2020屆河南省名校(南陽一中、信陽、漯河、平頂山一中四校)高三3月線上聯(lián)合考試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版

1、2020屆河南省名校（南陽一中、信陽、漯河、平頂山一中四校）高三3月線上聯(lián)合考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1.設(shè)z 乙丄,i則z的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在（A第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限第6頁共21頁【答案】【解析】利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行求解即可【詳解】i-(2 i)i 1 2i ,z 1 2i .故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算的法則,考查了共軛復(fù)數(shù)的定義,考查了復(fù)數(shù)在復(fù)平面的位置特征，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力2.設(shè)集合M0,1 , N x|lgx 0，則集合M NA . 0,1B.0,1C.0,1,1【答案】【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域

2、，結(jié)合集合并集的定義進(jìn)行求解即可【詳解】由題意得M 0,1 , N 0,1 ,故 MUN0,1 .故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，考查了集合并集的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力43 .設(shè) a 30.5， b log o.5 0.6 , c cos ，則(5B. b c aD. cab【答案】【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)正負(fù)性進(jìn)行求解即可由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得a30.531,由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得b log 0.5 0.6（0,1）,4根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得 c cos 0 ,所以c b a .5故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)式、指數(shù)式、三角式的大小判斷，考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)

3、數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和三角函數(shù)的正負(fù)性，屬于基礎(chǔ)題.4 中國古代用算籌來進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、方位 用縱式表示，十位、千位、十萬位 用橫 式表示，則56846可用算籌表示為（）125456 739IIIIII Illi Hill TTT TT 冊(cè)縱式: = = _L X =丄橫式中國古代的算籌數(shù)碼a I川I丄皿IITb. IIIIIXJTC. 臺(tái)丄D. IIIIIXTIIII丄【答案】B【解析】根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對(duì)應(yīng)的算籌即可得答案.【詳解】解：根據(jù)

4、題意可得，各個(gè)數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬位用縱式表示；十位，千位，十萬位用橫式表示，56846用算籌表示應(yīng)為：縱 5橫6縱8橫4縱6,從題目中所給出的信息找出對(duì)應(yīng)算籌表示為B中的.故選：B .【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題.5 已知某函數(shù)圖象如圖所示，則圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是(eB f(X)e|x|C f(x)e|x| |x|D f(x)e|x|2x2【答案】D【解析】根據(jù)圖象所反應(yīng)的性質(zhì)，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性,逐一判斷即【詳解】對(duì)于A：函數(shù), sin xf(x)可 是奇函數(shù)，不滿足題意;e對(duì)于B:當(dāng)x0 時(shí)，f (x) e|x|2 x 2x

5、 e xf (x)ex 2x，令g(x) ex 2x g (x) ex 2，當(dāng) x In 2時(shí),g (x)0 , g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)0 x In 2時(shí)，g (x)0 , g(x)單調(diào)遞減，因此g (x)的最小值為:g(ln 2)2 21 n2 2(1 In 2)0,所以g(x)0，即f(x) 0,f(x)單調(diào)遞增，不滿足題意;對(duì)于 C：當(dāng) x 0 時(shí)，f(x) e|x| | x |(X) ex1，當(dāng) x 0 時(shí)，f(X)0 ,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，不滿足題意;|x|對(duì)于D:函數(shù)f(x) e|x| 2x2為偶函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí),f(x)|x|2 x2e 2x e 2xxf (X) e 4x，令

6、g(x)ex 4xg (x) ex 4 ,In4時(shí)，g (x)0 , g(x)單調(diào)遞增，當(dāng) 0 x In4時(shí)，g (x)g(x)單調(diào)遞減,因此 g(x)的最小值為：g(ln4) 2 4In2 2(1 2In 2) 0,時(shí),g(x)+ ，當(dāng)X 0時(shí)，g(x) 1，因此函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),函數(shù)f (x)設(shè)為 X!,X2(0 為 In 4 X2)，顯然當(dāng)(0,為)時(shí)，g(x) 0，即 f (x)0 , 單調(diào)遞增，當(dāng)（Xi,X2）時(shí)，g（x） 0，即f（X） 0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)（X2,）時(shí), g（x） 0，即f（x） 0,函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，滿足題意.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)

7、的圖象判斷函數(shù)的解析式，考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用6. 某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試， 先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001 , 002,，599, 600，從中抽取60個(gè)樣本，下面提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：32 21 IR34 29 78 64 54 07 32 52 42 0644 3S 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42H4 42 12 53 3】34 57 86 07 36 25 30 07 52 86 23 45 7K S9 07 23 6K 96 08 0432 56 7K （JX 43 67 K9 53 55 77

8、 34 K9 94 83 75 22 站 55 7K 32 45 77 的茁 45若從表中第6行第6列開始向右依次讀取 3個(gè)數(shù)據(jù)，則得到的第5個(gè)樣本編號(hào)是（）A. 522B. 324C. 535D . 578【答案】A【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的應(yīng)用，按照已知的要求選出五個(gè)三個(gè)數(shù)字組成編號(hào)即可【詳解】第6行第6列開始的數(shù)為808 （不合），436, 789 （不合），535, 577, 348, 994 （不合），837 （不合），522，則滿足條件的5個(gè)樣本編號(hào)為436, 535, 577, 348, 522,則第5 個(gè)編號(hào)為522.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題7. 已知

9、 sin630.891，貝U 2 cos72 cos18 的近似值為（）A . 1.773B. 1.782C. 1.796D . 1.815【答案】B【解析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】.2 cos72 cos18 、2 sin 18 cos182sin 1845 2sin632 0.891 1.782.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了誘導(dǎo)公式，考查了輔助公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力uuuuuuruuuruuuuuuu8.已知向量OM(1,0) , ON(0,2) , MPtMN，則當(dāng)|OP |取最小值時(shí)，實(shí)數(shù)t ()111A .-b.-C.D . 1532【答案】A【解析】根據(jù)平

10、面向量的加法的幾何意義、共線的性質(zhì)結(jié)合平面向量的坐標(biāo)表示公式求unu一一一一出0P的坐標(biāo)，再利用平面向量模的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可uuu22|OP| .(1 t)2 4t24，則當(dāng)t51 uuu時(shí)，|0P|有最小【詳解】uuur由MPuuuu tMNuuurOPuuuuOMuuir uuuut(ON OM )，得uuuOP(1,0) t(0,2)(1,0)(1 t,2t),T和k的關(guān)系為()值故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的加法的幾何意義，考查了平面向量的模的坐標(biāo)表示公式、加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)表示公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力 9 在如圖所示的程序框圖中，執(zhí)行所給的程序后，則輸出的A

11、 T 7(k 2) b. T 10k 3 C T 9(k 2) d T 8k 1【答案】B【解析】先判斷再進(jìn)入循環(huán)體，直至 T 100退出循環(huán)體，輸出T , k的值，進(jìn)行判斷即可【詳解】根據(jù)題中所給的程序框圖， 在執(zhí)行完后，可知輸出的T , k的值分別是T 127 , k 13,由四個(gè)選項(xiàng)可以發(fā)現(xiàn) 12710 13 3.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的輸出問題，考查了整數(shù)的整除性，屬于基礎(chǔ)題10 .拋物線寸 2px ( P 0 )的焦點(diǎn)為F，半徑為3的圓C過點(diǎn)O、F，且與拋物 線的準(zhǔn)線I相切，則P的值為()A . 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出拋

12、物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】依題意，設(shè)圓的方程為：(x a)2 (y b)2 9，拋物線y2 2px ( P 0)的焦點(diǎn)F外2 ab232,已知得2232,，解得 p 4 3 43ab23a衛(wèi)2故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，考查了待定系數(shù)法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力11.將函數(shù)f(x) sinxcosx的圖象向右平移(|2)個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)在區(qū)間0-上單調(diào)遞增，則滿足條件的實(shí)數(shù)6的最小值與最大值的和是()B.【答案】D【解析】結(jié)合二倍角的正弦公式可以化簡函數(shù)f(x)的解析式，根據(jù)平移變換的解析式變化的規(guī)律可以求出函數(shù)g(x)的解析式

13、，最后根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可【詳解】1f (x) si nxcosx sin2x,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)1 1g(x)的圖象，貝U g(x) sin2(x ) sin(2x 2 )，2k 2 2x 2 2k 2，可得 k 4x k 4，k Z，第17頁共21頁即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k債木7因?yàn)間(x)在區(qū)間0,上單調(diào)遞增，則60,則 kk-,kZ ,124令k 0 ,得 滿足|1242的最大值和最小值的和為1246故選：D【點(diǎn)睛】 本題考查二倍角的正弦公式的應(yīng)用，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性和圖象平移的變換特征，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力2x12 .已知F!,

14、 F2是雙曲線a2 y_ b21 ( a 0 , b 0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是雙曲y x平行，AF1F2的周 aD. 2、3線上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，且直線AF1與雙曲線的一條漸近線長為9a，則該雙曲線的離心率為()A. 2B. ,5C. 3【答案】A【解析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合三角形的周長可以求出AFi和AF2的表達(dá)式，根據(jù)線 線平行，斜率的關(guān)系，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可【詳解】由題意知AF2 AF,解得直線cosaf211a 2c2AFi 與 yAF,F22a， AF2 AF1AFi 寧，9a 2c，-x平行,a則 tan AF1F2b，得 cos aAFiF2 f，化簡得c2 2acAFi2

15、卜可2c2 4c2AF28a20，即 e2 2e 82.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的離心率，考查了雙曲線的定義的應(yīng)用，考查了余弦定理的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力二、填空題2x13.已知函數(shù)f(x) x ax e的一個(gè)極值點(diǎn)為1,則曲線y f (x)在點(diǎn)(0, f(0)處的切線方程為.【答案】3x 2y 0【解析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用函數(shù)的極值的定義可以求出a的值，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可【詳解】2x3f (x) x (a 2)x a e ,由 f (1)0，有 a -,233又切點(diǎn)為(0,0) , f (0)則切線方程為y x, 3x 2y 0.22故答案為：3x 2y 0【點(diǎn)睛

16、】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程，考查了函數(shù)極值的定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力55S14 .已知等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,且a a? - , a? a -，則丄24a?【答案】7【解析】結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由已知條件，可得到兩個(gè)等式，這兩個(gè)等式相除可以求出等比數(shù)列的公比，進(jìn)而可以求出首項(xiàng)，最后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列 an的公比為q，則冃2aiq3aiq兩式相除可得1,ai2aia2a3a?a?2 1 -7.2故答案為：7【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力15.函數(shù) f (x) cos2x

17、 | sin x|(x R )的最小值為【答案】0【解析】根據(jù)余弦的二倍角的公式， 應(yīng)用換元法，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可【詳解】2 2f (x) 2sin x |sinx| 12 |sinx|sinx| 1 ,令 |sinx| t 0,1 , y2t2 t 1, t 0,1 ,當(dāng)t 1時(shí)，y取最小值為0故f(x)的最小值為0.故答案為：0【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的余弦公式，考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了換元法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力16 .將一塊正方形紙片先按如圖1所示的陰影部分截去四個(gè)全等的等腰三角形，然后將剩余部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)體積為肛6的四棱錐模型，該四棱錐底面是正方形，3從頂

18、點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心.將該四棱錐如圖2放置，若其正視圖為正三角形，則正方形紙片的邊長為 .【解析】正三角形的邊長為 X，根據(jù)四棱錐的體積公式，可以求出正三角形的邊長，設(shè) 正方形紙片的邊長為 a，又四棱錐的斜高為 x，根據(jù)折疊中的不變性進(jìn)行求解即可【詳解】四棱錐正視圖為正三角形，設(shè)正三角形的邊長為x，其高為_3x，即四棱錐的高為243x，2.3x三 x3 6，x3 16、2，63設(shè)正方形紙片的邊長為a，又四棱錐的斜高為 x，由已知折疊過程可得1 三x x a，2 2-216 2，a 6.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的體積公式，考查了圖形折疊的性質(zhì)，考查了空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算

19、能力 三、解答題17.已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和S 2n2 n，數(shù)列bn滿足4log 2bn an 3.(1) 求數(shù)列 an、 bn的通項(xiàng)公式；,4(2) 設(shè)Cn bn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn .anan 1【答案】(1) an 4n 3 ； bn 2n( 2)2n 1 如上4n 1【解析】(1)根據(jù)當(dāng)n 2時(shí)，an Sn Sn 1可以求出數(shù)列 an的通項(xiàng)公式，再驗(yàn)證3，結(jié)合對(duì)數(shù)與指數(shù)互化公式進(jìn)行當(dāng)n 1時(shí)，首項(xiàng)是否適合；再根據(jù) 4log 2 bn a.求解即可;(2)化簡數(shù)列 Cn的通項(xiàng)公式，利用分組求和的方法,結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和、裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可【詳解】(1)由 Sn 2n2 n

20、,2 時(shí)，an Sn Sn 1 4n時(shí)，ai 1對(duì)上式也成立,4n 3 ；，bn2n.又 4log 2 bnan3, log?* n(2) Cnbn2nanan 1(4n 3)(4n1)2n2 1 2nTn4n 32n 1 24n 2【點(diǎn)睛】4n 14n 114n 3 4n 1 4n 1本題考查了已知數(shù)列前 n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式, 考查了分組求和法，考查了裂項(xiàng)相消法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力為了對(duì)一批新研18 某企業(yè)積極響應(yīng)國家 科技創(chuàng)新”的號(hào)召，大力研發(fā)人工智能產(chǎn)品,發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)xy (i 1,2,3,4,5,6)，如下表所示:試銷單價(jià)x (

21、百兀)123456產(chǎn)品銷量y (件)9186P787370nx x yi y 附：參考公式：b nXii 1nXi y nXy吒,a? y bX,2 2Xi nxi 1參考數(shù)據(jù):yi80 ,xyii 121606 , xi 91.i 1(1) 求P的值；(2) 已知變量x , y具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量y (件)關(guān)于試銷單價(jià) x (百元) 的線性回歸方程y? b? ?(計(jì)算結(jié)果精確到整數(shù)位)；(3) 用?表示用正確的線性回歸方程得到的與Xi對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值當(dāng)銷售數(shù)據(jù)Xi, yi的殘差的絕對(duì)值 y yi 1時(shí)，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè) 有效數(shù)據(jù)”現(xiàn)從這6組 銷售數(shù)據(jù)中任取2組，求抽取的2組

22、銷售數(shù)據(jù)都是有效數(shù)據(jù)”的概率【答案】(1)P 82 (2)見解析(3)見解析【解析】(1)根據(jù)平均數(shù)的定義，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；(2) 利用平均數(shù)的定義，可以求出X的值，再利用已知所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；(3) 根據(jù)已知，結(jié)合(2)所求的線性回歸方程可以求出滿足已知的有效數(shù)據(jù)，最后利用列舉法，根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可【詳解】(1)yi80，得91 86 p 78 73 7080，解得82.(2)3.5， b1 66i1yi1606 6680 ,Xiyii 11606，6Xi291 ,i 191 6 3.523.5 80 J417.5? 80 ( 4) 3.5 94所求的線性

23、回歸方程為:? 4x94 ；或者？ 80(175)3.5 95，所求的線性回歸方程為：？4x 95(3)若回歸方程為：y? 4x 94時(shí),1 時(shí)，？190 ；當(dāng) X22 時(shí)，?86 ；當(dāng) X33 時(shí)，y382 ；當(dāng) X44 時(shí),y478 ；當(dāng) X55 時(shí)，?74 ；當(dāng)X66時(shí)，乂 70.滿足?V、1條件的有效數(shù)據(jù)”有：(2,86), (3,82),(4,78) , (6,70)共 4 個(gè),記 A (1,91), B (2,86) , C (3,82), D (4,78) , E (5,73) , F (6,70),從6組銷售數(shù)據(jù)中任取2組，基本事件有：AB , AC , AD , AE , A

24、F , BC , BD ,BE, BF , CD , CE , CF , DE , DF , EF ,共 15 種，抽取的2組銷售數(shù)據(jù)都是 有效數(shù)據(jù)”的事件有：BC , BD , BF , CD , CF , DF ,共6種，所以抽取的2組銷售數(shù)據(jù)都是 有效數(shù)據(jù)”的概率為 -.155若回歸方程為：? 4x 95時(shí)，當(dāng)人 1 時(shí)，?191；當(dāng) X22 時(shí)，?287 ；當(dāng) X33 時(shí)，?383 ；當(dāng) x 4 時(shí)，?479 ；當(dāng)X55時(shí)，75；當(dāng)X66時(shí)，乂71.滿足yy 1條件的有效數(shù)據(jù)”有：(1,91)，共1個(gè)，記 A (1,91)，B (2,86)，C (3,82)，D (4,78)，E (5

25、,73)，F(xiàn) (6,70)，從6抽取的2組銷售數(shù)據(jù)都是有效數(shù)據(jù)”的事件不存在所以抽取的2組銷售數(shù)據(jù)都是有效數(shù)據(jù)”的概率為0.【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)的定義，考查了線性回歸方程的求法，考查了古典概型計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力19 .如圖，在四棱錐 P ABCD 中，PC 平面 ABCD，AD BC，AB/CD，ADC 120，AB 2CD 2，直線PB與平面ABCD所成的角為45，G是AB的中占I 八、(2)求直線PG與平面PBC所成角的正切值【答案】(1)證明見解析(2)至5【解析】（1）根據(jù)已知可以證明出 AGCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)，結(jié) 合余弦定理，勾股定理的逆定理，根據(jù)線

26、面、面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）設(shè)E為BC中點(diǎn)，連接GE，PE ,則GE BC，由（1）中的結(jié)論可以證明平面PBC 平面ABC，從而有GE 平面PBC， GPE為直線PG與平面PBC所成的角，利用銳角的三角函數(shù)值定義進(jìn)行求解即可【詳解】（1）由已知，DC /AG，且DC AG，則AGCD為平行四邊形，AD CG，又 AD BC,則 BC GC，由 ADC 120 知 ABC 60，則BCG為正三角形，1在 ABC 中，AB 2，BC BG -AB 1，2由余弦定理知， AC2 AB2 BC2 2AB BC cos ABC 3，有 AC2 BC2 AB2，AC BC，又 AC PC，B

27、C PC C，則 AC 平面 PBC，而AC 平面PAC，則平面PAC 平面PBC .（2）設(shè)E為BC中點(diǎn)，連接GE，PE ,則GE BC，因?yàn)镻C 平面ABCD， PC 平面PBC，則平面PBC 平面ABC，則GE 平面PBC， GPE為直線PG與平面PBC所成的角，又直線PB與平面ABCD所成的角為45，貝U PC BC，又PEPC2 EC25 , GE所以在Rt PGE中，tan GPE.155即直線PG與平面PBC所成角的正切值為 15【點(diǎn)睛】本題考查了證明面面垂直，考查了求線面角的正切值，考查了推理論證能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力20 .已知橢圓2xb21 ( a b 0)的離心率為2，左、右

28、焦點(diǎn)分別為Fi、F2,22 a點(diǎn) N、MNF2的面積163第24頁共21頁(2)過點(diǎn)P(4,0)作直線|交橢圓于A、b兩點(diǎn)，點(diǎn)b關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為B1，問: 直線ABi是否過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由2 2【答案】(1) 1 (2)直線ABi過定點(diǎn)T(2,0)84【解析】(1)根據(jù)橢圓離心率的公式和橢圓中a,b,c的關(guān)系，可以判斷出MFT2的形狀，最后結(jié)合橢圓的定義和三角形的面積公式進(jìn)行求解即可；(2)設(shè)出直線AB1的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系，三點(diǎn)共線進(jìn)行求 解即可.【詳解】c2, b c ,(“由橢圓的離心率e ，則a2c, b2 a2 c2a 2二MF

29、1F2是等腰直角三角形，又 NF2a |NF2 ,亠 亠 2 2 2 2 2在 Rt MNF2 中，NF2a2 a NF1 ，即 NF?a2 3a NF2解得NF25aNF1|MN |4aMNF2的面積為S 1 a 45238,b22 2橢圓方程為 i.84X2,y2,(2)設(shè) AXi,yi,Bix2,y2,則 B設(shè)直線ABi與x軸交于點(diǎn)T(t,O)，直線ABi的方程為x my t ( m 0),x my由 22由 x y84t,有i,2mtyt2 8(2mt)24 m2t20，4m2 t2yi y22mtm2 2t22myiB二點(diǎn)共線，kpAkpB，即廠X24，將 Ximyit，X2 my2

30、t代入整理得y1 my2 t4 y2 myi t 40，即 2my1 y2(t 4) yiy2從而2m t282 (t 4)-2mL0，即(t 2)mm 20，解得t 2，此時(shí)滿足則直線ABi的方程為x my 2，故直線ABi過定點(diǎn)T(2,0).(其他解法正確同樣給分)【點(diǎn)睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了橢圓中直線過定點(diǎn)問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力 2i .已知函數(shù) f(x) e|x| 3cosx.(1)證明：f(x) 20 ；(2) 當(dāng)X0 一時(shí)不等非mf (x) en恒成立，求實(shí)數(shù) m的最大值和n的口時(shí),不等式 m23x最小值.【答案】(1)證明見解析(22)

31、 m的最大值為一,n的最小值為1【解析】(1)當(dāng)x 0,時(shí)，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可以求出函數(shù)的最小值，利用奇偶性再進(jìn)行判斷即可;(2)化簡f (x)一乞，不等式可以轉(zhuǎn)化為：si nx mx 0， si nx nx 0，令3xg(x) sinx tx，求導(dǎo)，根據(jù)t的不同取值，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，最后分類討論進(jìn)行求解即可【詳解】(1)當(dāng) x 0,時(shí)，f (x) ex3cos x，f (x) ex 3sin x，當(dāng) x? 0,p)時(shí),ex 0，則 f (x)ex 3sin時(shí)，ex 3，則f(x)則當(dāng) x 0, 時(shí)，f (x)0，f (x)在0,上為增函數(shù)，f(x) f (0)2，又函數(shù)f(x)為

32、偶函數(shù)，則對(duì)任意f(x)20成立,(2)f (x) ex3xsin xxm，即為 sin x mxsinxn，即為sin xnx 0，令 g(x) sinxtx，則g (x) cosx t，0時(shí)，在x0,2上，g (x)0，g(x)在0,2上為增函數(shù),g(x) g(0)0；1時(shí)，在x0,2上，g (x)0，g(x)在上為減函數(shù),g(x) g(0) 0 ；t 1時(shí)，存在唯一的x00,，使得g2cosx) tg(x)與g x0在區(qū)間0, 上的情況如下:2x0,x0x0Xo2g(x)+0一g(x)增極大值減g(x)在區(qū)間0,x0上是增函數(shù)，g xg(0)0,進(jìn)一步，當(dāng)x 0,時(shí) g(x)2sin x

33、tx 0 ,當(dāng)且僅當(dāng)g1t 02 22可得0 t.綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)2t 時(shí)，g(x)0在x0,上恒成立；2當(dāng)且僅當(dāng)t 1時(shí)，g(x) 0在x 0,上恒成立，22所以m的最大值為 一，n的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了已知不等式恒成立求參數(shù)問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力22 .在直角坐標(biāo)系xOy中，直線I的方程為kx y 2k 0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos2 1 .(1) 求曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2) 已知點(diǎn)T ( 2,0)，直線I與y軸正半軸交于點(diǎn) R，與曲線C交于A , B兩點(diǎn)，且|TA|, |TR|, |TB |成等比數(shù)列，求直線I的極坐標(biāo)方程.【答案】(1) x2 y2 1 (2)cos 2 sin 2 0 或.7 cos 2 sin 270【解析】(1)利用余弦的二倍角公式，結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行求解即可；(2)寫出直線|的參數(shù)方程，求出|TR|的表達(dá)式，將直線I的參數(shù)方程代入曲線 C的 直角坐標(biāo)方程中，禾U用參數(shù)的意義，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【詳解】2 2(J方程cos 21可化為2 . 2 cos sinx