1-6）式中為待定常系數(shù)，是方程（3-1-5）中相應(yīng)線性方程的實(shí)指數(shù)解（若（3-1-5）無(wú)線性項(xiàng)，則為（3-1-5）式中最低次非線性項(xiàng)構(gòu)成的方程的解）。第五步、將（3-1-6

9、）代入方程（3-1-5），利用擴(kuò)展的cauchy乘積公式，令的各項(xiàng)次冪系數(shù)為零，可得到關(guān)于系數(shù)的遞推關(guān)系式 （3-1-7）其中為的多項(xiàng)式，分別為方程（3-1-5）中所有非線性項(xiàng)關(guān)于的最高次冪和最低次冪，分別為方程（3-1-5）中最高非線性項(xiàng)和最低階非線性項(xiàng)的系數(shù)，分別為方程（3-1-5）中最高階非線性項(xiàng)和最低階非線性項(xiàng)中各階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。實(shí)踐中可令為的多項(xiàng)式，若滿足（3-1-7），則對(duì)任意非零常數(shù)，也滿足（3-1-7）。因此通常可設(shè)其中為待定常數(shù)，任意。如果方程（3-1-5）有形如（3-1-6）的解，則可通過平衡現(xiàn)在方程（3-1-5）中的線性最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)來(lái)確定（3-1-8）中的參數(shù)，即

10、 （3-1-9）其中，為多項(xiàng)式的次數(shù)。第六步、將（3-1-8）式代入（3-1-7）式，整理后可得到關(guān)于的次多項(xiàng)式方程。其系數(shù)必須為零，由此得到一組關(guān)于，的代數(shù)方程組，求解代數(shù)方程組確定出和。第七步、記則方程（3-1-5）的形式冪級(jí)數(shù)解為 （3-1-10）利用遞推關(guān)系式 （3-1-11）可給出方程（3-1-5）的閉合形式解，返回原來(lái)的變量最終可獲得方程（3-1-1）的精確孤立波解。3.2.修正的kdv方程修正的korteweg-de vries方程 （3-2-1）其中為自由參數(shù)。首先對(duì)方程作行波變換 （3-2-2）其中為常數(shù)，表示波速。經(jīng)變換（3-2-2），方程（3-2-1）化作關(guān)于積一次分，得

11、 （3-2-3）引入變換 （3-2-4）并將它代入方程（3-2-3），得 （3-2-5）要求方程（3-2-5）為齊次的，故滿足分兩種情況討論（1）方程（3-2-5）線性部分的解為其中。假設(shè)方程（3-2-5）的解為 （3-2-6）引入常數(shù)因子。將（3-2-6）代入方程（3-2-5），利用級(jí)數(shù)乘積的cauchy公式，可得為任意常數(shù)，為零，滿足 （3-2-7）歸納求解方程（3-2-7），可得 （3-2-8）將（3-2-8）代入（3-2-6），得 （3-2-9）選取，由（3-2-2）（3-2-4）和（3-2-9），可得mkdv方程的一個(gè)右傳播解其中，為任意正常數(shù)。（2）此時(shí)，方程（3-2-5）線性部分

12、的解仍為，但作（3-2-6）同樣的假設(shè)，得知依然為任意常數(shù)，系數(shù)滿足 （3-2-10）求解方程（3-2-10），得由此歸納得 （3-2-11）將（3-2-11）代入（3-2-6）得 （3-2-12）選取由（3-2-2），（3-2-4）和（3-2-12），可獲得mkdv方程的一個(gè)左傳播解其中，為任意負(fù)常數(shù)。四、 雙曲正切函數(shù)展開方法4.1.雙曲正切函數(shù)展開方法的步驟為簡(jiǎn)單起見，下面以一個(gè)未知函數(shù)，兩個(gè)自變量的方程為例介紹雙曲正切函數(shù)展開方法，對(duì)多個(gè)自變量的方程或方程組情形，求解步驟完全類似?？紤]1+1維的非線性演化方程 （4-1-1）其中是其變?cè)亩囗?xiàng)式。方程（4-1-1）描述孤立波的動(dòng)態(tài)演化過

13、程。對(duì)給定的，如果方程（4-1-1）有雙曲正切函數(shù)多項(xiàng)式形式的孤立波解，則根據(jù)以下步驟必可求得這些解。第一步、孤立波是一種特殊的行波，因此首先對(duì)方程（4-1-1）作行波變換 （4-1-2）其中為待定常數(shù)，為波數(shù)，為波速，為任意常數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)代換可將方程（4-1-1）化作關(guān)于變量的常微分方程 （4-1-3）第二步、假設(shè)方程（4-1-3）具有雙曲正切函數(shù)多項(xiàng)式形式的解，即 （4-1-4）其中系數(shù)為待定參數(shù)。由于雙曲正切函數(shù)滿足關(guān)系故的導(dǎo)數(shù)依然為的多項(xiàng)式，若以記關(guān)于的多項(xiàng)式的最高冪次，則的最高冪次為而的最高冪次為將（4-1-4）代入方程（4-1-3），平衡方程（4-1-9）中線性最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)與最高階

14、非線性項(xiàng)的冪次，可以確定參數(shù)，稱為孤立波的階數(shù)。第三步、將階數(shù)確定的（4-1-4）代入方程（4-1-3），合并的同次冪系數(shù)并取為零，即得關(guān)于待定參數(shù)，的非線性代數(shù)方程組。第四步、利用吳文俊消元法求解非線性代數(shù)方程組，確定待定參數(shù)，和。返回原來(lái)的變量最終可以給出方程（4-1-1）的孤立波解 （4-1-5）4.2.kdv方程考慮korteweg-de vries方程 （4-2-1）作行波變換其中為待定常數(shù)，為波數(shù)，為波速，為任意常數(shù)。方程（4-2-1）化為 （4-2-2）將（4-1-4）代入方程（4-2-2），使其最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性項(xiàng)的冪次相平衡，即，由此確定出，于是可設(shè)方程（4-2-2）的解為

15、 （4-2-3）將（4-2-3）代入（4-2-2），合并同次冪并令各次冪的系數(shù)為零，消去非零因子后得到確定，和的代數(shù)方程組令，由吳文俊消元方法可求得其特征列為由于的初式均為非零常數(shù)，故的零點(diǎn)集與的零點(diǎn)集相同，計(jì)算，得于是求得方程（4-2-1）的孤立波解為五、 一些方程的行波解5.1.方程 （5-1-1）的行波解。作以下行波替換 （5-1-2）其中為常數(shù)，表示波速。方程（5-1-1）化作待添加的隱藏文字內(nèi)容1其中，對(duì)上式關(guān)于積分一次，得 （5-1-3）這里作一次替換 （5-1-4）則，故方程（5-1-3）可化為即 （5-1-5）其中。令， （5-1-6）則，方程（5-1-5）化作 （5-1-7）

16、對(duì)方程（5-1-7）積分得其中為任意常數(shù)，由（5-1-6），（5-1-4）得 （5-1-8）為關(guān)于的常微分方程。對(duì)方程（5-1-8）求積分可得，還原為原來(lái)的變量，可得方程的行波解其中，為任意常數(shù)。5.2方程 （5-2-1）的行波解。作行波代換 （5-2-2）則方程（5-2-1）化作 （5-2-3）其中，對(duì)方程（5-2-3）關(guān)于積分一次得 （5-2-4）其中為任意常數(shù)。這里作一次替換 （5-2-5）則，故方程（5-2-4）可化為，即 （5-2-6）其中。令， （5-2-7）則，方程（5-2-6）化作 （5-2-7）對(duì)方程（5-2-7）積分可得 （5-2-8）其中，為任意常數(shù)。由（5-2-7），（5-2-5），方程（5-2-8）即可化作 （5-2-9）即由的任意性，可適當(dāng)?shù)倪x取的值使得方程（5-2-9）化為 （5-2-10）對(duì)方程（5-2-10）求積分可得轉(zhuǎn)化為原來(lái)的變量，可得到方程（5-2-1）的行波解其中為任意常數(shù)?？偨Y(jié)不像線性方程那樣有統(tǒng)一的求解方法，對(duì)非線性偏微分方程的求解一般都比較困難，所以通常將非線性偏微分方程化為常微分方程求其特解和孤立解在非線性系統(tǒng)的研究中比較常見。對(duì)非線性偏微分方程先進(jìn)行行波約化，將非線性偏微份方程化為常微分方程，