2019版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊 第一章 三角形的證明 3 線段的垂直平分線（第1課時(shí)）教學(xué)課件 （新版）北師大版

1、第1課時(shí) 3 線段的垂直平分線 1.1.能夠運(yùn)用公理和所學(xué)的定理證明線段垂直平分能夠運(yùn)用公理和所學(xué)的定理證明線段垂直平分 線的性質(zhì)和判定定理線的性質(zhì)和判定定理. . 2.2.能用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線能用尺規(guī)作已知線段的垂直平分線. . 垂直且平分一條線垂直且平分一條線 段的直線是這條線段的直線是這條線 段的垂直平分線段的垂直平分線. . 等腰三角形頂角平分線有哪些性質(zhì)？等腰三角形頂角平分線有哪些性質(zhì)？ 垂直于底邊，并且平分底邊垂直于底邊，并且平分底邊 ADAD所在的直線即線段所在的直線即線段BCBC的垂的垂 直平分線直平分線 A A B B C C 如圖，如圖，A A，B B表示兩個(gè)倉庫

2、，要在表示兩個(gè)倉庫，要在A A，B B一側(cè)的河一側(cè)的河 岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相 等，碼頭應(yīng)建在什么位置等，碼頭應(yīng)建在什么位置? ? 碼頭應(yīng)建在線段碼頭應(yīng)建在線段ABAB的垂直平分線上一點(diǎn)的垂直平分線上一點(diǎn). . 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等. . 已知已知: :如圖如圖,AC=BC,MNAB,P,AC=BC,MNAB,P是是MNMN上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn). . 求證求證:PA=PB.:PA=PB. A A C C B B P P M M N N 證明：證明：MNABMNA

3、B， PCA=PCB=90PCA=PCB=90. . AC=BCAC=BC，PC=PC, PC=PC, PCAPCAPCB(SAS)PCB(SAS)； PA=PB(PA=PB(全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)邊相等) ) 性質(zhì)定理性質(zhì)定理: :線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段垂直平分線上的點(diǎn)到 這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 P AB PAB PAPB. 在線段的垂直平分線上， 溫馨提示溫馨提示: :這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來 證明兩條線段相等的根據(jù)之一證明兩條線段相等的根據(jù)之一. . 【結(jié)論結(jié)論】 如圖：直線如圖：直線MNMN是線段是線段ABAB的垂直平分

4、線，點(diǎn)的垂直平分線，點(diǎn)C C為垂足，為垂足， 請問在圖形中哪些線段相等？請問在圖形中哪些線段相等？ 【想一想想一想】 提示：提示：PA=PB,AC=BCPA=PB,AC=BC 你能寫出下面這個(gè)定理的逆命題嗎？你能寫出下面這個(gè)定理的逆命題嗎？ 如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這 個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，即到線段兩個(gè)端個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，即到線段兩個(gè)端 點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上 當(dāng)我們寫出逆命題時(shí)，就想到判斷它的真假如果當(dāng)我們寫出逆命題時(shí)，就想到判斷它的真假如果 真，則需證

5、明它；如果假，則需用反例說明真，則需證明它；如果假，則需用反例說明 性質(zhì)定理性質(zhì)定理: :線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端 點(diǎn)的距離相等點(diǎn)的距離相等 已知：線段已知：線段ABAB，點(diǎn)，點(diǎn)P P是平面內(nèi)一點(diǎn)且是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PBPA=PB 求證：求證：P P點(diǎn)在點(diǎn)在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上 方法一：方法一：過點(diǎn)過點(diǎn)P P作已知線段作已知線段ABAB的垂線的垂線PC,PC,PCA=PCA=PCB PCB =90=90， PA=PBPA=PB，PC=PCPC=PC， RtRtPACRtPACRtPBC(HL)PBC(HL) AC=BCAC=BC

6、，PCABPCAB， 即即P P點(diǎn)在點(diǎn)在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上 B B P P A AC C 性質(zhì)定理的逆命題：性質(zhì)定理的逆命題：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相 等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 方法二：方法二： 取取ABAB的中點(diǎn)的中點(diǎn)C C，過點(diǎn)，過點(diǎn)P,CP,C作直線作直線PCPC， AP=BP AP=BP，PC=PC.AC=CBPC=PC.AC=CB， APCAPCBPC(SSS)BPC(SSS) PCA=PCB(PCA=PCB(全等三角形的對應(yīng)角相等全等三角形的對應(yīng)角相等) ) 又又PCA+PCB=180PCA+PCB=

7、180， PCA=PCB=90PCA=PCB=90，即，即PCABPCAB， P P點(diǎn)在點(diǎn)在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上 B P A C 方法三：方法三： 過過P P點(diǎn)作點(diǎn)作APBAPB的角平分線交的角平分線交ABAB于點(diǎn)于點(diǎn)C C AP=BPAP=BP，APC=BPCAPC=BPC，PC=PCPC=PC， APCAPCBPC(SAS)BPC(SAS) AC=BCAC=BC，PCA=PCBPCA=PCB， 又又PCA+PCB=180PCA+PCB=180， PCA=PCB=90PCA=PCB=90， PP點(diǎn)在線段點(diǎn)在線段ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上 B B P P A A C

8、C A AC CB B P P M M N N PA=PB(PA=PB(已知已知),), 點(diǎn)點(diǎn)P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上( (到一到一 條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), ,在在 這條線段的垂直平分線上這條線段的垂直平分線上).). 溫馨提示溫馨提示: :這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn)這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明點(diǎn) 在直線上在直線上( (或直線經(jīng)過某一點(diǎn)或直線經(jīng)過某一點(diǎn)) )的根據(jù)的根據(jù) 之一之一. . 判定定理：判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn), , 在這條線段的垂直平分線上在這條線段的垂直平分線上. . 【結(jié)論結(jié)論】 【例例

9、】做一做：用尺規(guī)作線段的垂直平分線做一做：用尺規(guī)作線段的垂直平分線. . 作法：作法：1.1.分別以點(diǎn)分別以點(diǎn)A A和和B B為圓心為圓心, ,以大于以大于 ABAB的長為半徑作弧的長為半徑作弧, ,兩弧交于點(diǎn)兩弧交于點(diǎn)C C和點(diǎn)和點(diǎn)D D A AB B C C D D 2.2.作直線作直線CDCD 直線直線CDCD就是線段就是線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線 請你說明請你說明CDCD為什么是為什么是ABAB的垂直平分的垂直平分 線線, ,并與同伴進(jìn)行交流并與同伴進(jìn)行交流 已知已知: :線段線段AB,AB,如圖如圖. . 求作求作: :線段線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線 【例題例題】

10、 1 2 1.1.如圖如圖, ,已知已知ABAB是線段是線段CDCD的垂直平分線的垂直平分線,E,E是是ABAB上上 的一點(diǎn)的一點(diǎn), ,如果如果EC=7cm,EC=7cm,那么那么ED=ED= cmcm；如果如果 ECD=60ECD=60, ,那么那么EDCEDC. . 老師期望老師期望: : 你能說出填空結(jié)果的根據(jù)你能說出填空結(jié)果的根據(jù). . E E D D A AB B C C 7 7 6060 2.2.已知直線和直線上一點(diǎn)已知直線和直線上一點(diǎn)P,P,利用尺規(guī)作直線的利用尺規(guī)作直線的 垂線垂線, ,使它經(jīng)過點(diǎn)使它經(jīng)過點(diǎn)P.P. A AB B C C l P P 已知：直線已知：直線l和和l

11、上一點(diǎn)上一點(diǎn)P P 求作：求作：PCPC l 作法：作法：1.1.以點(diǎn)以點(diǎn)P P為圓心，以任意為圓心，以任意 長為半徑作弧，與直線長為半徑作弧，與直線l相交于相交于 點(diǎn)點(diǎn)A A和點(diǎn)和點(diǎn)B B 2.2.作線段作線段ABAB的垂直平分線的垂直平分線PCPC 直線直線PCPC就是所求的垂線就是所求的垂線 3 3如圖，求作一點(diǎn)如圖，求作一點(diǎn)P P，使，使PA=PBPA=PB，PC=PDPC=PD A A B C C D D P P P點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)點(diǎn)即為所求作的點(diǎn) 4.4.已知：如圖，已知：如圖，AB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD，P P是是ADAD上一點(diǎn)上一點(diǎn) 求證：求證：PB=PCPB=PC P B D C A 【證明證明】連接連接BCBC， AB=ACAB=AC，BD=CDBD=CD， 點(diǎn)點(diǎn)A A，D D在線段在線段BCBC的垂直平分線上；的垂直平分線上； 直線直線ADAD垂直平分線段垂直平分線段BCBC， PB=PCPB=PC 1.1.性質(zhì)定理：性質(zhì)定理