2010年上海高考數(shù)學(xué)理科(含答案)(總15頁

1、絕密啟用前2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學(xué)試卷（理科類）一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生必須在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對得4分，否則一律得零分。1不等式的解集為_；2若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則_；3若動點(diǎn)P到點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡方程為_；4行列式的值為_；5圓C：的圓心到直線的距離_；6隨機(jī)變量的概率分布率由下圖給出：x78910P（）0303502015則隨機(jī)變量的均值是_；72010年上海世博會園區(qū)每天9:00開園，20:00停止入園。在右邊的框圖中，表示上海世博會官方網(wǎng)站在每個(gè)整點(diǎn)報(bào)道的入園總?cè)藬?shù)

2、，表示整點(diǎn)報(bào)道前1個(gè)小時(shí)內(nèi)入園人數(shù)，則空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入_。8對任意不等于1的正數(shù)，函數(shù)的反函數(shù)的圖像都過點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_。9從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率_（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）。10在行列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為。當(dāng)時(shí)，_。11將直線、（，）軸、軸圍成的封閉圖形的面積記為，則_。12如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O，剪去，將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A（B）、C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的體積為_；xOyE1E213如圖所示，直線與雙曲線：的漸近線交于兩點(diǎn)，記，

3、。任取雙曲線上的點(diǎn)，若（、），則、滿足的一個(gè)等式是_。14以集合 的子集中選出4個(gè)不同的子集，需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件： （1）都要選出； （2）對選出的任意兩個(gè)子集A和B，必有或。那么共有_種不同的選法。二選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案。考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分。15 “”是“”成立的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分條件 （D）既不充分也不必要條件16直線的參數(shù)方程是，則的方向向量可以是 （A）（） （B）（） （C）（） （D）（）17若是方程的解，則屬于區(qū)間（A）（） （B）（）

4、 （C）（） （D）（）18某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長度分別為來源:則此人能（A）不能作出這樣的三角形 （B）作出一個(gè)銳角三角形（C）作出一個(gè)直角三角形 （D） 作出一個(gè)鈍角三角形三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟。19（本題滿分12分）已知，化簡：=020（本題滿分13分）本題共有2個(gè)小題，第一個(gè)小題滿分5分，第2個(gè)小題滿分8分。已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且， （1）證明：是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出為何值時(shí)，取得最小值，并說明理由 （3） 取得最小值21（本題滿分13分）本題共有2個(gè)小題，第一個(gè)小

5、題滿分5分，第2個(gè)小題滿分8分。A1A2A3A4A5A6A7A8B1B2B3B4B5B6B7B8如圖所示，為了制作一個(gè)圓柱形燈籠，先要制作4個(gè)全等的矩形骨架，總計(jì)耗用96米鐵絲，骨架把圓柱底面8等份，再用平方米塑料片制成圓柱的側(cè)面和下底面（不安裝上底面） （1）當(dāng)圓柱底面半徑取何值時(shí)，取得最大值？并求出該最大值（結(jié)果精確到001平方米）; （2）在燈籠內(nèi)，以矩形骨架的頂點(diǎn)為點(diǎn)，安裝一些霓虹燈，當(dāng)燈籠的底面半徑為03米時(shí)，求圖中兩根直線與所在異面直線所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）22（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分10分。若實(shí)數(shù)、滿足，則

6、稱比遠(yuǎn)離 （1）若比1遠(yuǎn)離0，求的取值范圍； （2）對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)、，證明：比遠(yuǎn)離； （3）已知函數(shù)的定義域任取， 等于和中遠(yuǎn)離0的那個(gè)值寫出函數(shù)的解析式，并指出它的基本性質(zhì)（結(jié)論不要求證明）23（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分已知橢圓的方程為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（） （1）若直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)、滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)若，證明：為的中點(diǎn)； （3）對于橢圓上的點(diǎn) ，如果橢圓上存在不同的兩個(gè)交點(diǎn)、滿足，寫出求作點(diǎn)、的步驟，并求出使、存在的的取值范圍參考答案一、填空題：1【答案】解析：由【命題立意】本題考查

7、了分式不等式的求解問題, 考查分類思想方法的應(yīng)用【解題思路】由可得, 解之得,不等式的解集是【易錯(cuò)點(diǎn)】分式不等式中字母系數(shù)為負(fù)時(shí)需要先變號為正, 否則解集將出現(xiàn)錯(cuò)誤2【答案】解析：因?yàn)?，所以，所以【命題立意】本題考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,屬基礎(chǔ)概念題型【解題思路】, 3【答案】解析：依題意可以的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以的軌跡方程為的軌跡方程為【命題立意】本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的概念, 考查函數(shù)與方程思想【解題思路】動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，點(diǎn)P的軌跡為拋物線, 其中F（2,0）為焦點(diǎn), 直線為準(zhǔn)線, 即,解之得,其中對應(yīng)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為4【答案】0解析：【命題

8、立意】本題考查了行列式及三角函數(shù)的二倍角公式, 屬基礎(chǔ)公式題型【解題思路】5【答案】3解析：圓即為：，其圓心，由點(diǎn)到直線的距離公式可得【命題立意】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離,考查數(shù)形結(jié)合思想【解題思路】圓的圓心（1,2）到直線的距離6【答案】82解析：【命題立意】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及均值的計(jì)算問題，考查數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)與處理能力【解題思路】由概率分布率可得隨機(jī)變量的均值為7【答案】解析：因?yàn)楸硎旧虾Ｊ啦俜骄W(wǎng)站在每個(gè)整點(diǎn)報(bào)道的入園總?cè)藬?shù)所以顯然是累加起來的求和，故空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入：【命題立意】本題考查了算法的程序框圖及算法流程圖,考查算法思想的應(yīng)用【解題思路】S

9、的初始值為0, 每個(gè)整點(diǎn)時(shí)輸入的人數(shù)的值均需要累加到S上, 則空白的執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入【易錯(cuò)點(diǎn)】對變量的錯(cuò)誤認(rèn)識, 在賦值框中的表達(dá)式容易出現(xiàn)填等錯(cuò)誤8【答案】解析：方法一：求出反函數(shù)的解析式，由所以函數(shù)的反函數(shù)的解析式為，令，可知與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是。方法二：反函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)即為原函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)，令，從而原函數(shù)與與軸的交點(diǎn)為，所以反函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是【命題立意】本題考查了函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系,考查函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想【解題思路】函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為, 即, 則, 即得點(diǎn)在其反函數(shù)的圖象上9【答案】解析：基本事件總數(shù)為，事件的基本事件為，從而，事件的基本事件為

10、，所以，又事件與是互斥事件從而?！久}立意】本題考查了古典概型的計(jì)算問題, 考查分析問題與解決實(shí)際問題的能力【解題思路】52張中隨機(jī)抽取2張共有種方法, 其中事件A:抽得紅桃K只有1種方法,事件B:抽得黑桃有13種方法, 則概率為10【答案】45解析：可知這個(gè)數(shù)列的每一行，每一列，每一斜行的和均為，從而當(dāng)時(shí)，【命題立意】本題考查了數(shù)陣與數(shù)列的通項(xiàng)與數(shù)列的求和問題, 考查歸納猜想能力及統(tǒng)計(jì)能力【解題思路】由矩陣可得, 11【答案】1解析：依題意可知過點(diǎn)，過點(diǎn)，又與的交點(diǎn)可由方程組 ，如圖所示，設(shè)其為點(diǎn)，從而圍成的封閉圖形即為四邊形，又的面積為，又直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，所以四邊形的面積為，

11、所以排版時(shí)請?zhí)砑虞SxyO11nn【命題立意】本題考查了數(shù)列的極限計(jì)算及數(shù)列的通項(xiàng)的求解問題, 考查極限思想及分析問題與解決實(shí)際問題的能力【解題思路】由三條直線所圍成的三角形所表示的陰影部分如右圖所示, 其面積,【易錯(cuò)點(diǎn)】考生將求出后,不是立即求該值的極限,而是想象成數(shù)列的通項(xiàng),想方?jīng)]法求該數(shù)列的前項(xiàng)和,想去求該和的極限值,屬審題不清錯(cuò)誤12【答案】解析：四面體是以為底，為高的三棱錐，【命題立意】本題考查了平面圖形的折疊及空間幾何體的體積計(jì)算問題,考查空間想象能力【解題思路】由題意可得,折疊后的幾何體是底面為斜邊長等于4的等腰直角三角形,高為的三棱錐, 其體積13【答案】解析：依題意可知兩漸近線

12、方程為：從而，所以設(shè)點(diǎn)，則，又由從而有，所以代入，得【命題立意】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及平面向量的基本定理,考查數(shù)形結(jié)合及數(shù)據(jù)處理的能力【解題思路】設(shè)雙曲線方程為, 由題意可得, 且漸近線的斜率,解之得, 即雙曲線方程為,任取雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為P（,）,則由可得 代入可得,即得【題眼】題中所給的向量關(guān)系實(shí)際上是曲線參數(shù)方程的另一種表示方式, 其通過向量展示了另一類軌跡的求解方式,值得很好去品味14【答案】36解析：依題意可知子集A和B可互換，即視為一種選法。從而對子集分類討論， （1）若是單元集或若是四元集，根據(jù)題意是選出4個(gè)不同的子集，所以不符合要求 （2）若是二元集，則有種情況，此時(shí)

13、相應(yīng)的只有兩種，共有種選法， （3）若是三元集，則有種情況，此時(shí)相應(yīng)的只有6種，共有種選法，綜上所述，共有?！久}立意】本題考查了集合的子集及利用排列組合知識解決實(shí)際問題, 考查分析問題與解決實(shí)際問題的能力【解題思路】若其中一個(gè)集合為一元集（如），則另一個(gè)集合必為含有該元素的二元或三元集,這樣的集合對共有個(gè); 若其中一個(gè)集合為二元集（如,）, 則另一個(gè)集合必為含有該兩個(gè)元素的三元集,這樣的集合對共有個(gè),綜上可得共有24+12=36種不同的選法【易錯(cuò)點(diǎn)】題意的理解是一個(gè)難點(diǎn),另外分類點(diǎn)較多也是制約思維的一個(gè)瓶頸二、選擇題：15【答案】A解析：，可以得到，但是，則有，不一定有。所以是“充分不必要條

14、件”【命題立意】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及充要條件, 考查邏輯推理能力【解題思路】當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), ,“”是“”成立的充分不必要條件, 故應(yīng)選A16【答案】C解析：依題意可以直線直線的一般方程為，直線的斜率為，所以其中一個(gè)方向向量為（）【命題立意】本題考查了直線的普通方程與參數(shù)方程的互化及直線的方向向量問題,考查函數(shù)與方程思想【解題思路】直線的參數(shù)方程可化為普通方程為,該直線的斜率為,則直線的方向向量可以是, 取時(shí), C選擇支中向量滿足條件, 故應(yīng)選C17【答案】C解析：設(shè)，因?yàn)?，從而選C【命題立意】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)及求方程的近似解問題, 考查函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用【解題思路】設(shè), 由

15、, ,可得函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn), 即方程的解, 故應(yīng)選C【易錯(cuò)點(diǎn)】上海市允許考生使用計(jì)算器, 但使用計(jì)算器的前提是將需要運(yùn)算的代數(shù)式列出,即建立固定的函數(shù)模型18【答案】D解析：因?yàn)闈M足兩邊之和大于第三邊，所以能夠作出三角形，又因?yàn)?，故這個(gè)三角形是鈍角三角形.【命題立意】本題考查了解三角形及余弦定理的應(yīng)用, 考查靈活選擇公式解決實(shí)際問題的能力【解題思路】設(shè)三條高長度分別為對應(yīng)的底邊分別為、,根據(jù)面積相等可得, 則可得, 且,的內(nèi)角A為鈍角,即一定是鈍角三角形,故應(yīng)選D【題眼】利用三角形的高度及其與面積的關(guān)系,分析最大的邊長,利用余弦定理判斷對應(yīng)角的余弦值,便可粗略判斷該三角是銳角還是鈍角三角

16、形三、解答題19原式=lg（sinx+cosx）+lg（cosx+sinx）-lg（sinx+cosx）2=020（1）當(dāng)n=1時(shí),解得當(dāng)n 4分 5分 （2） 8分 10分= n=15取得最小值 13分 （1） 當(dāng)n=1時(shí)，a1=-14；當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，所以，又a1-1=-150，所以數(shù)列an-1是等比數(shù)列；（2） 由（1）知：，得，從而（nN*）；解不等式SnSn+1，得，當(dāng)n15時(shí)，數(shù)列Sn單調(diào)遞增；同理可得，當(dāng)n15時(shí)，數(shù)列Sn單調(diào)遞減；故當(dāng)n=15時(shí)，Sn取得最小值21 （2）當(dāng)r=03時(shí),由2r+h=12,解得圓柱的高h(yuǎn)=06（米） 如圖所

17、示,以直線 建立空間直角坐標(biāo)系,則有 10分異面直線 13分 （1） 設(shè)圓柱形燈籠的母線長為l，則l=12-2r（0r|cosx|,即,同理,若|cosx|sinx|,則于是函數(shù)f（x）的解析式是F（x）= 11分函數(shù)f（x）的最小正周期T=2 12分函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù), 13分當(dāng)x=2k或x=2k+,函數(shù)f（x）取得最大值1當(dāng)x=2k+或x=2k+,函數(shù)f（x）取得最大值-1 15分函數(shù)f（x）在區(qū)間 18分 （1） ；（2） 對任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a、b，有，因?yàn)?，所以，即a3+b3比a2b+ab2遠(yuǎn)離；（3） ，性質(zhì)：1f（x）是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱，2f（x）是周期函數(shù)，最小正周期，3函數(shù)f（x）在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，kZ，4函數(shù)f（x）的值域?yàn)?3（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為由題意可知 4分 （2） 由, 7分由 10分 （1） ；（2） 由方程組，消y得方程，因?yàn)橹本€交橢圓于、兩點(diǎn)，所以D0，即，設(shè)C（x1,y1）、D（x2,y2），CD中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0,y0），則，由方程組，消y得方程（k2-k1）x=p，又因?yàn)?，所以，故E為CD的中點(diǎn)；（3） 求作點(diǎn)P1、P2的步驟：1求出PQ的中點(diǎn)，2求出直線OE的斜率，3由知E為CD的中點(diǎn)，根據(jù)（2）可得CD的斜率，4從而得直線CD的方程：，5將直線CD與橢圓的方程聯(lián)立，方程組的解即為點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)欲使