2019-2020學(xué)年江蘇省無錫市江陰市四校高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

1、2019-2020 學(xué)年江蘇省無錫市江陰市四校高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12 小題，共 60.0 分）1.不等式25?+ 6 1 或? 3或? 6或 ? -1?|2 ? ? 0) 的離心率為，兩焦點(diǎn)分別為 ?， ?， M 為橢圓若橢圓2 +2 =512?上一點(diǎn)，且 ?的周長為16，則橢圓 C 的方程為 ()1222222222A.?16+25= 1B. 25+9= 1C.9+25= 1D. 25+16= 17.若正數(shù)a、 b 滿足 ?= ?+ ?+3 ，則 ab 的取值范圍是 ()A.C.9, +)(0,1 9, +)B.D.(- ,1 9, +)1,98. 南北朝時期的數(shù)學(xué)古

2、籍 張邱建算經(jīng) 有如下一道題：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差 ( 即等差 )降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中間三人未到者，亦依等次更給問：每等人比下等人多得幾斤？”()4775A. 39B. 78C. 76D. 812 0在 ?1,3 上有解， 則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 ( )9. 若關(guān)于 x 的不等式 ? - ?+ 4A. (- ,5)B. (- ,5C. (- ,4)D. (- ,-4)(4, +)10. 某公司租地建倉庫， 每月土地占用費(fèi) ?1與倉庫到車站的距離成反比， 而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi) ?與到車站的距離成正比，如果在距離車站10km 處建倉庫，這兩項

3、費(fèi)用 ?21和 ?分別為 2 萬元和 8 萬元，那么要使這兩項費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在距離車站2()A. 4kmB. 5kmC. 6kmD. 7km11.設(shè) ?(?)= 2 + 23 + 2 5 + 27 + ? + 2 2?+7(?)，則 ?(?)等于 ()A. 23 (4 ?- 1)B. 23 (4 ?+1 - 1)C. 23 (4 ?+3 - 1)D. 23 (4 ?+4 - 1)第1頁，共 13頁? =? +1n?，若對任意的正整數(shù)都有12. 已知等差數(shù)列 ?首項為 a，公差為 1， ?5，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( )A.C.(- ,-4)(-3, +)B. (-4,-3)(- ,

4、-5)(-4, +)D. (-5,-4)二、填空題（本大題共4 小題，共20.0 分）13.2命題“ ?， ? + 2?+ 2 0”的否定為?+1且 ?7 ?11 =6= _14.在等比數(shù)列 ? 中， ? 6 ， ?4 + ?14 = 5，則 ?162215.已知橢圓的方程為?= 1(? ? 0) ，過橢圓右焦點(diǎn)且與 x 軸垂直的直線與橢2 +2?2圓交于 P，Q 兩點(diǎn)，直線 ?= ? 與 x 軸交于點(diǎn) M，若 ?為正三角形，則橢圓的?離心率為 _119?4?16.已知 ? 0， ?0 ，且 ?+ ?= 1，則 1-? + 1-?的最大值為 _ 三、解答題（本大題共6 小題，共70.0 分）1

5、7.已知關(guān)于 x 的不等式：22(?+ 1)?+ 4 0， ?-(1) 當(dāng)?= -4 時，求不等式的解集；(2) 當(dāng)? 0時，求不等式的解集18.在等差數(shù)列 ? 中， ? = 3，? = 6?25(1) 求數(shù)列 ? 的通項公式；? =1，求數(shù)列? ?(2) 設(shè) ? ?+1? 的前 n 項和 ?219.已知函數(shù) ?(?)= ? + ?+ 3 (1) 當(dāng)?時， ?(?) ?恒成立，求a 的取值范圍(2) 當(dāng)?4,6 時， ?(?) 0恒成立，求x 的取值范圍第2頁，共 13頁20.某地區(qū)現(xiàn)有一個直角梯形水產(chǎn)養(yǎng)殖區(qū)ABCD ， ?= 90 ，?/?，?= 800?，?= 1600?， ?= 4000

6、? ，在點(diǎn) P 處有一燈塔 ( 如圖 ) ，且點(diǎn) P 到 BC，CD 的距離都是 1200m，現(xiàn)擬將養(yǎng)殖區(qū) ACD 分成兩塊，經(jīng)過燈塔 P 增加一道分隔網(wǎng) EF，在 ?內(nèi)試驗(yàn)養(yǎng)殖一種新的水產(chǎn)品，當(dāng) ?的面積最小時，對原有水產(chǎn)品養(yǎng)殖的影響最小設(shè) ?= ?(1) 若 P 是 EF 的中點(diǎn)，求 d 的值；(2) 求對原有水產(chǎn)品養(yǎng)殖的影響最小時的d 的值，并求 ?面積的最小值21.在數(shù)列 ? 中，已知 ? = 3，且 2?= ? + 1(?).?12?+1?(1) 求證：數(shù)列 ? - 1 是等比數(shù)列；?(2) 若? = ?，求數(shù)列 ? 的前 n 項和 ? ?22?22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy 中

7、，橢圓 C： 2 +2 =1(? ? 0) 的左、右焦點(diǎn)分?別為 ?，?，P 為橢圓 C 上一點(diǎn)，且 ?垂直于 x 軸，連結(jié) ?并延長交橢圓于另一1221點(diǎn) Q，設(shè) |? ? = ?| 1 ?|(1) 若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (2,3) ，求橢圓 C 的方程及 ?的值；(2) 若4 ? 5，求橢圓 C 的離心率的取值范圍第3頁，共 13頁第4頁，共 13頁答案和解析1.【答案】 D【解析】 【分析】本題考查了求一元二次不等式解集的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題把不等式化為(?- 2)(?- 3) 0 ，求出解集即可【解答】解：不等式2? - 5?+ 6 0化為 (?- 2)(?-3) 0，解得2 ? 3，所以

8、不等式的解集是?|-2 ? 10-? 0，解得 6 ? ? 0)，?，2+ 2=1(其中的兩焦點(diǎn)分別為?12?且 ?16，可得 2?+ 2?= 16，1?2的周長為223?3?其中 ?0) 的離心率為，解得 ?= 5，?= 3 ，則 ?= 4，橢圓 2+ 2=1(，可得=5?5?22所以橢圓 C 的方程為： ?+ ?= 12516故選： D利用三角形 ?的周長以及離心率列出方程求解a， c，然后求解b，即可得到橢圓12方程本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基本知識的考查7.【答案】 A【解析】 【分析】本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題由基本不等式可得， ?= ?+ ?+ 3

9、 2?+ 3，解不等式可求【解答】解：正數(shù) a、 b 滿足 ?= ?+ ?+ 3 ，?+ ? 2，當(dāng)且僅當(dāng) ?= ?時取等號，?=?+ ?+ 3 2 ?+ 3解不等式可得，? 3 或 ? -1( 舍 )則 ? 9 故選 A8.【答案】 B【解析】解：設(shè)第十等人得金 ?斤，第九等人得金 ? 斤，以此類推，第一等人得金 ? 斤，1210則數(shù)列 ?dd?構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為斤金，則每一等人比下一等人多得?1+ ?2+ ?3+ ?4=34?1+ 6?= 3由題意得 ?+?+? =4，即 3?1，8910+ 24?= 4解得?= 7，78每一等人比下一等人多得7 斤金78故選： B第6頁，共 13頁根

10、據(jù)題意將毎等人所得的黃金斤數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列，設(shè)公差為d，根據(jù)題意和等差數(shù)列的前 n 項和公式列出方程組，求出公差d 即可得到答案本題考查等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用，以及方程思想，是基礎(chǔ)題【答案】 A9.2?+ 4 0在 ?1,3上有解，【解析】 解：關(guān)于 x 的不等式 ? -即 ? ?+ 4 在?1,3 上能成立?設(shè) ?(?)= ?+ 4 ，則 ?(?)在 (0,2 上單調(diào)遞減，在2, +)上單調(diào)遞增，?故當(dāng) ?= 2時， ?(?)取得最小值4，又 ?(1) = 5 ， ?(3) = 13 ，故當(dāng) ?= 1 時，函數(shù) ?(?)取得最大值3則實(shí)數(shù) ? 5，故選： A由題意可得 ? ?+ 4在?1,

11、3 上能成立 設(shè) ?(?)= ?+ 4，求出函數(shù) ?(?)在 ?1,3 上?的最大值，可得m 的范圍本題考查了含有參數(shù)的一元二次不等式在某一閉區(qū)間上有解的應(yīng)用問題，考查構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是基本知識的考查，屬于中檔題10.【答案】 B【解析】 解：由題意可設(shè) ?1 =?1 ， ?2 = ?2，?， ?=2，?1 = ?12?把 ?=10，?1 =2與 ?= 10 ，?2 = 8分別代入上式得 ?1 = 20， ?2 = 0.8 ，? =20，?=0.8?(?為倉庫與車站距離 ) ，1?2費(fèi)用之和 ?= ?20+ ?2 = 0.8?+?24 = 8，1當(dāng)且僅當(dāng) 0.8?= 20 ，即 ?=

12、5 時等號成立?當(dāng)倉庫建在離車站5km 處兩項費(fèi)用之和最小應(yīng)選 B據(jù)題意用待定系數(shù)法設(shè)出兩個函數(shù)?1 =?1 ， ? = ?，將兩點(diǎn) (10,2) 與 (10,8) 代入求出?22兩個參數(shù)再建立費(fèi)用的函數(shù)解析式用基本不等式求出等號成立的條件即可本題是函數(shù)應(yīng)用中費(fèi)用最少的問題， 考查學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力及選定系數(shù)求解析式，基本不等式求最值的相關(guān)知識與技能11.【答案】 D【解析】解：依題意，?(?)可以看作以2 為首選，4 為公比的等比數(shù)列的前 ?+ 4 項的和，所以 ?(?)=2(1-4 ?+4)2(4 ?+4 - 1) ，1-4= 3故選： D依題意， ?(?)可以看作以2 為首選， 4為

13、公比的等比數(shù)列的前 ?+ 4項的和，代入等比數(shù)列的求和公式即可第7頁，共 13頁本題考查了等比數(shù)列的前n 項和，找到公比和項數(shù)是解題關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題12.【答案】 D【解析】 解：等差數(shù)列?首項為 a，公差為1，所以 ?= ?+ ?- 1 ，? +1?+?所以 ?=?= ?+?-1，?則? =? +111?= 1 += 1 +，?+?-1若對任意的正整數(shù)n 都有 ? ?5，(?1= 1 + ?+4，所以?) ?= ?5所以 ?5 ?4，?5 ?6解得 -5? 0”的否定為： 命題“ ?02+ 20”所以，命題“ ?，?，? + 2?00故答案為： ?02?，? + 2? + 2 00031

14、4.【答案】 2【解析】 解： ?7 ?11= ?4 ?14= 6?20 的兩個根，解得 ?4 = 2 ， ?14= 3或?4 = 3，?14 = 2?4 和14為方程 ? - 5?+ 6 =? ?+1?4= 3，?14= 2102?=3?=1=3故 610?2?16故答案為： 32根據(jù)等比中項的性質(zhì)可知?7 ?11= ?4 ?14 求得 ?4?14 的值，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理判斷出2?和 ? 為方程和? ，則6可求?4?- 5?+6= 0的兩個根，求得 ?41414?16本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)解題過程靈活利用了韋達(dá)定理，把數(shù)列的兩項當(dāng)做方程的根來解，簡便了解題過程第8頁，共 13頁15.【答

15、案】 33【解析】 【分析】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，解方程求離心率的大小，屬于中檔題?設(shè) F 為右焦點(diǎn)，先求出FQ 的長，直角三角形FMQ 中，由邊角關(guān)系得?30=，建?立關(guān)于離心率的方程，解方程求出離心率的值【解答】22解：因?yàn)闄E圓的方程為?+?= 1(? ? 0) ，過橢圓右焦點(diǎn)F 且與 x 軸垂直的直線與22?橢圓交于 P， Q 兩點(diǎn)，2橢圓的右準(zhǔn)線?= ? 與 x 軸交于點(diǎn) M，?22若?=?，?=?，為正三角形，得?- ?23?=2?=所以 ?30= ?，3?-?所以 ?= 3，3故答案為： 3316.【答案】 -25【解析】 解：依題意，? 0 ，? 0，且

16、11?+?+=1，所以 ? 1， ? 1，且?= 1，即?+ ?= ?，9?4?9?-9+94?-4+494所以 1-? + 1-? =1-?+ 1-?= -9 - 4 - (?-1 + ?-1)，94因?yàn)?-1 0， ?-1 0，所以9?4?9494361-? + 1-? =-13-( ?-1 + ?-1) -13-2?-1 ?-1 = -13- 2 ?-(?+?)+1=-13- 12= -25當(dāng)且僅當(dāng)?= 5， ?=5時等號成立23故答案為： -2511?+?+ ?= 1，所以= 1，即 ?+?= ?，且 ? 1 ，? 1 ，再結(jié)合基本不等式即可得到?9?4?1-? + 1-? 的最大值本

17、題考查了基本不等式，考查學(xué)生的計算能力，正確運(yùn)用基本不等式是關(guān)鍵本題屬于難題17.【答案】 解： (1) 根據(jù)題意，當(dāng) ?= -4 時，原不等式化為-4? 2 + 6?+ 4 0 ，第9頁，共 13頁2 0，解可得： -1變形可得： 2? - 3?- 22 ? 0時，原不等式變形可得2(?- )(?- 2) 0 ，?若 ?= 1，則不等式為 (?- 2)2 0，其解集為 ?|? 2 ，若 ? 1， (?-2)(?-2)0?2或 ?2或 ?2 ；?若 ?0?2或 ? ?綜合可得： ?=1時，不等式的解集為?|? 2 ，? 1時，不等式的解集為?|?2 或；?2或? 0，解可得 x 的取值范圍，即

18、可得不等式的解集；(2) 當(dāng) ? 0時，原不等式變形可得2(?- )(?- 2) 0 ，按 a 的取值范圍分情況討論，求?出不等式的解集，即可得答案本題考查不等式的解法，涉及含有參數(shù)問題的討論，屬于基礎(chǔ)題18.【答案】 解：等差數(shù)列 ?中， ?2 = 3， ?5 = 6可得 ?=? -?=6-3= 1， ?1= ?2-?= 2525-25-2所以 ?= ?+ 1 (2)? =1=1=1-1?+1(?+1)(?+2)?+1?+2數(shù)列 ?n項和? =1-1+1-1+ ? +1-1=? ? 的前?2334?+1?+22?+4【解析】 (1) 利用等差數(shù)列關(guān)系式求出公差，然后求解數(shù)列的通項公式(2)

19、化簡數(shù)列的通項公式，利用裂項消項法求解數(shù)列的和即可本題考查數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列求和的方法：裂項消項法的應(yīng)用，考查計算能力19.2【答案】 解： (1) 函數(shù) ?(?)= ? + ?+ 3，當(dāng) ?時， ?(?) ?恒成立，2? 0對任意 ?恒成立，? + ?+ 3 -2=? - 4(3 - ?) 0 ，2化簡得 ? + 4?- 12 0，解得： -6 ? 2；2?+ 3 ，(2) 設(shè) ?(?)= ? +則由題可得：當(dāng) ?4,6 時，恒有 ?(?) 0，?(4) 02? -3或? -1? + 4?+ 3 0， ?(6) 0 即2解得 6?-3 + 6? + 6?+ 3 0? -3 - 或即 ?

20、 -3 - 6或? -3 + 6，?的取值范圍是 ?|? -3-6 或 ? -3+ 6.第10 頁，共 13頁【解析】2(1)?(?) ?恒成立， ? + ?+ 3 - ? 0 對任意 ?恒成立，根據(jù)判別式進(jìn)而求解；2，轉(zhuǎn)化成關(guān)于a 的一次函數(shù)，進(jìn)而求解(2) 設(shè) ?(?)= ? + ?+ 3(1) 考查不等式恒成立，不等式與二次函數(shù)的聯(lián)系，判別式的應(yīng)用；(2) 考查轉(zhuǎn)化思想，將關(guān)于 x 的函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a 的函數(shù)20【. 答案】解：(1) 以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB 所在直線為x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則 ?(800,1600) ，?(800,0) ，?(-400,400)， ?

21、(-3200,1600)AC 所在直線方程為?= 2?，AD 所在直線方程為 ?= - 1 ?.2設(shè) ?(-2?, ?)，?(?,2?)，? 0 ， 0 ?是 EF 的中點(diǎn)， -2? + ?= -800 ，解得 ? = 480 ，?+ 2?= 800?= 160?(-960,480) ，22= 4805?= |?|= 960 + 480(2) ?經(jīng)過點(diǎn) P，? = ? ，? ?即?-4002?-400，化簡得80? + 240?= ?-2?+400= ?+400由基本不等式得：?= 80? + 240? 160，3?即 ? 76800 ，當(dāng)且僅當(dāng) ? = 3?= 480 時等號成立?= -1

22、， ?，?1155? ?= 2?= 2 ?5? 5?=2 ? 2 76800 = 192000 ，此時 ?(-960,480) ， ?= ?= 480 5 故對原有水產(chǎn)品養(yǎng)殖的影響最小時，?= 480面積的最小值為 192000 ?25. ?【解析】 (1)建立平面坐標(biāo)系，求出直線AD， AC 的方程，根據(jù) P 為 EF 的中點(diǎn)列方程得出 E 點(diǎn)坐標(biāo)，從而可計算 d；(2) 根據(jù)基本不等式得出 ?的最小值，進(jìn)而求出 ?的面積最小值本題考查了直線方程的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題21.【答案】 解： (1) 2?= ? + 1(?).?+1?2(?-1) = ?- 1，?+1?3，?1 =

23、 2?1- 1=1且 ? 0，2?- 1?+1-1=1 ?-12，?數(shù)列 ?-1為首項， 1為公比的等比數(shù)列 ;1是以 22(2) 由(1) 可得： ? - 1 = (1)?，? 21 ?=1+()，?2第11 頁，共 13頁? = ?+ ?(1)?2，?11+ ?= (1 ? + 2 ?222+(1+ 2+ ? + ?)，1+ ?2?)令 ?= 1 ?1+ 2?1+ ?+?1 ，22 22?1?=1?1+ 2?1+ ?+ (?-1) ?1+ ?1，2?22232?2?+11?=1+11?兩式相減可得，222+?+2?-2?+1，21(1 -1?)-?= 222?+11 -121 ?= 1 - 2? - 2?+1，?= 2 -11?= 2-?+22( )?- ?( )2? ，22?= 2-2?+2+ ?+?2 ?2【解析】 本題主要考查了利用等比數(shù)列的定義證明等比數(shù)列，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，還考查了等差數(shù)列的求和公式及錯位相減求和方法的應(yīng)用(1) 由已知可得， 2(?+1 -1) = ?-1，從而可證明數(shù)列?- 1 是等比數(shù)列；(2) 由 (