小學(xué)數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容解讀（經(jīng)典實(shí)用）

1、小學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”內(nèi)容解讀一、“數(shù)學(xué)廣角”的編排意圖?！皵?shù)學(xué)廣角”是人教版新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材伴隨著新課程改革新增設(shè)的一大教學(xué)內(nèi)容模塊，是人教版教材中的一個(gè)亮點(diǎn)，也是一種新的嘗試。它系統(tǒng)而有步驟地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，嘗試把重要的數(shù)學(xué)思想方法通過學(xué)生可以理解的簡單形式，采用生動(dòng)有趣的事例呈現(xiàn)出來。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、定律的理解，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維品質(zhì)的重要手段，是數(shù)學(xué)教育中實(shí)現(xiàn)從傳授知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要途徑，也是小學(xué)數(shù)學(xué)新課程改革的真正內(nèi)涵之所在。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確提出了：“讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)，能夠獲得適應(yīng)未來

2、社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法。”為了有效落實(shí)這一總體目標(biāo)，人教版教材編排中不但加大力度把數(shù)學(xué)思想滲透在數(shù)與代數(shù)、量與計(jì)量等每一個(gè)知識(shí)板塊中，更以新增設(shè)的單元“數(shù)學(xué)廣角”為呈現(xiàn)形式，進(jìn)一步集中向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法。二、“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容體系學(xué)段冊(cè)數(shù)單元內(nèi)容數(shù)學(xué)思想方法第一學(xué)段一年級(jí)上冊(cè)第五單元分類比較和分類思想方法一年級(jí)下冊(cè)第八單元找規(guī)律符號(hào)化思想方法二年級(jí)上冊(cè)第八單元簡單的排列組合邏輯推理排列組合思想方法邏輯推理思想方法二年級(jí)下冊(cè)第九單元找規(guī)律排列、推理三年級(jí)上冊(cè)第九單元排列組合排列組合思想方法三年級(jí)下冊(cè)第九單元重疊問題等量代換集合的思想方法等量代換思想第二

3、學(xué)段四年級(jí)上冊(cè)第七單元烙餅問題排隊(duì)論田忌賽馬運(yùn)籌思想、對(duì)策論、優(yōu)化思想四年級(jí)下冊(cè)第八單元植樹問題植樹問題的思想方法化歸的思想方法數(shù)學(xué)建模思想五年級(jí)上冊(cè)第七單元數(shù)字編碼數(shù)字編碼思想五年級(jí)下冊(cè)第七單元找次品優(yōu)化思想方法六年級(jí)上冊(cè)第七單元雞兔同籠問題假設(shè)法思想方法數(shù)學(xué)建模思想六年級(jí)下冊(cè)第五單元抽屜原理抽屜原理數(shù)學(xué)建模思想數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出：“重要的數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想宜逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升?！苯滩脑凇皵?shù)學(xué)廣角”內(nèi)容的編排上注意體現(xiàn)了這一要求，系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學(xué)思想方法。例如在滲透排列和組合的數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，實(shí)驗(yàn)教材先在二年級(jí)上冊(cè)教材中，安排學(xué)生初步接觸一點(diǎn)排列與組合知識(shí)，讓學(xué)生通過觀察、猜測(cè)以及實(shí)驗(yàn)

4、的方法可以找出最簡單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)。如用兩個(gè)數(shù)字卡片組成兩位數(shù)的排列數(shù)，三個(gè)小朋友兩兩握手的組合數(shù)等。而在三年級(jí)上冊(cè)教材中又繼續(xù)學(xué)習(xí)排列與組合的內(nèi)容。但目標(biāo)定位為在學(xué)生已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，繼續(xù)讓學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)找出事物的排列數(shù)和組合數(shù)。如兩件上裝和三件下裝有多少種不同的搭配等數(shù)學(xué)問題。與二年級(jí)上冊(cè)教材相比，三年級(jí)教材的內(nèi)容則更加系統(tǒng)和全面，分別介紹排列以及組合。綜觀整個(gè)十二冊(cè)教材中的“數(shù)學(xué)廣角”，從簡單的分類思想到較為抽象的運(yùn)籌思想、對(duì)策論以及最后一冊(cè)更為復(fù)雜的抽屜原理，無不體現(xiàn)了思維層次是從低到高，從具體到抽象，逐級(jí)遞進(jìn)、螺旋上升，向?qū)W生逐步滲透這些數(shù)學(xué)思想方法，以

5、符合數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律。它們各個(gè)內(nèi)容之間又存有一定的聯(lián)系，準(zhǔn)確把握各冊(cè)教材的聯(lián)結(jié)點(diǎn)有助于解讀教材。譬如，第七冊(cè)的運(yùn)籌問題、第十冊(cè)的找次品問題以及第十二冊(cè)的抽屜原理，解決問題時(shí)都要考慮“至少”的問題，都在多種解決策略中尋找最佳最優(yōu)的策略，都要運(yùn)用推理能力和滲透優(yōu)化思想。學(xué)習(xí)“數(shù)字編碼”的時(shí)候，自然地要同“找規(guī)律”這一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行嫁接；解決“封閉方陣中的植樹問題”時(shí)需要用 “重疊問題”來詮釋；植樹問題和雞兔同籠問題都很注重?cái)?shù)學(xué)模型的構(gòu)建，一般都得經(jīng)歷“問題模型構(gòu)建模型解釋應(yīng)用模型”的學(xué)習(xí)過程第一學(xué)段，數(shù)學(xué)廣角出現(xiàn)了簡單的排列組合、簡單的推理、集合思想、等量代換等內(nèi)容，讓學(xué)生通過觀察、操作、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推

6、理與交流等活動(dòng)，初步感受數(shù)學(xué)思想方法的奇妙與作用，受到數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，逐步形成有順序、全面思考問題的意識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)他們探索數(shù)學(xué)問題的興趣與欲望，發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)，進(jìn)而達(dá)到數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)第一學(xué)段的要求：使學(xué)生“在解決問題的過程中，能進(jìn)行簡單的、有條理的思考”。第二學(xué)段滲透了優(yōu)化思想、對(duì)策論、解決由植樹引發(fā)出來的問題、數(shù)字編碼、假設(shè)法、抽屜原理等數(shù)學(xué)思想方法，一方面繼續(xù)讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，感受數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)生分析、推理的能力，逐步形成探索數(shù)學(xué)問題的興趣與欲望，另一方面加強(qiáng)了綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題和解決問題策略多樣化的教學(xué)，使學(xué)生逐步提高數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。從教學(xué)目標(biāo)的把握來看，

7、數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)首先應(yīng)定位于通過數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的思想方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法嘗試解決問題，體驗(yàn)解決問題的策略、方法。因?yàn)閿?shù)學(xué)廣角是面向全體學(xué)生滲透數(shù)學(xué)思想方法的，意圖是讓每一個(gè)學(xué)生受到數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的同時(shí)，逐步形成探索數(shù)學(xué)問題的興趣與欲望，發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)。因此，要防止把數(shù)學(xué)廣角當(dāng)做奧數(shù)培訓(xùn)課進(jìn)行“英才”教育，它需要更多地、有計(jì)劃地創(chuàng)設(shè)實(shí)踐活動(dòng)，讓全體學(xué)生去觀察、研究、嘗試，重在活動(dòng)中對(duì)思想方法的感悟。下面我們逐冊(cè)分析一下它們的編排結(jié)構(gòu)和教學(xué)目標(biāo)：一上“分類”的教學(xué)目標(biāo)：教材按由易到難的順序，分別安排了單一標(biāo)準(zhǔn)的分類和不同標(biāo)準(zhǔn)的分類兩部分內(nèi)容。教材首先安排了一個(gè)學(xué)生熟悉的文具商店

8、的情景圖，貨架上的文具按不同的類別放在不同的位置，一方面，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到把同類文具（例如，直尺、三角尺和量角器）放在一起，可以方便快捷地找到自己需要的文具，使學(xué)生體會(huì)到分類的意義和必要性。另一方面，可以讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)為什么要把某些物品放在一起的原因，找出分類的標(biāo)準(zhǔn)。接著安排了一個(gè)按不同標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的活動(dòng)情景。三個(gè)學(xué)生按不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)同一堆鉛筆分成不同的類，第一個(gè)同學(xué)是按鉛筆的顏色分的，第二個(gè)同學(xué)是按鉛筆有無橡皮頭來分的，第三個(gè)同學(xué)是按鉛筆有無削過來分的。使學(xué)生看到，分類的標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同。教學(xué)中要注意讓學(xué)生真正地活動(dòng)起來，學(xué)生在操作、活動(dòng)的過程中，能更牢固地掌握選擇分類標(biāo)準(zhǔn)、正確分類

9、的方法，動(dòng)手操作能力和探索意識(shí)也能更好地得以發(fā)展。1能按照某一給定的標(biāo)準(zhǔn)或選擇某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)物體進(jìn)行分類。2能選擇不同的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)物體進(jìn)行不同的分類。3在分類活動(dòng)中，體驗(yàn)分類結(jié)果在單一標(biāo)準(zhǔn)下的一致性、不同標(biāo)準(zhǔn)下的多樣性一下“*找規(guī)律：探索圖案和數(shù)字簡單的排列規(guī)律”（例1例3，有一個(gè)基本的循環(huán)組，以它為基礎(chǔ)，重復(fù)出現(xiàn)。循環(huán)組中每種圖形只有一個(gè)，例4例5，也有一個(gè)基本的循環(huán)組，循環(huán)組中有的圖形不止一個(gè)，從數(shù)量的角度觀察，數(shù)字的排列規(guī)律，也是循環(huán)出現(xiàn)的。如1、2、1、2、或2、3、2、3。例6例7，是圖形與數(shù)字變化規(guī)律，要從圖形的數(shù)量上去尋找規(guī)律。例7中數(shù)字的排列規(guī)律是等差數(shù)列。例8，沒有圖形，只有數(shù)，通過

10、觀察找出數(shù)的排列規(guī)律，抽象程度更高。也是等差數(shù)列。僅限于簡單的：循環(huán)出現(xiàn)的、等差數(shù)列。）教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)圖形的形狀和位置的變化規(guī)律及數(shù)字簡單的排列規(guī)律2培養(yǎng)學(xué)生初步的觀察、推理能力。3培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)。二上數(shù)學(xué)廣角“*簡單的排列 *簡單的邏輯推理”例1是最簡單的排列（與順序有關(guān)，用兩張或3張數(shù)字卡片擺兩位數(shù)）通過操作感受擺的方法，讓學(xué)生體會(huì)：怎樣擺才能保證不重復(fù)不遺漏?！白鲆蛔觥?個(gè)小朋友兩兩握手屬于組合，選定的一組事物與順序無關(guān)。例2是最簡單的推理知識(shí)，讓學(xué)生根據(jù)已知的兩個(gè)條件通過活動(dòng)判斷出結(jié)論，例2給出了兩個(gè)活動(dòng)，通過這兩個(gè)活動(dòng)使學(xué)生感受

11、簡單推理的過程，初步獲得一些簡單推理的經(jīng)驗(yàn)。例3在例2的基礎(chǔ)上加了一個(gè)條件，難度稍有增加。實(shí)際上例3可以轉(zhuǎn)化為例2的形式。小紅拿的是語文書，說明小麗和小剛拿的是數(shù)學(xué)和社會(huì)書，再根據(jù)條件判斷，與例2就非常類似了。教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，找出最簡單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)。2培養(yǎng)學(xué)生初步的觀察、分析及推理能力。3初步培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考問題的意識(shí)。二下“*找規(guī)律：鋪地磚花紋的規(guī)律 等差數(shù)列的探究規(guī)律”例1是在主題圖的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的圖形的變化規(guī)律。每組圖形呈循環(huán)排列：從左邊起，每組圖形中的第一個(gè)圖形在下一組中變成第四個(gè)圖形，第二個(gè)圖形變成第一個(gè)圖形如此循環(huán)排列。例2是圖形和

12、數(shù)列的變化規(guī)律，與一年級(jí)下冊(cè)第91頁例7類似的地方是：無論是圖形還是數(shù)的排列，不再研究形狀和位置的變化，而是研究數(shù)量的變化，圖形的變化也要通過計(jì)算相鄰兩項(xiàng)數(shù)量的差來找出規(guī)律。與例7不同的地方是：它的規(guī)律是每相鄰兩項(xiàng)的差組成一個(gè)新的數(shù)列，這個(gè)新的數(shù)列是等差數(shù)列。教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)圖形和數(shù)的排列規(guī)律。2培養(yǎng)學(xué)生的觀察、操作及歸納推理的能力。3培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)美的意識(shí)，運(yùn)用數(shù)去創(chuàng)造美的意識(shí)；使學(xué)生知道生活中事物有規(guī)律的排列隱含著數(shù)學(xué)知識(shí)。三上數(shù)學(xué)廣角“*簡單的組合 *簡單的排列”例1通過探討衣服和褲子的不同搭配，找出不同穿法的組合數(shù)。上下裝搭配的每種穿法需要兩

13、步來確定，一步是上裝的選擇，一步是下裝的選擇，一件上裝搭配一件下裝就是一種穿法。教材在這里給出兩種連線方法：先確定一件上裝，對(duì)這件上裝與不同的下裝進(jìn)行搭配連線，然后再進(jìn)行另一件上裝與下裝的連線，這樣就得到第一種連線方法（圖一），說明只要有順序的搭配連線，就能保證不重不漏。在此基礎(chǔ)上將兩個(gè)連線圖合并起來就可得出另一種連線方法（圖二）。這里只要學(xué)生能掌握一種連線方法就行了！例2教學(xué)簡單的排列，用3個(gè)數(shù)字卡片擺三位數(shù)，數(shù)字卡片的排列順序不同，就表示不同的三位數(shù)。通過比較引導(dǎo)出一個(gè)既清楚明了又不重不漏的記錄方法：先確定百位上的數(shù)字，然后是十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字。這個(gè)例題能很好的培養(yǎng)學(xué)生有順序地、全面地思考

14、問題的意識(shí)。例3通過探索4個(gè)隊(duì)一共要踢多少場(chǎng)球，學(xué)習(xí)簡單的組合。組合與排列的區(qū)別是排列與事物的順序有關(guān)，而組合與事物的順序無關(guān)。例3是以中國隊(duì)參加的2002年世界杯足球賽為背景，中國隊(duì)所在的C組共有四個(gè)國家足球隊(duì)，小組賽時(shí)每兩個(gè)隊(duì)踢一場(chǎng)比賽，看看一共要踢多少場(chǎng)。這里每場(chǎng)比賽只與哪兩個(gè)隊(duì)有關(guān)，與兩個(gè)隊(duì)的順序無關(guān)。每兩個(gè)隊(duì)連一條線，就代表要踢一場(chǎng)比賽。這里也給出兩種連線方法：一種是把四個(gè)隊(duì)擺成正方形，兩兩相連；另一種是一字?jǐn)[開，每個(gè)隊(duì)都與其他三個(gè)隊(duì)相連。教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生通過觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，找出簡單事物的排列數(shù)和組合數(shù)。2培養(yǎng)學(xué)生初步的觀察、分析及推理能力以及有順序地、全面地思考問題的意識(shí)。

15、3使學(xué)生感受數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來解決實(shí)際生活中的問題。4使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中養(yǎng)成與人合作的良好習(xí)慣，并初步學(xué)會(huì)表達(dá)解決問題的大致過程和結(jié)果。建議：只要求學(xué)生能根據(jù)實(shí)際問題采用羅列、連線等方式找出簡單事物的排列數(shù)和組合數(shù)，并能感受到有的與順序有關(guān)，有的與順序無關(guān)，不要提高要求。教師教學(xué)語言中盡量避免出現(xiàn)排列、組合這些術(shù)語，也不要跟學(xué)生解釋。三下數(shù)學(xué)廣角“*重疊問題 *等量代換”例1借助學(xué)生熟悉的題材，滲透集合的有關(guān)思想，并利用直觀圖的方式求出兩個(gè)小組的總?cè)藬?shù)。教材通過統(tǒng)計(jì)表讓學(xué)生看出：參加語文小組的有8人，參加數(shù)學(xué)小組的有9人。但實(shí)際上參加這兩個(gè)課外小組的總?cè)藬?shù)卻不是17

16、人，引起學(xué)生的認(rèn)知沖突。這時(shí)，教材利用直觀圖把這兩個(gè)課外小組的關(guān)系直觀地表示出來。從圖上可以很清楚地看出，有3名學(xué)生同時(shí)屬于這兩個(gè)小組，所以計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)只能計(jì)算一次。同時(shí)可以讓學(xué)生說一說圖中不同位置所表示的不同意義，如中間部分表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的同學(xué)，左側(cè)是只參加語文小組而不參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生，右側(cè)是只參加數(shù)學(xué)小組而不參加語文小組的學(xué)生。最后，再讓學(xué)生列式求出參加語文小組和數(shù)學(xué)小組的共有多少人。例2利用天平的原理，使學(xué)生初步體會(huì)等量代換的思想方法，為以后學(xué)習(xí)簡單的代數(shù)知識(shí)做準(zhǔn)備。當(dāng)天平平衡時(shí)，左右兩邊的物體同樣重。所以，從第一個(gè)圖中可以看出，一個(gè)西瓜重4千克，從第二個(gè)圖中可以看出，四個(gè)蘋果重

17、1千克，讓學(xué)生思考一個(gè)西瓜和多少個(gè)蘋果同樣重。在這里還不能直接運(yùn)用等量代換，需要學(xué)生首先考慮：一個(gè)西瓜和4千克砝碼同樣重，4千克砝碼和多少個(gè)蘋果同樣重呢？引導(dǎo)學(xué)生想出如果第二個(gè)圖中天平的右邊變成原來的4倍，左邊也要變成原來的4倍（即16個(gè)蘋果），天平才能保持平衡，所以一個(gè)西瓜和16個(gè)蘋果同樣重。教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生會(huì)借助直觀圖，利用集合的思想方法解決簡單的實(shí)際問題。2使學(xué)生在解決實(shí)際問題的過程中體會(huì)等量代換的思想。建議：集合和等量代換的理論都是比較系統(tǒng)、抽象的數(shù)學(xué)思想方法，在這里，只是讓學(xué)生通過生活中容易理解的題材初步體會(huì)這兩種思想方法，為后繼學(xué)習(xí)打下必要的基礎(chǔ)，學(xué)生只要能夠用自己的方法解決問題就

18、可以了，教學(xué)時(shí)老師不要使用集合、集合的元素、基數(shù)、交集、并集、等量代換等數(shù)學(xué)化的語言進(jìn)行描述。四上數(shù)學(xué)廣角“*運(yùn)籌問題：烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問題 *對(duì)策問題：田忌賽馬。”本單元主要是通過日常生活中的一些簡單事例，讓學(xué)生嘗試從優(yōu)化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案，初步體會(huì)運(yùn)籌思想在實(shí)際生活中的應(yīng)用以及對(duì)策論方法在解決問題中的運(yùn)用。在日常生活中，解決問題的方法學(xué)生很容易找到，而且會(huì)找到解決問題的不同的策略，這里的關(guān)鍵是讓學(xué)生理解優(yōu)化的思想，形成從多種方案中尋找最優(yōu)方案的意識(shí)，提高學(xué)生的解決問題的能力。例1討論烙餅時(shí)怎樣操作最省時(shí)間，讓學(xué)生體會(huì)在解決問題中優(yōu)化思想的應(yīng)用。教材首先給出一幅

19、生動(dòng)有趣的情境圖，讓學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)：3張餅的烙法，最好的方法是先烙1，2號(hào)餅的正面，接著烙1號(hào)餅的反面和3號(hào)餅的正面，最后烙2，3號(hào)餅的反面，這種方法只需9分鐘。然后還可以讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上獨(dú)立完成：如果要烙的是4張餅，5張餅10張餅，怎樣安排最節(jié)省時(shí)間？再通過小組討論交流發(fā)現(xiàn)：如果要烙的餅的張數(shù)是雙數(shù)，2張2張的烙就可以了，如果要烙的餅的張數(shù)是單數(shù)，可以先2個(gè)2個(gè)的烙，最后3張餅按上面的最優(yōu)方法烙，最節(jié)省時(shí)間。例2分析家里來客人需要沏茶時(shí)，怎樣安排各種事情能讓客人盡快喝上茶；繼續(xù)討論如何用優(yōu)化的思想選擇合理、快捷的解決問題的方法。教材在情境圖下給出了沏茶所要做的各種工序，以及做每件事情所需的

20、時(shí)間。然后呈現(xiàn)學(xué)生們討論怎樣安排的場(chǎng)面。在這些內(nèi)容中包含了解決這一問題的思考方法：首先要明確沏茶的大致順序，也就是說哪些事情要先做，然后再考慮還有哪些事情可以同時(shí)做，能同時(shí)做的事盡量同時(shí)做，這樣才能節(jié)省時(shí)間。教材還提示可以用流程圖的方式表示解決問題的順序或方案，教給學(xué)生設(shè)計(jì)方案的具體方法。例3安排的是在碼頭卸貨時(shí)，按照怎樣的順序卸貨能讓三艘船總的等候時(shí)間最少；讓學(xué)生從中體會(huì)運(yùn)籌思想在解決問題中的作用。教材沒有給出答案，而是讓學(xué)生自己來解決。這里卸貨順序的種數(shù)是一個(gè)排列問題，一共有6種不同的方案，方案卸貨順序船1的等候時(shí)間（時(shí)）船2的等候時(shí)間（時(shí)）船3的等候時(shí)間（時(shí)）等候時(shí)間的總和（時(shí)）1船1船

21、2船388+48+4+1332船1船3船288+1+48+1303船2船1船34+844+8+1294船2船3船14+1+844+1225船3船1船21+81+8+41236船3船2船11+4+81+4119學(xué)生可以計(jì)算出每種方案中三艘貨船的等候時(shí)間的總和各是多少，從而找出最優(yōu)的卸貨順序。然后引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)：依次從等候時(shí)間較少的船開始卸貨，就能使總的等候時(shí)間最少。例4呈現(xiàn)了“田忌賽馬”的故事。這個(gè)故事學(xué)生可能已經(jīng)了解，但是并不是從數(shù)學(xué)的角度去理解的。在這里，通過這個(gè)故事讓學(xué)生體會(huì)對(duì)策論方法在實(shí)際中的應(yīng)用。教材首先引導(dǎo)學(xué)生回憶這個(gè)故事，并讓學(xué)生把田忌在賽馬中使用的方法通過表格的形式列出來，齊王

22、田忌本場(chǎng)勝者第一場(chǎng)上等馬下等馬齊王第二場(chǎng)中等馬上等馬田忌第三場(chǎng)下等馬中等馬田忌通過比較讓學(xué)生看到：雖然在同等級(jí)的馬中，田忌的馬都不如齊王的馬；如果拿同等級(jí)的馬進(jìn)行比賽田忌一定會(huì)輸，但是田忌所采用的策略卻讓他贏了。從而讓學(xué)生體會(huì)到對(duì)策論的方法在這場(chǎng)比賽中的重要性。接下來讓學(xué)生思考：田忌所用的這種策略是不是唯一能贏齊王的方法？并讓學(xué)生把田忌所有可以采用的策略列出來，通過對(duì)照來找到答案。田忌可以采用的策略一共有6種，但只有一種也就是他所使用的方法是唯一可以獲勝的。第一場(chǎng)第二場(chǎng)第三場(chǎng)獲勝方齊王上等馬中等馬下等馬齊王田忌1上等馬中等馬下等馬齊王田忌2上等馬下等馬中等馬齊王田忌3中等馬上等馬下等馬齊王田忌

23、4中等馬下等馬上等馬齊王田忌5下等馬上等馬中等馬田忌田忌6下等馬中等馬上等馬齊王（田忌1代表他的第一種策略）最后，教材讓學(xué)生說一說田忌的這種策略在生活中還有哪些應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)策論方法在生活中的應(yīng)用。（比如乒乓球團(tuán)體比賽）教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生通過簡單的事例，初步體會(huì)運(yùn)籌思想和對(duì)策論方法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。2使學(xué)生認(rèn)識(shí)到解決問題策略的多樣性，形成尋找解決問題最優(yōu)方案的意識(shí)。3讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來解決實(shí)際生活中的簡單問題，初步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力。4使學(xué)生逐漸養(yǎng)成合理安排時(shí)間的良好習(xí)慣。建議：運(yùn)籌思想和對(duì)策方論的理論都是比較系統(tǒng)、抽象的數(shù)學(xué)

24、思想方法，在這里只是讓學(xué)生通過簡單的事例，初步體會(huì)運(yùn)籌思想和對(duì)策方法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，初步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高解決實(shí)際問題的能力。學(xué)生只要能從解決問題的多種方案中尋找出最優(yōu)的方案，初步體會(huì)優(yōu)化思想的應(yīng)用就可以了，并不要求學(xué)生一看到問題就能從優(yōu)化的角度給出最優(yōu)的方案。另外老師在教學(xué)中也不要使用運(yùn)籌、優(yōu)化和對(duì)策等數(shù)學(xué)化的語言進(jìn)行描述。四下數(shù)學(xué)廣角“*植樹問題”例1是探討關(guān)于一條線段的植樹問題并且兩端都要栽樹的情況，讓學(xué)生先通過畫線段圖來發(fā)現(xiàn)：在一條路上植樹，如果兩端都要栽的話，栽樹的棵樹都比平均分的份數(shù)也就是間隔數(shù)多1,正好與間隔點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決實(shí)際問題。例2是在例1的基

25、礎(chǔ)上繼續(xù)探討關(guān)于一條線段的植樹問題的另一種情況。教材給出動(dòng)物園里綠化隊(duì)在大象館和猩猩館之間的小路兩旁栽樹的問題，根據(jù)實(shí)際情況在這條小路的兩端都不栽樹。通過探索讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩端都不栽樹時(shí)，植樹的棵數(shù)比間隔數(shù)少1。例2討論的是兩端都不栽樹的情形。例3是植樹問題的另一種情況關(guān)于一個(gè)封閉圖形的植樹問題。這里借助圍棋盤的最外層每邊都能放19個(gè)棋子，求圍棋盤最外層一共可以擺多少個(gè)棋子的問題，介紹如何解決類似的植樹問題。教材用直觀圖的形式展示了兩個(gè)學(xué)生解決問題的方法。一種方法是：先看上下兩個(gè)邊，每邊是19個(gè)棋子，然后再看左右兩邊，由于上下兩邊已經(jīng)包括了兩個(gè)端點(diǎn)，所以左右兩邊每邊都少了2個(gè)棋子，只有17個(gè)，

26、把四邊上的棋子加起來就可得到最外層總共的棋子數(shù)，即19+19+17+17=72。另一種想法是：每邊都只算一個(gè)端點(diǎn)，這樣每邊正好都是18個(gè)棋子，184=72得出結(jié)果。教材這里沒有給出解決關(guān)于封閉圖形植樹問題的規(guī)律，而是用這種直觀的方式來解決問題，體現(xiàn)了不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上有不同的發(fā)展。如果學(xué)生可以接受的話，也可以讓他們自主探索這種植樹問題中包含的規(guī)律，即栽樹的棵數(shù)正好等于間隔數(shù)。例如，圍棋盤最外層擺放的棋子數(shù)等于最外層每兩個(gè)棋子間的間隔數(shù)，最外層每邊有18個(gè)間隔，最外層總共擺放的棋子數(shù)是184=72。教學(xué)目標(biāo)：1使學(xué)生通過生活中的事例，初步體會(huì)解決植樹問題的思想方法。2初步培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中

27、探索規(guī)律、找出解決問題的有效方法的能力。3讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來解決實(shí)際生活中的簡單問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力。建議：本單元就是讓學(xué)生通過生活中的簡單事例，初步體會(huì)解決植樹問題的思想方法和它在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，教學(xué)時(shí)，應(yīng)從實(shí)際問題入手，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同的情形中的規(guī)律，經(jīng)歷抽取出數(shù)學(xué)模型的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。但是，也要注意不要對(duì)例題進(jìn)行過多的變式、提高問題的難度，造成教學(xué)要求過高。五上數(shù)學(xué)廣角“*數(shù)字編碼”數(shù)字編碼和我們的生活緊密相關(guān)，比如郵政編碼、身份證號(hào)碼、電話號(hào)碼等，在

28、這些號(hào)碼中都蘊(yùn)含著數(shù)字編碼的思想，同時(shí)也為我們的生活提供了很多便利。運(yùn)用數(shù)字或者符號(hào)來描述事物，可以比較簡潔、準(zhǔn)確地表示出事物蘊(yùn)含的客觀規(guī)律，也便于我們分類查詢和統(tǒng)計(jì)。 在這一單元我們主要是通過一些生活中的事例向?qū)W生滲透數(shù)字編碼思想，通過觀察、比較、猜測(cè)來探索數(shù)字編碼的簡單方法，并通過實(shí)踐活動(dòng)加以應(yīng)用。例1是通過了解郵政編碼的結(jié)構(gòu)和含義來初步體會(huì)數(shù)字編碼的方法，教材向同學(xué)們介紹了郵政編碼的結(jié)構(gòu)：郵政編碼由六位數(shù)字組成，前兩位數(shù)字表示?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）；前三位數(shù)字表示郵區(qū)；前四位數(shù)字表示縣（市），最后兩位數(shù)字表示投遞局（所）。 如448268。它的前兩位數(shù)表示省、自治區(qū)、直轄市，如44表示湖北

29、?。磺叭粩?shù)表示郵區(qū)代號(hào)，如448表示湖北省荊門郵區(qū)；前四位數(shù)表示縣（市）的編號(hào)，如4482代表湖北省荊門市沙洋縣郵局；最后兩位代表郵件投遞局（所）， 所以448268表示的就是湖北省荊門市沙洋縣五里郵電支局的投遞局。例2是通過了解身份證號(hào)碼中蘊(yùn)含的一些簡單信息和編碼的含義進(jìn)一步體會(huì)數(shù)字編碼的方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)字編碼在我們?nèi)粘Ｉ钪械膹V泛應(yīng)用。每個(gè)公民一出生，就有一個(gè)身份證號(hào)碼。公民身份號(hào)碼是每個(gè)公民唯一的、終身不變的身份代碼，由公安機(jī)關(guān)按照公民身份號(hào)碼國家標(biāo)準(zhǔn)編制的。教學(xué)時(shí)讓學(xué)生小組交流討論，對(duì)身份證號(hào)碼的組成，數(shù)字的排列，每個(gè)數(shù)字表示的含義等問題進(jìn)行思考。然后得出：身份證號(hào)碼是由18位數(shù)字

30、組成：前6位為行政區(qū)劃代碼，第7至14位為出生日期碼，第15至17位為順序碼，第18位為校驗(yàn)碼。例如：5105221，510402行政區(qū)劃代碼，19620330出生日期碼，522是順序碼，1是校驗(yàn)碼。倒數(shù)第2位數(shù)字表示性別，雙數(shù)表示女性，單數(shù)表示男性。注意這里不要求學(xué)生掌握每個(gè)數(shù)字所代表的含義以及編排方法，有些學(xué)生不易理解的（比如校驗(yàn)碼）讓學(xué)生知道就可以了。根據(jù)身份證號(hào)碼，我們可以辨別身份，例如：（出示題目）先看第一個(gè)身份證號(hào)碼，1940年出生的可能是爺爺、奶奶，倒數(shù)第二位是單數(shù)，說明是男性，因此這是爺爺?shù)纳矸葑C號(hào)碼，其余同理講解。例3和例4是在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過兩個(gè)實(shí)踐活動(dòng)來運(yùn)用數(shù)字或字母

31、進(jìn)行編碼，加深對(duì)數(shù)字編碼思想的理解。例3是讓學(xué)生給學(xué)校的每一個(gè)學(xué)生編一個(gè)學(xué)號(hào)，讓學(xué)生思考并分組討論學(xué)號(hào)中要體現(xiàn)的內(nèi)容，比如入學(xué)年份、年級(jí)、班級(jí)、班級(jí)序號(hào)、性別等，然后再根據(jù)這些內(nèi)容來設(shè)計(jì)編碼的方法，比如說可以用1表示男生，2表示女生。教材這里只是提供了一些范例，學(xué)生可以有各自不同的設(shè)計(jì)方案，例4是讓學(xué)生給班里或?qū)W校圖書角的書籍編一個(gè)書號(hào)，和例3相比，更復(fù)雜一些，是用符號(hào)和數(shù)字的組合進(jìn)行編碼，這種編碼在生活中也是處處可見，比如汽車的車牌號(hào)、火車的車次、飛機(jī)的航班號(hào)以及商品的型號(hào)等，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。這種編碼比較有代表性的就是圖書的檢索號(hào)，在圖書館里有成千

32、上萬冊(cè)的圖書，為了便于查詢和統(tǒng)計(jì)，我們給圖書也編了一個(gè)“書號(hào)”檢索號(hào)。如果熟悉了圖書的分類及檢索方法后，就可以快速、有效地查閱自己需要的圖書。教材在這里給出一些范例，比如用字母表示書的類別，用A表示童話故事書，還可以用序號(hào)代表捐書人的信息。學(xué)生還可以設(shè)計(jì)不同的信息和編碼方案，這里主要是讓學(xué)生體會(huì)用字母也可以進(jìn)行編碼，進(jìn)一步探索編碼的方法，經(jīng)歷用字母和數(shù)字一起進(jìn)行編碼的過程。練習(xí)中的第3題介紹國際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào)，它是國際上通用的比較科學(xué)合理的一種圖書編碼系統(tǒng)，外文簡稱ISBN。ISBN是由13個(gè)數(shù)字組成的，其中978代表圖書，中間的9個(gè)數(shù)字分成3組，分別表示組號(hào)、出版社號(hào)、書序號(hào)，最后一個(gè)數(shù)字是校驗(yàn)碼

33、；各部分之間用“-”或空位隔開。其中組號(hào)是代表一個(gè)國家、地區(qū)或語種的編號(hào)，這個(gè)編號(hào)是由國際ISBN中心設(shè)置和分配，中國為“7”。出版社號(hào)是由地區(qū)或國家的ISBN中心設(shè)置和分配的，可以多達(dá)7位數(shù)，如人民教育出版社的出版社號(hào)是“107”。書名號(hào)是由該出版者出版的每種出版物的編號(hào)。檢驗(yàn)號(hào)是國際標(biāo)準(zhǔn)書號(hào)編號(hào)的最后一位數(shù)字。教學(xué)目標(biāo)是：1通過生活中的事例(如郵政編碼、身份證號(hào)碼、電話號(hào)碼,車牌號(hào))，使學(xué)生初步體會(huì)數(shù)字編碼思想在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。2讓學(xué)生通過觀察、比較、猜測(cè)來探索數(shù)字編碼的簡單方法，學(xué)會(huì)用數(shù)進(jìn)行編碼，初步培養(yǎng)抽象、概括能力。3讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來

34、解決實(shí)際生活中的簡單問題，初步培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力。4 使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中養(yǎng)成與人合作的良好習(xí)慣，初步學(xué)會(huì)表達(dá)和交流解決問題的過程和結(jié)果。建議：數(shù)字編碼是一種抽象的數(shù)學(xué)思想方法，在這里只是讓學(xué)生通過日常生活中的一些實(shí)例，初步體會(huì)數(shù)字編碼在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，并通過觀察、比較、猜測(cè)來探索數(shù)字編碼的簡單方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)進(jìn)行編碼，初步培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括能力。學(xué)生只要能從郵政編碼、身份證號(hào)碼等具體實(shí)例中初步了解蘊(yùn)含其中的一些簡單信息和編碼的含義，探索出數(shù)字編碼的簡單方法，并能在實(shí)踐活動(dòng)中加以應(yīng)用就可以了，并不要求學(xué)生掌握編碼中每個(gè)數(shù)字的信息和含義。另外學(xué)生在實(shí)踐中可以有不同的編碼方法，教師要允許

35、學(xué)生采用不同的形式，并且要放手讓學(xué)生親身去體會(huì)、經(jīng)歷運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和實(shí)踐能力。教師只是在必要時(shí)給以一定的點(diǎn)撥、引導(dǎo)。五下數(shù)學(xué)廣角“*找次品”例1安排了從5個(gè)物品中找次品，僅要求學(xué)生說出找次品的方法，不需要進(jìn)行規(guī)律總結(jié)，從而讓學(xué)生感受解決問題策略的多樣性；例2通過讓學(xué)生探索和比較找次品的多種方法，體會(huì)解決問題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化策略解決問題的有效性。教學(xué)時(shí)，可先讓學(xué)生進(jìn)行小組活動(dòng)，使其在試驗(yàn)、研討的過程中自主探索解決問題的最優(yōu)方法。在學(xué)生匯報(bào)、交流時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)找次品的最優(yōu)策略主要基于以下兩點(diǎn)：一是把待測(cè)物品分成3份；二是要分得盡量平均，能夠均分的就

36、平均分成3份，不能均分的，也應(yīng)該使多的一份與少的一份只相差1。例如：教學(xué)目標(biāo)1. 通過觀察、猜測(cè)、試驗(yàn)、推理等活動(dòng)，體會(huì)解決問題策略的多樣性及運(yùn)用優(yōu)化的方法解決問題的有效性。2. 感受到數(shù)學(xué)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，嘗試用數(shù)學(xué)的方法來解決實(shí)際生活中的簡單問題，初步培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和解決實(shí)際問題的能力。教學(xué)建議：實(shí)際教學(xué)時(shí)，多給學(xué)生一些時(shí)間，讓他們充分地操作、試驗(yàn)、討論、研究，找到解決問題的多種策略。教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)把待測(cè)物品平均分成3份稱的方法最好，在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)行猜測(cè)：這種方法在待測(cè)物品的數(shù)量更大時(shí)是否也成立呢？從而可引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行歸納、推理等數(shù)學(xué)思考活動(dòng)。這時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)

37、生逐步脫離具體的實(shí)物操作，轉(zhuǎn)而采用列表、畫圖等方式進(jìn)行較為抽象的分析，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過渡。六上數(shù)學(xué)廣角“*雞兔同籠問題”由于“雞兔同籠”原題的數(shù)據(jù)較大，不便于學(xué)生進(jìn)行探究，所以教材以化繁為簡的思想為指導(dǎo)，先在例1中安排一道數(shù)據(jù)較小的“雞兔同籠”問題讓學(xué)生探索解決的方法。在分析解答部分，教材首先呈現(xiàn)了學(xué)生最“樸素”的想法猜測(cè)。分別猜測(cè)雞、兔各有多少只，然后驗(yàn)證腳的只數(shù)是否對(duì)應(yīng)，通過這種不斷地猜測(cè)、嘗試最終找到答案，例1的表格可幫助學(xué)生按順序?qū)ふ掖鸢?，雖然也可以解決問題，但當(dāng)數(shù)據(jù)較大時(shí)過程頗為繁瑣。因此引導(dǎo)學(xué)生思考更具有邏輯性和一般性的解法，教材中主要呈現(xiàn)了最典型的“假設(shè)法”和列方程的解法。“

38、假設(shè)法”是一種算術(shù)方法，但有其獨(dú)特的特點(diǎn)，是一個(gè)假設(shè)計(jì)算推理解答的過程。例1中就是通過假設(shè)籠子里都是雞，然后通過計(jì)算實(shí)際與假設(shè)情況下總腳數(shù)之差，進(jìn)而推理出雞、兔的只數(shù)。實(shí)際上“假設(shè)法”可以有很多巧妙的思路，“閱讀資料”中介紹的“抬腿法”也是其中之一。列方程則是一種代數(shù)解法，通過假設(shè)雞或兔任何一個(gè)量為x，然后根據(jù)只數(shù)與腳數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系列出方程并求解即可。在日常生活中，“雞兔同籠”問題有很多的變式，教材在“做一做”中安排的日本民間流傳的“龜鶴問題”以及租船、植樹等實(shí)際問題均與“雞兔同籠”本質(zhì)相同。教學(xué)目標(biāo)1. 了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學(xué)問題的趣味性。2. 嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”

39、問題（羅列的方法、假設(shè)的方法、列方程的方法），并使學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性。3. 在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。建議1. 注意滲透化繁為簡的思想。教材先編排了例1，通過化繁為簡的思想，幫助學(xué)生先探索出解決該類問題的一般方法后，再解決孫子算經(jīng)中數(shù)據(jù)較大的原題。教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)注意使學(xué)生體會(huì)這一點(diǎn)。2. 適當(dāng)把握教學(xué)要求。解決“雞兔同籠”問題時(shí)，教材展示了學(xué)生逐步解決問題的過程，即猜測(cè)、列表假設(shè)或方程解。其中假設(shè)和列方程解是解決該類問題的一般方法?！凹僭O(shè)法”有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，列方程解則有助于學(xué)生體會(huì)代數(shù)方法的一般性。因此在解決“雞兔同籠”問題時(shí)，學(xué)生選用哪種方法均可，不強(qiáng)求用

40、某一種方法。六下數(shù)學(xué)廣角“*抽屜原理：”在數(shù)學(xué)問題中有一類與“存在性”有關(guān)的問題。例如，任意13人中，至少有兩人的出生月份相同。任意367名學(xué)生中，一定存在兩名學(xué)生，他們?cè)谕惶爝^生日。在這類問題中，只需要確定某個(gè)物體（或某個(gè)人）的存在就可以了，并不需要指出是哪個(gè)物體（或哪個(gè)人），也不需要說明是通過什么方式把這個(gè)存在的物體（或人）找出來。這類問題依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”?！俺閷显怼钡睦碚摫旧聿⒉粡?fù)雜，甚至可以說是顯而易見的。例如，要把三個(gè)蘋果放進(jìn)兩個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)蘋果。這樣的道理對(duì)于小學(xué)生來說，也是很容易理解的。但“抽屜原理”的應(yīng)用卻是千變?nèi)f化的，用它可以解決許多有趣

41、的問題。本單元用直觀的方式，介紹了“抽屜原理”的兩種形式。例1描述的是最簡單的“抽屜原理”：“4支鉛筆放入3個(gè)文具盒”，教材呈現(xiàn)了兩種思考方法。第一種方法是用操作的方法進(jìn)行枚舉。通過直觀地?cái)[鉛筆，發(fā)現(xiàn)把4枝鉛筆分配到3個(gè)文具盒中一共只有四種情況（數(shù)的分解），即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一種結(jié)果的三個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)數(shù)是不小于2的。第二種方法采用的是“反證法”或“假設(shè)法”的思路，即假設(shè)先在每個(gè)文具盒中放1枝鉛筆，3個(gè)文具盒里就放了3枝鉛筆。還剩下1枝，放入任意一個(gè)文具盒，那么這個(gè)文具盒中就有2枝鉛筆了。這種方法比第一種方法更為抽象，更具一般性。在解決了“4

42、枝鉛筆放進(jìn)3個(gè)文具盒”的問題以后，可讓學(xué)生思考：把5枝鉛筆放進(jìn)4個(gè)文具盒，結(jié)果是否一樣呢？把6枝鉛筆放進(jìn)5個(gè)文具盒呢？把100枝鉛筆放進(jìn)99個(gè)文具盒呢？引導(dǎo)學(xué)生得出一般性的結(jié)論：只要放的鉛筆數(shù)比文具盒的數(shù)量多1，總有一個(gè)文具盒里至少放進(jìn)2枝鉛筆。接著，可以繼續(xù)提問：如果要放的鉛筆數(shù)比文具盒的數(shù)量多2，多3，多4呢？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：把 m個(gè)物體任意分放進(jìn)n 個(gè)空抽屜里（m n， n是非0自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)物體。例2描述了“抽屜原理”更為一般的形式：“5本書放入2個(gè)抽屜”，學(xué)生仍然可以采用枚舉的方法，把5分解成兩個(gè)數(shù)，有（5，0），（4，1），（3，2）三種情況。在任何一種

43、結(jié)果中，總有一個(gè)數(shù)不小于3。更具一般性的仍然是假設(shè)的方法，即先把5本書“平均分成2份”。利用有余數(shù)除法52=21可以發(fā)現(xiàn)，如果每個(gè)抽屜放進(jìn)2本，還剩1本。把剩下的這1本放進(jìn)任何一個(gè)抽屜，該抽屜里就有3本書了。研究了“把5本書放進(jìn)2個(gè)抽屜”的問題后，進(jìn)一步提出“如果一共有7本書，9本書，情況會(huì)怎樣？”的問題，讓學(xué)生利用前面的方法進(jìn)行類推，得出“7本書放進(jìn)2個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)4本書，9本書放進(jìn)2個(gè)抽屜，總有一個(gè)抽屜至少放進(jìn)5本書”的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生歸納出：把多于 kn個(gè)物體任意分放進(jìn) n個(gè)空抽屜里（k是正整數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少（k+1）個(gè)物體。例3是“抽屜原理”的

44、具體應(yīng)用，也是運(yùn)用“抽屜原理”進(jìn)行逆向思維的一個(gè)典型例子。教學(xué)時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生思考本例的問題與前面所講的抽屜原理是否有聯(lián)系，有什么樣的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生把具體問題轉(zhuǎn)化為“抽屜問題”，找出這里的“抽屜”是什么，“抽屜”有幾個(gè)，再應(yīng)用前面所學(xué)的“抽屜原理”進(jìn)行反向推理。例如，在本例中，根據(jù)例1中的結(jié)論“只要分的物體個(gè)數(shù)比抽屜數(shù)多，就能保證一定有一個(gè)抽屜至少有2個(gè)球”就能推斷“要保證有一個(gè)抽屜至少有2個(gè)球，分的物體個(gè)數(shù)至少比抽屜數(shù)多1”?，F(xiàn)在，“抽屜數(shù)”就是“顏色數(shù)”，結(jié)論就變成了：“要保證摸出兩個(gè)同色的球，摸出的球的數(shù)量至少要比顏色種數(shù)多1?！?在教學(xué)中，在實(shí)際問題和“抽屜問題”之間架起一座橋梁并不是一

45、件容易的事。如果學(xué)生在理解時(shí)存在比較大的困難時(shí)，也可以引導(dǎo)他們這樣思考：球的顏色一共有兩種，如果只取兩個(gè)球，會(huì)出現(xiàn)三種情況：兩個(gè)紅球、一個(gè)紅球一個(gè)藍(lán)球、兩個(gè)藍(lán)球。如果再取一個(gè)球，不管是紅球還是藍(lán)球，都能保證三個(gè)球中一定有兩個(gè)同色的。教學(xué)目標(biāo)1經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會(huì)用“抽屜原理”解決簡單的實(shí)際問題。2通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力。教學(xué)建議：1應(yīng)讓學(xué)生初步經(jīng)歷“數(shù)學(xué)證明”的過程。在小學(xué)階段，雖然并不需要學(xué)生對(duì)涉及到“抽屜原理”的相關(guān)現(xiàn)象給出嚴(yán)格的、形式化的證明，但仍可引導(dǎo)學(xué)生用直觀的方式對(duì)某一具體現(xiàn)象進(jìn)行“就事論事”式的解釋?？梢怨膭?lì)學(xué)生借助學(xué)具、實(shí)物操作

46、或畫草圖的方式進(jìn)行“說理”。2應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的“模型”思想。教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生先判斷某個(gè)問題是否屬于用“抽屜原理”可以解決的范疇，如果可以，再思考如何尋找隱藏在其背后的“抽屜問題”的一般模型。這個(gè)過程實(shí)際上是學(xué)生經(jīng)歷將具體問題“數(shù)學(xué)化”的過程。3要適當(dāng)把握教學(xué)要求?！俺閷显怼?的應(yīng)用廣泛且靈活多變，因此，用“抽屜原理”來解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些困難。例如，有時(shí)要找到實(shí)際問題與“抽屜問題”之間的聯(lián)系并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作為“抽屜”，要用幾個(gè)“抽屜”。因此，教學(xué)時(shí)，不必過于追求學(xué)生“說理”的嚴(yán)密性，只要能結(jié)合具體問題把大致意思說出來就可以了，更要允許學(xué)生借助實(shí)物操作等

47、直觀方式進(jìn)行猜測(cè)、驗(yàn)證。從對(duì)數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容的梳理中我們可以看出兩點(diǎn)：每一個(gè)數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容認(rèn)知目標(biāo)相當(dāng)明確；數(shù)學(xué)思想方法的滲透是與解決問題緊密聯(lián)系的。數(shù)學(xué)廣角立足數(shù)學(xué)思想方法的滲透，應(yīng)該明確三點(diǎn)： 數(shù)學(xué)思想是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)廣角教學(xué)的指導(dǎo)思想； 不能只滿足于數(shù)學(xué)問題的解決，還要有數(shù)學(xué)思想的飛躍和創(chuàng)造；數(shù)學(xué)思想不可能像數(shù)學(xué)知識(shí)那樣一步到位，它需要有一個(gè)不斷滲透、循序漸進(jìn)、由淺入深的過程。三、 “數(shù)學(xué)廣角”的教學(xué)策略怎樣讓每一位學(xué)生能體驗(yàn) “數(shù)學(xué)思想方法”呢？這是每一位數(shù)學(xué)教師在教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角”時(shí)都應(yīng)該思考的問題。這幾年我也上了數(shù)學(xué)廣角的公開課，從這些課中能體會(huì)到要真正發(fā)揮“數(shù)學(xué)廣角”滲透數(shù)學(xué)思想方法的作用，我們每一位數(shù)學(xué)教師需要做到以下四條策略。策略一：要提升數(shù)學(xué)教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。有人說，要給學(xué)生一杯水，教師必須有一桶水。有人說，要給學(xué)生一杯水，教師必須有長流不息的小溪水。做一名有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教師，是時(shí)代的要求，也是促進(jìn)每一個(gè)學(xué)生發(fā)展的迫切需求。因此要想能通過有效的教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角” ，把這些數(shù)學(xué)思想方