2019-2020學(xué)年江蘇省南京市高三(上)期初數(shù)學(xué)試卷(9月份)

1、2019-2020 學(xué)年江蘇省南京市高三（上）期初數(shù)學(xué)試卷 （ 9月份）一、填空題（本大題共14 小題，共 70.0 分）1. 已知集合 ?= ?|- 1 0) 的右頂點(diǎn)到雙曲線的一條?16漸近線的距離為 45，則雙曲線 C 的方程為 _38.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為_9. 函數(shù) ?(?)= ?(?+?)(? 0, ? 0) 的部分圖象如圖所示若函數(shù) ?= ?(?)在區(qū)間 ?, ?上的值域?yàn)?- 2, 2 ，則

2、 ?- ?的最小值是 _第1頁，共 13頁10.在公比為 q 且各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列? =1，2?中， ?為 ?的前 n項(xiàng)和若 1?且 ? = ? + 7，則首項(xiàng) ?的值為 _52111.已知是定義在區(qū)間(-1,1) 上的奇函數(shù)，當(dāng) ? 0 時(shí)， ?(?)= ?(?-1).已知 m 滿足不等式 ?(1- ?) +?(1- ?2 ) 0，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍為 _12.22已知圓 O： ? + ? = 4和圓 O 外一點(diǎn) ?(?,?) ，過點(diǎn) P 作圓 O 的兩條切線，切點(diǎn)00分別為 A，B，且?= 120若.點(diǎn) ?(8,0)和點(diǎn) P 滿足 ?= ?，則的范圍是 _13.如圖，已知梯形?2A

3、BCD ， ?/?，=，取 BD 中點(diǎn) E，連?3接 AE 并延長(zhǎng)交 CD 于 F，若?，則 ?=2? ?= _14.已知函數(shù) ?(?)= 1 + ?, 1，若 ? ?，且 ?(?的取1111) + ?(?) = 2，則? + ?2 ?+ 2 ,?12212值范圍是 _二、解答題（本大題共6 小題，共90.0 分）15.如圖，在四棱錐 ?-?中，底面 ABCD 是正方形， ?底面 ABCD ，且 ?= ?，點(diǎn) F 是棱 PD 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 為 CD的中點(diǎn)(1) 證明： ?/平面 PAC；(2) 證明： ? ?16. 在 ?中， ?= 3?4， ?= 6， ?= 32(1) 求 sinB 的值

4、；(2) 若點(diǎn) D 在 BC 邊上， ?= ?，求 ?的面積17. 窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一圖中的窗花是由一張圓形紙片剪去一個(gè)正十字形剩下的部分，正十字形的頂點(diǎn)都在圓周上 已知正十字形的寬和長(zhǎng)都分別為x，?(單位：?)且? ? 0)2212?離心率為1，過點(diǎn) ?(4,0)的直線 l 與橢圓 C 相交于 A、 B 兩點(diǎn) (?在 B 的左側(cè) ) 2(1) 求橢圓 C 的方程；(2) 若 B 是 AP 的中點(diǎn)，求直線l 的方程；(3) 若 B 點(diǎn)關(guān)于 x 軸的對(duì)稱點(diǎn)是 E，證明：直線 AE 與 x 軸相交于定點(diǎn)19. 在數(shù)列 ? 中，已知 ? = 2， ? =

5、3? + ?(?)?1?+1?(1)若?(?)= ?(?為常數(shù) ) ， ?3 = 14 ，求k；(2)若?(?)= 2?-1 求證：數(shù)列 ? + ?為等比數(shù)列；?記 ? = ?+ (1- ?)?，且數(shù)列 ?的前 n 項(xiàng)和為，若?為數(shù)列 ?3?中的最小項(xiàng)，求 ?的取值范圍20. 已知函數(shù) ?(?)= ?- ?-2(1) 求曲線 ?= ?(?)在?= 1處的切線方程；(2) 函數(shù) ?(?)在區(qū)間 (?,?+ 1)(? ?)上有零點(diǎn)，求 k 的值；(3) 記函數(shù) ?(?)=12- ?(?)，設(shè) ? ?(? ?) 是函數(shù) ?(?)的兩個(gè)極值? - ?- 221212點(diǎn)，若?3，且 ?(? ?恒成立，求

6、實(shí)數(shù)k 的最大值21) - ?(?)2第3頁，共 13頁第4頁，共 13頁答案和解析1.【答案】 (-1,0【解析】 解： ?= ?|-1 0) 的漸近線方程： 4?- ?= 0 【解析】 解：依題意得：雙曲線C： ?2 -?16點(diǎn) (?,0) 到漸近線 4?- ?=0的距離為 4 5 ，34?=4 52，即： 23，解得 ? = 20 ?+1622所求的雙曲線方程：?20 -16= 122故答案為： ?= 1 20- 16寫出漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離列方程求解即可本題考查了雙曲線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬中檔題38.【答案】 2【解析】 解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為

7、R，高為 2R，2343 ?圓柱 = ?2?= 2?，?球 = 3?33圓柱=2?= ?432 ，球3?= 2?2222?+ 2 ? = 6? = 4?圓柱， 球?23圓柱=6?=?224?球故答案為： 3 2設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為 2R，由此能求出結(jié)果本題考查球和圓柱的體積和表面積的計(jì)算及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化第6頁，共 13頁思想的合理運(yùn)用9.【答案】 3【解析】 【分析】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型首先利用函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步求出函數(shù)的最大值點(diǎn)和最小值

8、點(diǎn)【解答】解：函數(shù) ?(?)= ?(?+?)(? 0, ? 0) 的部分圖象如圖所示?=2?= 8，解得 ?=?，當(dāng) ?= 2時(shí)， ?= 2，4?所以 sin ( 2 + ?)= 1 ，解得 ?= 2?(?)，當(dāng) ?= 0時(shí) ?= 0?由于函數(shù) ?= ?(?)= 2?)(，所以當(dāng) ?= 2 時(shí)取得最4在區(qū)間 ?, ?上的值域?yàn)?- 2, 2大值，當(dāng) ?= -1 時(shí)，函數(shù)取得最小值，則 ?- ?的最小值為 2 - (-1) = 3 故答案為： 3110.【答案】 4【解析】 解： ?5 =?2+ 7，?+ ?+ ?= 7，345234?1(? + ? + ?) = 7，1234 2(? + ?+

9、 ?) = 7，?21 + ?+ ? = 7， ? 0.解得 ?= 2? = 114故答案為： 1 4利用通項(xiàng)公式及其求和公式即可得出本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式， 考查了推理能力與計(jì)算能力， 屬于中檔題11.【答案】 (0,1)【解析】 解： 定義在區(qū)間 (-1,1)上的奇函數(shù)，當(dāng) ? 0 時(shí)， ?(?)=?(?- 1) 當(dāng) ? 0時(shí)， ?(?)為減函數(shù)，即函數(shù)在 (-1,1)上是減函數(shù)，則由 ?(1- ?) +?(1-2221) ，? ) 0得 ?(1-?) -?(1 - ? ) = ?(? -1 1-?10 ? 2得 -1 ?2- 1 1，得0 ?2 ?2- 1?2+ ?-

10、2 00 ? 2得 0 ? 2- 2?0，得 0 ? 1，或-2?1即實(shí)數(shù) m 的取值范圍是(0,1) ，第7頁，共 13頁故答案為： (0,1)根據(jù)函數(shù)奇偶性和解析式， 判斷函數(shù)的單調(diào)性， 利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可本題主要考查不等式的求解， 結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵112.【答案】 3 ,1【解析】 解：由題意可得， A， O， B，P 四點(diǎn)共圓，且圓的直徑為OP， ?=120 ， PA， PB 為圓的切線， ?=60 ，|?|= 2 ， ?= 90 ，|?|= 4 P2216，點(diǎn)的軌跡方程為 ? + ? =設(shè)P的坐標(biāo)為(?

11、, ?)22?4，則? +? = 16，且 -4224， |?|= (?- 8)22則 |?|= ?+?=+ ? = 80 - 16?由題意可得 ?=|?|41|?|= 80-16?=5-? ，1由 -4? 4，可得 ?3 , 11故答案為： 3 ,1 由對(duì)稱性可知， 動(dòng)點(diǎn) P 軌跡一定是圓心在原點(diǎn)的圓，求出 |?|即可得到點(diǎn) P 的軌跡方程，|?|1再由兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理可得?= |?|= 5-? ，由 -4 ? 4 ，即可得到 ?的范圍本題考查直線和圓的位置關(guān)系， 主要考查直線和圓相切的條件， 以及圓的性質(zhì)和兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，屬于中檔題13.【答案】 33【解析】 解：延長(zhǎng)BC，

12、使得 ?= 3 ?，2則四邊形ABHD 為平行四邊形，?則 ?= ?=3，又 ?= 2?，所以? ?(-3? ? ?= 24?) ?-(? + ?+ ?)=3(?+ ?) (?-1 ?)23=3212?2?-2?+即 3?2= ?2，? 3所以 ?= 3 ，故答案為： 33第8頁，共 13頁先將梯形 ABCD 補(bǔ)成平行四邊形 ABHD ，再結(jié)合平面向量基本定理及平面向量線性運(yùn)算運(yùn)算即可得解本題考查了平面向量基本定理及平面向量線性運(yùn)算，屬中檔題14.【答案】 3 - 2?2,+)【解析】解：當(dāng) ? 1 且 ? 1 時(shí)，?(?) + ?(?) =2 + ?+ ?= 2 +(? ?) 2，12121

13、2ln 2 1不符合條件，舍掉；當(dāng) ?111?(?) + ?(?) =1 +? +?= 1+(? + ?) =2，? ?1+?2=1 1且?2 1時(shí)， 1221222122 ，無解，舍掉；不妨設(shè)? 0 ? ? 2；令 ?(?) 0 ? ? 2；?(?)在 (1,2) 上單調(diào)遞減，在 (2, +)上單調(diào)遞增，?(?)最小值為 ?(2) =3 - 2?2；?1 + ?2 3 - 2?2；故答案為： 3 - 2?2,+)根據(jù)題意確定出 ? 1 ?， ?2?+4 ?，解得 0 ? 2 ?2?關(guān)于 x 的解析式為 ?= 2 + ?(0 ? 0恒成立，? + ?- 12 = (?+ 4)(?-?3?+1-

14、81對(duì) ? 4 恒成立2? +?-12令 ?(?)=?+1，則 ?(?+ 1) -?(?)=3?+1(2?2 -26)+162(?+1) 0 對(duì) ? 4恒成立，32-8122+?-12)? +?-12(? +3?-10)(?(?)=3 ?+1-81在 ? 4時(shí)為單調(diào)遞增數(shù)列2? +?-12? ?(4)，即 ? 81 ，4第11 頁，共 13頁81綜上， 9 ? 4 【解析】 (1)分別令 ?=1 ， ?= 2，可得 ?，?，解方程可得k；23(2)計(jì)算 ? + ?+ 1 ，運(yùn)用等比數(shù)列的定義，即可得證；?+1，由?為數(shù)列 ?由 求得數(shù)列 ? 通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和 ?3 中的最小項(xiàng)， 則對(duì) ?

15、3?- 1)?(?+1)?= 1 時(shí)和當(dāng) ?= 2 時(shí) ?的取有(3- ? 39 - 6?恒成立，分類分別求得當(dāng)223?+1-81值范圍，當(dāng) ? 4 時(shí)， ?(?)=2，利用做差法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求得?的? +?-12取值范圍本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式，數(shù)列與不等式結(jié)合，利用函數(shù)的單調(diào)性，求最值，考查計(jì)算能力，屬于難題1，切線斜率為，20.【答案】 解： (1) ? (?)= 1 - ?又 ?(1) = -1 ，切點(diǎn)為 (1, -1) ，切線方程為 ?= -1 ；，當(dāng)0 ? 1時(shí)，0/，函數(shù) ?(?)單調(diào)遞增，所以 ?(?)的極小值為 ?(1) = -1

16、 0，0，?(? ) = ?- ?-2= ?(?)在區(qū)間 (0,1) 上存在一個(gè)零點(diǎn)?1，此時(shí) ?= 0 ；?(3) = 3 - ?3-2 = 1 - ?3 0 ，?(?)在區(qū)間 (3,4)上存在一個(gè)零點(diǎn) ?2，此時(shí) ?= 3綜上， k 的值為 0 或 3；1212(?+ 1)?，(3) 函數(shù) ?(?)= 2 ?- ?- 2 - ?(?)= ?+ 2 ? -，由 ?(?)= 0得 2? - (?+ 1)?+ 1 = 0，?1 + ?2 = ?+ 1 ， ?12 =1，? =1，?213，?15，0 ? =11，+?= ?+12，解得0 ?112?12112?(?)1-?(?)2 =?1+122?)2 = 2?1-121ln ?22(? -?) - (?+ 1)(?1 -2(? -2 ) ，121?11211構(gòu)造函數(shù) ?(?)= 2?-2 )(?(0,),(? -2?2，1?