拋物線平移問題教學課例

1、立足數(shù)學本質(zhì)，提高教學效率拋物線平移問題教學課例柳市鎮(zhèn)第六中學 陳蓉蓉一、背景與主題“實施素質(zhì)教育”，“減輕中小學課業(yè)負擔，提高學生綜合素質(zhì)”,這給當前的教育改革明確了目標，指明了方向。進入初中新課程以來，如何在保持原有傳統(tǒng)教學的優(yōu)勢的基礎(chǔ)上，全面落實新課程理念，實現(xiàn)教學的“輕負高質(zhì)”，是目前擺在初中數(shù)學教學面前的難點。為此，我和幾位同事，一起圍繞“立足數(shù)學本質(zhì)，提高教學效率”這一主題，以拋物線平移問題為載體，進行課例研究.現(xiàn)將我的設(shè)計、實錄、研討、反思等一系列過程給予呈現(xiàn)，供同行交流與探討。二、磨課過程：【第一次課堂教學實錄】片段一：【出示ppt】：生1：開口向下，對稱軸是直線x=1，頂點頂

2、坐標為（1,4）生2：與x軸交點（-1,0），（3,0）與y軸交點（0,3）生3：有最大值，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)，y隨著x的增大而減小師：你們太棒了，非常有水平，如生1、生2，這些不是一眼就能看出來。本題是開放題，結(jié)論還有很多，同學們可以在課后繼續(xù)研究。【研討】引入部分雖是開放題，能夠發(fā)散學生的思維，集中所有學生的注意力，復習了二次函數(shù)的知識點，但與平移內(nèi)容不是直接關(guān)系，并且這個開頭太多地方出現(xiàn)過，不夠新穎。師：當點D向右平移一個單位，則點A、B、C、E將有怎樣變化？生：（齊回各）都一樣，向左平移一個單位。師：如果將這些點連接起來，是什么圖形？生：拋物線。師：拋物線

3、的移動的實質(zhì)是什么？生：沉默。師：拋物線平移的實質(zhì)是點的平移，今天我們一起來學習二次函數(shù)的平移。【研討】把“拋物線的平移的實質(zhì)是什么？”這個問題直接拋出來，學生答不上來，有點冷場。老師應循循善誘，慢慢的引出拋物線平移的實質(zhì)是點的平移。片段二：【PPt出示第1題】：生1：y=-（x+1）2+4【PPt出示第2題】（學生思考1分鐘）生1：將拋物線y=-x2先向右平移1個單位，再向上平移4個單位得到？師：你是怎樣想到的？生1：先將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，在進行平移。師：還有不同的方法嗎？（沉默片刻）生2：將拋物線先向上平移4個單位，在向右平移1個單位。師：對嗎？生：（齊答）對師：拋物線平移和平移的先后順

4、序有關(guān)嗎?生：沒有【PPt出示思考】：在平移過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？生：沉默。師：想象拋物線在平移。生1：開口方向，形狀大小不變，位置發(fā)生變化。師：在平移過程中，解析式有什么變化嗎？（在黑板上寫出y=a（x+m）2+k）生：沉默片刻。生2：m、k變，a不變師：根據(jù)剛才的探索，你對拋物線平移時解析式的變化規(guī)律有何認識？生：沉默師：當左右平移時，解析式中括號內(nèi)有什么變化？生3：左加右減。師：規(guī)律呢？生3：左加右減，上加下減。【研討】：從簡單的第1題著手，使基礎(chǔ)較差的學生也參與到學習中去；但好像只為了練習而設(shè)置，體現(xiàn)不出圖形的變化情況。同時，這樣提問學生一下子難以回答，出現(xiàn)冷場現(xiàn)象。片段三【PPt出示

5、例題】：生：（思考5-6分鐘）師：（指定一位用常規(guī)作法的學生上臺板演）。生1：解：設(shè)向下平移k（k0）個單位，則y=-（x-1.5）2+4-k 把（0，0）代入，得0=（0-1.5）2+4-k解得k= y=-（x-1.5）2+師：請這位同學講解一下自己的解題思路。生1：先將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，再根據(jù)平移規(guī)律。師：你這個減k表示什么意義？生1：由于向下平移若干個單位，所以設(shè)減k。師：非常棒。師：還有其他解法嗎？生2：（板演） 解：由題意得： y=-（x-1.5）2+4 y=-x2+3x+ 拋移后經(jīng)過原點 y=-x2+3x。師：太有才了！還有其他方法嗎？師：當平移后的拋物線經(jīng)過原點時，可知哪些量？

6、生3：與x 軸一個交點為（0，0）對稱軸為直線x=1.5生4：與x軸的另一交點為（3, 0）生5：可以用交點式求師：對了（y=-（x-0）(x-3) 即y=-x2+3x）師：，若解析式為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，只需要確定系數(shù)a、b、c。本題已知哪些系數(shù)？生：a=-1 c=0師：那怎樣求得b呢？生6：（思考片刻）有對稱軸就可以求得b了。師：對啦（=1.5，a=-1，b=0.3）師：本題是一個平移問題，利用頂點式設(shè)元是通法；但本題根據(jù)其特殊點原點，可以用特殊方法解題。【研討】：生2的方法剛開始沒想到，是否還有其他方法，必須再研究。最后歸納時思路不清晰，有待整理。片段四【PPt出示】：學生思考5

7、-6分鐘，再請一位學生講解解題思路?！狙杏憽浚涸趯W生分析后，感覺此題作為拓展提高題意義不大。片段五【PPt出示】：【反思】：在上課的過程中，除了研討中出現(xiàn)的問題外，感覺整堂課的學習氣氛不是很濃，學生參與熱情不高；整堂課我只關(guān)注對知識和技能的復制，只重視結(jié)論的記憶，并不重視知識的發(fā)生，發(fā)展過程，無視學生思維的主體性，沒有真正做到立足于數(shù)學本質(zhì)。針對這些現(xiàn)象，我做了以下修改：1將“說一說”改為“畫一畫”。2將“想一想”中刪掉了第1題，并增加動態(tài)演示。3將“用一用”中的題目重新設(shè)計。在第二次上課時，有幸得到了教授級高級教師，溫州名師徐丹陽老師指導，徐老師首先肯定了“立足數(shù)學本質(zhì)”這一主題，指出了立足

8、數(shù)學本質(zhì)，有利于知識的正遷移，如掌握了二次函數(shù)圖像平移的實質(zhì)，就掌握了一次函數(shù)、反比例函數(shù)以及高中中其它函數(shù)的平移；并指出在中考復習的最后階段，夯實基礎(chǔ)是非常重要的，所以本節(jié)課為基礎(chǔ)知識復習課，但是在設(shè)計教學目標時一定要有深度，不要就事論事，缺乏對題目的深度挖掘，并在設(shè)計上做了適當?shù)恼{(diào)整。【第三次課堂教學實錄】片段一【展示幾何畫板】：師：拋物線y=-x2是最簡單的拋物線，如果我想把這條拋物線平移到y(tǒng)=-（x-1）2的位置，該怎樣移？生1：向右平移1個單位師：對啦。若得到藍色這條拋物線，應該怎樣平移？生2：向左平移一個單位？師：此時的解析式是怎樣的？生2：y=-（x+1）2師：你是怎樣得到的？生

9、2：遲疑了一下。師：觀察y=x2y=-（x-1）2的變化，想想看。生2：拋物線向右平移時，對稱軸為直線x=1；向左平移時，拋物線對稱軸為直線x=-1.師：對，此時解析式括號內(nèi)有何變化？生2：噢，向右為減，向左為加師：拋物線平移規(guī)律為？生2：左加右減，上加下減。師：在這平移過程中，你有什么發(fā)現(xiàn)？生1:形狀大小不變，開口方向不變。師：還有嗎？生2：位置發(fā)生變化。師：補充的很及時。此時解析式有什么變化和不變？ （寫出y=a（x+m）2+k）生：a不變，m、k變了。師：如果我把y=-（x-1）2+2的圖像平移到y(tǒng)=-x2的位置上？應怎樣移？生：向左平移1 個單位，向下平移2個單位。師：在平移過程中，我

10、只將頂點移動點O，則整條拋物線都移動相同的距離，為什么？生：沉默。師：這是個非常深奧的問題喲。拋物線是由什么圖形組成？生：點組成。師：對啦！拋物線由許許多多的點組成。拋物線移動時,其圖像上所有點移動的方向和距離是怎樣的？生：所有點移動的方向和距離相同。師：所以，我們在研究拋物線平移時，往往只需要抓住一些特殊點就可以了，關(guān)鍵抓哪些點呢？生：頂點。師：非常正確，所以拋物線的平移，它實質(zhì)是點的平移，關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為頂點的平移。【設(shè)計意圖】：用幾何畫板演示，能直觀的顯示拋物線平移的規(guī)律, 讓學生感悟到拋物線的平移，其實質(zhì)為點的平移。在拋物線不斷變化的過程中，解析式中的m k也將隨之不斷變化，使學生充分體驗了

11、拋物線的平移中的數(shù)形結(jié)合思想。片斷二:【PPt展示小游戲】：師：現(xiàn)在需要3位同學參與游戲活動，兩位同學上臺，第三位同學站在自己的位置上，按照游戲規(guī)則進行操作，其他同學當裁判，判斷上臺的兩位同學所寫的和所操作的是否正確。生1：報頂點坐標。(報5個頂點坐標)生2：拖動拋物線。生3：在黑板上寫出相應的解析式。師：剛才B同學操作的和C同學所寫的正確嗎?生：正確。師：老師心里也癢癢得，也想出題了，老師出一個有難度的題目來考考你們。拋物線y=-x2+2x+3是有拋物線經(jīng)過怎樣的平移得到的？生：思考1分鐘生1：將拋物線y=-x2先向右平移1個單位，再向上平移4個單位。師：對嗎，同學們？生：對。師：你是怎樣想

12、到的？生1：先將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式。再按平移規(guī)律。師：非常正確。師：剛才的游戲，我們既從形上去體驗了拋物線的平移，又從數(shù)（解析式）上感悟了平移變化過程的實質(zhì)就是點的平移?！驹O(shè)計意圖】：本小游戲?qū)W生自己設(shè)計，把學習的主動權(quán)交給學生，有利于充分調(diào)動學生的學習積極性和課堂氣氛，使全體學生都參與到學習之中。同時又及時鞏固平移的本質(zhì)和規(guī)律，很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法。片斷三【PPt展示例題】師：（先讓學生讀題）師：哪位同學說說本題的已知條件，隱含條件？生：已知條件是拋物線y=-x2+2x+3；向右平移0.5個單位；隱含條件是經(jīng)過原點；a=-1師：（讓學生獨立思考56分鐘，并指定用不同方法的兩位學

13、生上臺板演）生1：解：y=-（x-1.5）2+4-k 0=（0-1.5）2+4-kk= y=-（x-1.5）2+師：請這位同學講解一下自己的解題思路。生1：先將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式，再根據(jù)平移規(guī)律。師：你這個減k表示什么意義？生1：有此題意知向下平移若干個單位，所以設(shè)減k。師：非常棒，但書寫格式要注意（將學生的書寫格式完善）師：還有其他解法嗎？生2：解：由題意得： y=-（x-1.5）2+4 y=-x2+3x+ 拋移后經(jīng)過原點 y=-x2+3x。師：太棒了！還有其他方法嗎？師：再現(xiàn)引入中的圖像動態(tài)演示，當平移后的拋物線經(jīng)過原點時（如圖），可知哪些量？生3：與x 軸一個交點為（0，0）對稱軸為直線

14、x=1.5生4：與x軸的另一交點為（3, 0）生5：可以用交點式求 師：對了（板書y=-（x-0）(x-3) 即y=-x2+3x）師：在求解析式時，若為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，只需要確定系數(shù)a、b、c。本題已知哪些系數(shù)？生：a=-1 c=0師：那怎樣求得b呢？生：（思考片刻）有對稱軸就可以求得b了。師：對啦（板書：=1.5，a=-1，則b=0.3）師：本題是一個平移問題，利用頂點式設(shè)元是通法；但本題根據(jù)其特殊點原點，可以用特殊方法解題；且對稱軸是三種解析式互相轉(zhuǎn)化的橋梁。由此更深挖掘時可得：左右平移可決定系數(shù)b，上下平移可決定常數(shù)c 。【設(shè)計意圖】：根據(jù)通法解題，再次凸顯拋物線平移的實質(zhì)是點的平移，解題的關(guān)鍵是抓住頂點。同時本題一題多解,使數(shù)學充滿著濃厚的趣味性和挑戰(zhàn)性,激發(fā)學生的學習興趣，使本節(jié)課達到高潮。片段四【PPt出示】學生思考5-6分鐘，再請一位學生講解解題思路。片段五