2020年北京市房山區(qū)高考數(shù)學二模試卷

1、2020 年北京市房山區(qū)高考數(shù)學二模試卷一、選擇題（本大題共10 小題，共 40.0分）1.2? 0 ，那么集合 ?= ()已知全集 ?= ?，集合 ?= ?|?-A. (- ,01, +)B. (- ,0) (1, +)C. (0,1)D. 0,12.在 ?中，若?=?23，則?= ( )，?=， ?=43A. 23B. 32C. 26D. 333.函數(shù) ?= ?的最小正周期是 ()A. ?B. 2?C.2D.14.22若雙曲線 ?-?= 1(? 0, ? 0)的一條漸近線經(jīng)過點(1, 3)，則該雙曲線的離心22?率為( )B. 325A. 2C.D.?25.的零點個數(shù)為 ()函數(shù) ?(?)

2、= ? -?A. 0B. 1C.2D.36. “ ?”是“ ? ?”的 ( )A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件7. 已知函數(shù) ?(?)= lg|1 + ?|+ lg|1 - ?|，則 ?(?)( )A. 是奇函數(shù)，且在 (1, +)上是增函數(shù)B. 是奇函數(shù)，且在 (1, +)上是減函數(shù)C. 是偶函數(shù)，且在 (1, +)上是增函數(shù)D. 是偶函數(shù)，且在 (1, +)上是減函數(shù)8. 某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長側(cè)棱的長為 ( )A. 2B. 22C. 23D. 49. 把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是?1 ，?空氣的溫

3、度是 ?0 ，?經(jīng)過t? ?+(?-?分鐘后物體的溫度?)?求得，其中 k 是一個隨著物可由公式 ?= ?010體與空氣的接觸狀況而定的大于0 的常數(shù)現(xiàn)有80?的物體，放在20?的空氣中冷卻， 4 分鐘以后物體的溫度是40?，則 k 約等于 ()( 參考數(shù)據(jù)： ?3 1.099)A. 0.6B. 0.5C. 0.4D.0.310. 李明自主創(chuàng)業(yè)種植有機蔬菜，并且為甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服務，甲、乙、丙、丁四家超市分別需要每隔2 天、 3 天、 5 天、 6 天去配送一次已知5 月 1日李明分別去了這四家超市配送，那么整個5 月他不用去配送的天數(shù)是()A. 12B. 13C. 14D.

4、15二、填空題（本大題共5 小題，共25.0 分）11. 若 (? + ?)(1+ ?)= 1 + 3?(?)，則 ? =_第1頁，共 12頁2 212. 若直線 ?= 3 與圓 ? + ? - 2?- ?= 0相切，則 ?= _13. 已知拋物線C2F，點M在拋物線C上， |?|= 1，則點M的橫： ? = 2?的焦點為坐標是 _， ?(?為坐標原點 ) 的面積為 _ 14. 已知正方形 ABCD 的邊長為 2 ，若 ?= 3 ?，則 ?的值為 _ab2?- 2?,? ?,15.對任意兩實數(shù)給出下列三個結(jié)論：， ，定義運算“ ?”： ? ?= 2?-2?,? 1) ，使得 ?，1k 的值；若

5、不存在，說明理由，2 這三個條件中任選一個，?(?2)? = ?18.“十一”黃金周某公園迎來了旅游高峰期，為了引導游客有序游園，該公園每天分別在 10 時， 12 時， 14 時， 16 時公布實時在園人數(shù)如表記錄了10 月 1 日至 7 日的實時在園人數(shù)：1日2日3日4日5日6日7日10 時在園115261800519682828413830101016663第2頁，共 12頁人數(shù)12 時在園人數(shù)2651837089429311684534017231681480014 時在園人數(shù)3732238045406312071136558247061512516 時在園29687306381618

6、120821161691086627306人數(shù)通常用公園實時在園人數(shù)與公園的最大承載量( 同一時段在園人數(shù)的飽和量)之比來表示游園舒適度，40% 以下稱為“舒適”，已知該公園的最大承載量是8 萬人( ) 甲同學從10月 1日至 7日中隨機選 1天的下午14 時去該公園游覽，求他遇上“舒適”的概率；()從 10 月1日至 7日中任選兩天， 記這兩天中這4 個時間的游覽舒適度都為“舒適”的天數(shù)為X，求 X 的分布列和數(shù)學期望；( ) 根據(jù) 10 月 1 日至 7 日每天 12 時的在園人數(shù)， 判斷從哪天開始連續(xù)三天12 時的在園人數(shù)的方差最大？( 只需寫出結(jié)論 )19.已知橢圓C 的兩個頂點分別為

7、?(-2,0) ， ?(2,0)，焦點在x 軸上，離心率為12( ) 求橢圓 C 的方程；( ) 設 O 為原點，點 P 在橢圓 C 上，點 Q 和點 P 關(guān)于 x 軸對稱，直線 AP 與直線 BQ 交于點 M，求證： P， M 兩點的橫坐標之積等于 4，并求 |?|的取值范圍20. 已知函數(shù) ?(?)=?+ ?1+?( ) 求函數(shù) ?(?)的定義域；( ) 求曲線 ?(?)在點 (0, ?(0)處的切線方程；? ?( ) 求證：當 ?(-2 , 2 )時， ?(?) 2 第3頁，共 12頁21. 已知集合 P 的元素個數(shù)為 3?(?)且元素均為正整數(shù)， 若能夠?qū)⒓?P 分成元素個數(shù)相同且兩

8、兩沒有公共元素的三個集合A，B，C，即 ?= ?，?= ?，?= ? ，?= ? ，其中 ?= ? ,?, ,? ，?=?,?, , ?，?= ?,?, ,? ，1 2?12?12?且滿足 ? ?2， ?， ?= 1， 2， ， n，則稱集合 P 為“完美1 ? ? ?+ ?= ?集合”( ) 若集合 ?= 1, 2，3 ，?= 1,2，3，4，5，6 ，判斷集合 P 和集合 Q 是否為“完美集合”？并說明理由； ( ) 已知集合 ?= 1,x， 3，4，5， 6 為“完美集合”，求正整數(shù) x 的值；( ) 設集合 ?= ?|1 ? 3?,? ，證明：集合P 為“完美集合”的一個必要條件是 ?

9、= 4?或 ?= 4?+ 1(?).第4頁，共 12頁答案和解析1.【答案】 D【解析】 解： ?= ?|? 1 ， ?= ?，?= 0,1 故選： D可以求出集合A，然后進行補集的運算即可本題考查了描述法、區(qū)間的定義，補集的定義及運算，全集的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題2.【答案】 B【解析】 解：由正弦定理得：?=? ，?23=? ，?23=?sin?4sin ，3解得： ?= 3 2 ，故選： B直接利用正弦定理即可求解本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，是基礎(chǔ)題3.【答案】 D【解析】 解：函數(shù) ?= ?=12?2?2?，故它的周期?= 2? = 1，故選： D利用二倍角的正

10、弦公式化簡函數(shù)的解析式， 再利用正弦函數(shù)的周期性， 求出它的最小正周期本題主要考查二倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題4.【答案】 C22【解析】 解：雙曲線?的一條漸近線： ?-?= 0，2 -2 = 1(? 0, ? 0)?漸近線經(jīng)過點，可得22222，(1, 3)，即?=3? ，可得 ? -? =3?= 3?22所以： ? = 4? ， ?= 2?，所以雙曲線的離心率為：?=?= 2?故選： C求出雙曲線的漸近線方程，推出a， b 的關(guān)系，然后求解離心率即可本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，是基本知識的考查，基礎(chǔ)題5.【答案】 B【解析】 解：由 ?(?)=?2?2?-?= 0，

11、得?=?，設 ?= ?，2 ，分別作出兩個函數(shù)的圖象，當? 0時， ?(?)= ? - 2?， ? (?)= ? - 2第5頁，共 12頁? (?)= 0，函數(shù) ? 取(?)得最小值， ? (?=2)- 2?2 0，所以 ?(?)在? 0 時，是增函數(shù)，兩個函數(shù) ?=?20時，沒有公共點?， ?= ?，則 ?2的零點個數(shù)為 1個可知函數(shù) ?(?)= ? - ?故選： B?2?2?2由 ?(?)= ? -? =0，得 ? = ?，設 ?= ?，?= ?，分別作出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象的交點個數(shù)，確定函數(shù)零點的個數(shù)本題主要考查函數(shù)與方程之間的關(guān)系， 利用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)交點問題中最基本的方法，

12、要求熟練掌握6.【答案】 A【解析】 解：由 ?一定得到 ? ?，反之，由 ? ?，不能得到 ?，如?= ?，?= 5?，滿足 ? ?，但 ?= ?66“ ?”是“ ? ?”的充分而不必要條件故選： A由 ?一定得到 ? ?，說明“ ?”是“ ? ?”的充分條件；舉例說明“ ?”是“ ? ?”的不必要條件本題考查充分必要條件的判定，考查角與三角函數(shù)值的關(guān)系，是基礎(chǔ)題7.【答案】 C【解析】 【分析】本題考查函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的判斷，屬于基礎(chǔ)題結(jié)合奇偶函數(shù)的定義先判斷 ?(-?)與 ?(?)的關(guān)系，然后結(jié)合 ? 1時函數(shù)的解析式及復合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷【解答】解： ?(?)的定義域為 ?|?

13、1，關(guān)于原點對稱，?(-?) = lg|1 - ?|+ lg|1 + ?|= ?(?)，故 ?(?)為偶函數(shù)，當 ? 1時， ?(?)= lg(1 + ?)+ lg(?-1) = lg(?2 - 1) ，可知函數(shù)單調(diào)遞增，故選： C【答案】 C8.【解析】 解：根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為一個三棱錐體和一個四棱錐體的組合體如圖所示：根據(jù)三視圖中的長度： ?= ?= 22 ， ?=2 2， ?= 4 ， ?= 2 3，所以最長的側(cè)棱長為 23 故選： C首先把三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖，進一步求出幾何體的側(cè)棱長本題考查的知識要點：三視圖和幾何體的轉(zhuǎn)換的應用，幾何體的側(cè)棱長的求法和比較，第

14、6頁，共 12頁主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型9.【答案】 D【解析】 解：由題意可得：-4?，40 = 20 + (80 - 20)?-4?1= 3?，兩邊取對數(shù)可得： -4? =ln1= -?3= -1.099 ，3?=1.0990.3 4故選： D列方程，根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)計算即可本題考查了對數(shù)性質(zhì)，對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題10.【答案】 B【解析】 解，由題得，甲超市需配送日期為1， 4， 7， 10， 13， 16， 19， 22， 25， 28，31；乙超市為： 1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29；丙超市為： 1， 7， 13， 19， 25

15、， 31；丁超市為： 1， 8， 15， 22， 29，故無需配送日期為：2， 3， 6， 11， 12， 14， 18， 20， 23，24， 26， 27， 30，共 13 天，故選： B根據(jù)題意逐一得到四家需要配送的日期，進而可得其無需配送的天數(shù)本題考查學生合情推理的能力，屬于基礎(chǔ)題11.【答案】 2【解析】 解： (? + ?)(1+ ?)= (? -1) + (? + 1)?= 1 + 3?，?-1 = 1，即 ? = 2?+ 1= 3故答案為： 2利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)相等的條件列式求解本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)相等的條件，是基礎(chǔ)題12.【答案】 3

16、222?- ?= 0 ，得 (?- 1)22【解析】 解：由 ? + ? -+?= ?+ 1，則?+ 1 0，即 ? -1 220 相切，直線 ?= 3 與圓 ? + ? - 2?- ?=圓心 (1,0) 到直線 ?= 3 的距離 ?= 2= ?= ?+ 1，即 ?= 3故答案為： 3化圓的方程為標準方程，求得圓心坐標與半徑，再由圓心到直線?= 3的距離等于半徑求解 a 值本題考查直線與圓位置關(guān)系的應用，是基礎(chǔ)的計算題1 113.【答案】 2 4第7頁，共 12頁【解析】解：由拋物線的方程可得焦點F的坐標(1,0) ，準線方程為 ?= -1?(?,?)22 ，設，由拋物線的性質(zhì)可得|?|= ?

17、+12= 1，可得 ?= 1，2所以 M 的橫坐標為： 1，2將 M 的橫坐標代入拋物線的方程可得：|?|= 1，所以 ?=1?|?|?|?|=111=1 ?2224故答案分別為：1， 124由拋物線的方程可得焦點F 的坐標及準線方程， 設 M的坐標，由拋物線的性質(zhì)可得|?|的表達式，再由題意可得M 的橫坐標，代入拋物線的方程可得 M 的縱坐標的絕對值，進而求出 ?的面積本題考查拋物線的性質(zhì)及面積公式，屬于基礎(chǔ)題314.【答案】 4【解析】 解：如圖：正方形 ABCD 的邊長為，若? ?2，?= 3 ?則 ? ? ? ?= (?+)1?3 ?= (? ?+) (-?)44=3-16=3-16=

18、3-16=3-16? 23 ? -4? ? 23 ? ? ?(?+ ?) +(?+ ?)?42?23?(? + 2?+?) +?+42232( 2)+ 0 + (2) + 0 + (2)43 ?2?43= 4故答案為： 3 4通過向量的三角形法則一步步代入數(shù)量積求解即可本題考查向量的數(shù)量積的應用，考查向量的表示以及計算，考查計算能力15.【答案】 【解析】 解： ? ?= 2?-2?,? ?,2?-2?,? ?.= 2|?- ?|，?(?,?) 0 ，故 錯誤； 根據(jù)絕對值不等式定理可知2|?- ?|+ 2|?- ?| 2|(?- ?)+ (?- ?)|= 2|?- ?|；第8頁，共 12頁即

19、 ? ?+ ? ? ? ?正確； 函數(shù) ?(?)= ?=2|?-?|=22|sin(? -?4)| ；最大值為 2 2；故 錯誤； 根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可轉(zhuǎn)化為(?-2)22?，解得：解集是 1, +)，故正確；故答案為： 新定義實際為 ?-?的絕對值的2 倍，根據(jù)絕對值定理和性質(zhì)進行判斷即可本題主要考查新定義的應用和絕對值函數(shù)的性質(zhì)，以及不等式的求解，屬于中檔題目16.11，平面 ?平面 ?11【答案】 ( ) 證明： 平面 ?平面? = ?，? 平面 ABC，且 ?，?平面 ?11，在三棱柱 ?-?1 ?1 ?1中，有 ?/?1?1 ，? ? 平面?，得 ?1?111111?11是正方形

20、， ?1 1 ?1?，而 ?1?1 ?= ?1 ，?平面 ?；111( )由 ( ) 知，?平面 ?11，又?，1BA所在以 B 為坐標原點， 分別以 BC，?，1直線為 x，y， z 軸建立空間直角坐標系則 ?(0,0，0) ，?(2,0，0)，?1(0,2，0) ，?(2,21，0) ，?(0,1， 1) ， ?， ?=(-2,1,1)1=(-2,2,0)1 =(2,2,0)設平面 ?的一個法向量為?= (?,?,?)1由 ?= -2? + ?+ ?= 0 ，取 ?= 1 ，得 ?= (1,1,1) ?1= -2? + 2?= 0設直線 ?與平面 ?所成角為 ?11則 ?= |cos |=

21、?|2+2|6|? ?|=?1=3223|?|?|?1即直線 ?與平面 ?所成角的正弦值為6113【解析】( ) 由平面 ?平面 ? ，?，利用平面與平面垂直的性質(zhì)可得?1?1平面 ? ，再由有 ?/?，得到 ?平面 ?，得 ?，由 ? 是1?1?11? ?1?11111111正方形，得 ?1?1 ?，再由直線與平面垂直的判定可得?1平面 ?1 ?1；( )由 ( ) 知，?平面 ?11，又?B為坐標原點， 分別以BC?1，故以，1，BAx y z?所在直線為， ，軸建立空間直角坐標系求出平面?1的一個法向量與1的坐標，由兩向量所成角的余弦值可得直線?與平面 ?所成角的正弦值11本題考查直線與

22、平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓練了利用空間向量求解空間角，是中檔題2?=17.【答案】 解：若選 ?+1 -0，且21；?- 2? = 0說明數(shù)列 ?是首項為1，公比為2的等比數(shù)列；? = 1，? =2 ?-1 ；?1-2?+1?+1；= 2-11?+2 =1-2若 ?，?， ?成等比數(shù)列，則 (2 ?-1)2=1 (2?+1-1)=2?+1-1 ；1?+2左邊為偶數(shù)，右邊為數(shù)，即不存在正整數(shù)?(? 1)，使得?，?， ? 成等比數(shù)列；1?+2若選?= ?+ ?(? 2) ，即? -?= ? = ? (? 2)?-1?；?-1且 ?1= 1 適合上式；所以：說明 ?的等差數(shù)列；

23、?是首項為 1，公差為 1第9頁，共 12頁? = ?， ? = ?(1+?)；?2若 ?，?，?2(?+2)(?+2+1)2成等比數(shù)列， 則 ?= 1 ? ?-5?- 6= 0?= 6(?= -11? ?+22舍 ) ；即存在正整數(shù) ?= 6 ，使得 ?， ?， ?成等比數(shù)列；1?+2若選 ?2，?= ? = ?-?22=2?- 1(? 2)；= ? - (?- 1)?-1且 ?= 1 適合上式；1若 ?，?， ?成等比數(shù)列，則 (2?-1)2= 1 (?+ 2)223= 0? ?=1?+2? 3? - 8?-13(?= - 3) ；即存在正整數(shù)?= 3 ，使得 ?， ?， ?成等比數(shù)列1?

24、+2【解析】 分別選 ，根據(jù)各自對應的結(jié)論來求解 k，能解出來說明存在，解不出來說明不存在本題考查等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的求和公式，考查運算與推理、證明的能力，屬于中檔題4018【. 答案】解：( ) 由題意可得， 若舒適度為： “舒適”， 則在園人數(shù)不大于8 100 = 3.2萬，所以 10月 1日至 7日下午14 時舒適度為“舒適”的天數(shù)為3，因此甲同學從10月1 日至 7 日中隨機選1天的下午 14時去該園區(qū)游覽，遇上“舒適”的概率為 73；( )記這兩天中這4個時間的游覽舒適度都為“舒適”的天數(shù)為X，則 X 的可能取值為0， 1， 2，從 10月 1日至 7日中這 4個時間

25、的游覽舒適度為“舒適”的有3 天，2211421則 ?(?= 0) =?=? ?=， ?(?= 2)?=，427， ?(?= 1) = 4 237= 327?777X 的分布列為：X012P2417772416所以 X 的期望?= 0 7+ 17+ 27= 7；()從 10月 2日開始連續(xù)三天的在園人數(shù)的方差最大【解析】 ( )求得“舒適”情況下，在園人數(shù)不大于3.2萬，以及10月 1日至 7日下午14 時舒適度為“舒適”的天數(shù)，由古典概率公式，計算可得所求值；( )記這兩天中這4 個時間的游覽舒適度都為“舒適”的天數(shù)為X，則 X 的可能取值為0， 1， 2，求得概率，可得概率分布列，以及期望

26、的值；( )考慮與 3.2萬的差，可得從10 月 2 日開始連續(xù)三天的在園人數(shù)的方差最大本題考查定義“舒適”的理解和運用， 主要考查古典概率和離散型隨機變量的期望和方差的求法，考查化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題22?= 1(? ? 0) ，19.【答案】 解： ( )橢圓的方程設為 2 +2?第10 頁，共 12頁由題意可得 ?= 2， ?=?1，可得 ?=1，22，=?2?= ?- ? = 322則橢圓的方程為 ?= 1；4 +3( )證明：可設 ?(?,?)，由題意可得 -2? 2，且 ?0，2222?且 4 +3 = 1，即有?= 3(1 -4 )，又 ?(?,-?) ，?(-2,0) ， ?(2,0)，可得直線 AP 的方程為 ?=?(?+ 2) ，直線 BQ 的方程為 ?=?(?- 2)，2-?+242?聯(lián)立直線 AP 和 BQ 的方程，可得 ?(? , ? )，可得 P， M 兩點的橫坐標之積等于4；16216+12-3?2284?=3 ，由 |?|= 2 +22=2-?由 -2 ? 2，且 ?0，可得 0 ?2 2，則 |?|的范圍是 (2, +)22【解析】 ( ) 橢圓的方程設為?2 +2 = 1(? ? 0) ，由橢圓的離心率公式和頂點坐標，?結(jié)合 a， b， c 的關(guān)系，解方程可得b， c，進而得到所求方程；( )可設 ?(?,?