計數(shù)應(yīng)用題解題策略(20210412094236)

1、計數(shù)應(yīng)用題解題策略 The document was finally revised on 2021 計數(shù)應(yīng)用題解題策略 數(shù)學(xué)選修2-3計數(shù)應(yīng)用題教學(xué)反思 沛縣體育中學(xué) 李鋒 計數(shù)應(yīng)用題是排列組合中最常見的題型，由于其解法往往是構(gòu)造性的，因此 方法靈活多樣，不同解法導(dǎo)致問題難易變化也較大，而且解題過程出現(xiàn)“重復(fù)”和 “遺漏”的錯誤較難自檢發(fā)現(xiàn)。因而對這類問題歸納總結(jié)，并把握一些常見解題模 型是必要的。以下結(jié)合一些例題講述了在解決計數(shù)應(yīng)用題時的一般步驟和需要注意 的細節(jié)。 一、把握分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是基礎(chǔ) 例1 在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗 工也能當車

2、工?，F(xiàn)從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選 法 解：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必 須前后統(tǒng)一。以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾個去當鉗工 為分類標準。第一類：這兩個人都去當鉗工，有種；第二類：這兩人有一個去當 鉗工，有種；第三類：這兩人都不去當鉗工，有種。因而共有185種。 小結(jié)：把握了 “分類的要求”和“分步的合理性”,解決排列組合問題就快速 多了。并能提高解題的準確度。 二、注意區(qū)別“恰好”與“至少” 例2 從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有 解：通過合理的分步可以完成任務(wù)。第一步從6雙中選出

3、一雙同色的手套，有 6種方法；第二步從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法；第三步從除前所 涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法j冉于選取與順序無 關(guān)，因而第二步和第三步中的選法重復(fù)一次，因而共C* = 240種。 小結(jié)：“恰好有一個”是“只有一個”的意思。“至歩肴一個”則是“有一個 或一個以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒有一個”的反面.故可用“排除 法”。 三、特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮 例3 六人站成一排，求： (1) 甲不在排頭，乙不在排尾的排列數(shù) (2) 甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 解：(1)先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，

4、因而考慮分類。 第一類：乙在排頭，有種站法。第二類：乙不在排頭，當然他也不能在排 尾，有種站法，共504種站法 (2)第一類：甲在排尾，乙在排頭，有種方法；第二類：甲在排尾，乙不在 排頭，有種方法；第三類：甲不在排尾，乙在排頭，有種方法；第四類：甲不在排 尾，乙不在排頭，有種方法。共有312種方法。 小結(jié)：1、“在”與“不在”可以相互轉(zhuǎn)化。解決某些元素在某些位置上用“定位 法”.解決某些元素不在某些位置上一般用“間接法”或轉(zhuǎn)化為“在”的問題求 解。 2、排列組合應(yīng)用題極易出現(xiàn)“重”、“漏”現(xiàn)象 而重”、“漏”錯誤常發(fā)生在 該不該分類、有無次序的問題上。為了更好地防“重”堵“漏”，在做題時需認真

5、 分析自己做題思路，也可改變解題角度，利用一題多解核對答案 四、“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空” 例4、7名學(xué)生排成一排，下列情況各有多少種不同的排法？ (1) 甲、乙必須站在一起； (2) 甲、乙互不相鄰。 解：(1)將甲、乙二人看作一個元素，先排甲、乙有A；種，然后再與其他5人構(gòu) 成6個元素進行全排列，有A；A：=1440種方法。 (2)先排除甲、乙二人外的5人有A；種，產(chǎn)生6個空，把甲、乙二人插空有 =3600 種方法。 小結(jié)：以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個整體，即采用“捆綁法”； 以某些元素不能相鄰為附加條件的，可采用“插空法”?！安蹇铡庇型瑫r“插空” 和有逐一“插空

6、”，并要注意條件的限定. 五、混合問題，先“組”后“排” 例5對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進行測試，至區(qū)分出所 有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有種可 能？ 解：由題意知前5次測試恰有4次測到次品，且第5次測試是次品。故有： C：C：A：=576 種可能 小結(jié)：本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是 先元素(即組合)后排列。 六、分清排列、組合、等分的算法區(qū)別 例6、有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？ (1)分成1本、23本； （2）分給甲、乙、丙三人，其中1人一本，1人二本、1人三本

7、； （3）分成三份，每份2本 解：（1）分三步：先選一本有C：種選法；再從余下的5本中選2本有C；種選法；最 后余下的3本全選有C；種。由分步計數(shù)原理知，分配方法共有：C；C；C；=60種。 （2）由于甲、乙、丙三人是不同的三個人，在（1）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問 題，因此，分配方法共有：C；C：C；A；=360種。 （3）先分三步：則應(yīng)是C：C；C；種方法，但是這里出現(xiàn)重復(fù)，不防記六本書為A、 B、C、D、E、F,若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EFO記該種分法為 （AB、CD、EF）則C：C：C；種分法中還有（AB、EF、CD）、（CD、AB、EF）、（CD、 EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）、共A；種情況，而且這A；種情況是 AB、CD、EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有：適穽1 = 15 A3 種。 小結(jié)：平均分組問題：一般來說，也個不同的元素分成k組，每組m個，則不同 的分法有：U黑U：j”U：種 七、分類組合，隔板處理 例7某中學(xué)從高中7個班中選出12名學(xué)生組成校代隊，參加中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽活 動，使代表隊中每班至少1人參加的選法有多少種？ 解:問題相當于