離散數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

1、 本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié) 要熟練掌握這五個(gè)聯(lián)結(jié)詞在自然語(yǔ)言中所表要熟練掌握這五個(gè)聯(lián)結(jié)詞在自然語(yǔ)言中所表 示的含義以及它們的真值表的定義。示的含義以及它們的真值表的定義。 p q pq pq pq pq f f f f t t f t f t t f t f f t f f t t t t t t 2. 定義：a、b是含有命題變?cè)猵1,p2, pn的 命題公式，如不論對(duì)p1, p2 , , pn作任何指 派，都使得a和b的真值相同，則稱之為a與b 等價(jià)，記作a ab b。 顯然 pqpqqp 3. 重要的等價(jià)公式 對(duì)合律 pp 冪等律 ppp ppp 結(jié)合律 p(qr)(pq)r p(qr)(pq)r

2、 交換律 pqqp pqqp 分配律分配律 p p(q qr)r)( (p pq)q)(p pr) r) p p(q qr)r)( (p pq)q)(p pr)r) 吸收律吸收律 p p(p pq)q)p pp p(p pq)q)p p 底底- -摩根定律摩根定律 ( (p pq)q)p p q q ( (p pq)q)p p q q 同一律同一律 p pf fp pp pt tp p 零律零律 p pt tt pt pf ff f 互補(bǔ)律互補(bǔ)律 p p p pt t p p p pf f p pq qp pq q p pq qq qp p p pq q ( (p pq)q)(q(qp)p)

3、p pq q ( ( p pq)q)(p(p q) q) p pq q ( (p pq)q)( ( p p q )q ) 2.主析取范式定義 析取范式 a1a2.an, , 其中每個(gè)ai (i=1,2.n)都是小項(xiàng)，稱之為主析取范式。 3.主析取范式的寫(xiě)法 方法：列真值表 列出給定公式的真值表。 找出真值表中每個(gè)“t”對(duì)應(yīng)的小項(xiàng)。 (如何根據(jù)一組指派寫(xiě)對(duì)應(yīng)的為“t”的項(xiàng)： 如果變?cè)猵被指派為t，p在小項(xiàng)中以p形式出 現(xiàn)；如變?cè)猵被指派為f,p在小項(xiàng)中以p形式 出現(xiàn)(因要保證該小項(xiàng)為t)。 用“”聯(lián)結(jié)上述小項(xiàng)，即可。 l 2.主合取范式定義 合取范式 a1a2. an, , 其中每個(gè)ai (i=

4、1,2.n)都是大項(xiàng)，稱之為主合取范式。 l 3.主合取范式的寫(xiě)法 方法：列真值表 列出給定公式的真值表。 找出真值表中每個(gè)“f”對(duì)應(yīng)的大項(xiàng)。 如何根據(jù)一組指派寫(xiě)對(duì)應(yīng)的為“f f”的大項(xiàng)： 如果變?cè)猵被指派為f f，p在大項(xiàng)中以p p形式出現(xiàn)； 如變?cè)猵被指派為t t，p在大項(xiàng)中以 p p形式出現(xiàn) (確保該大項(xiàng)為f)。 用“”聯(lián)結(jié)上述大項(xiàng)，即可。 l在一個(gè)謂詞公式中，如果某個(gè)客體變?cè)纫?約束變?cè)问匠霈F(xiàn)，又以自由變?cè)问匠霈F(xiàn)， 就容易產(chǎn)生混淆。為了避免此現(xiàn)象發(fā)生，可 以對(duì)客體變?cè)拿Q。 如 x(f(x,y)yp(y)q(z) l約束變?cè)母拿?guī)則： (1).對(duì)約束變?cè)梢愿拿Q，改名的

5、范圍是： 量詞后的指導(dǎo)變?cè)约霸摿吭~的轄域內(nèi)此客 體變?cè)霈F(xiàn)的各處同時(shí)換名。 (2).改名后用的客體變?cè)Q，不能與該量詞 的轄域內(nèi)的其它變?cè)Q相同。 例如例如 x(p(x)q(x,y)(r(x)a(x) x(p(x)q(x,y)(r(x)a(x) 此式中的此式中的x x 就是以兩種形式出現(xiàn)。可以對(duì)就是以兩種形式出現(xiàn)?？梢詫?duì)x x改名成改名成 z(p(z)q(z,y)(r(x)a(x) z(p(z)q(z,y)(r(x)a(x) 對(duì)自由變?cè)部梢該Q名字，此換名叫代入。對(duì)自由變?cè)部梢該Q名字，此換名叫代入。 對(duì)對(duì)自由變?cè)拇胍?guī)則自由變?cè)拇胍?guī)則： (1).(1).對(duì)謂詞公式中的自由變?cè)梢?/p>

6、作代入。代入對(duì)謂詞公式中的自由變?cè)梢宰鞔?。代?時(shí)需要對(duì)公式中出現(xiàn)該變?cè)拿恳惶帲瑫r(shí)作時(shí)需要對(duì)公式中出現(xiàn)該變?cè)拿恳惶?，同時(shí)作 代入。代入。 (2).(2).代入后的變?cè)Q要與公式中的其它變?cè)牒蟮淖冊(cè)Q要與公式中的其它變?cè)?稱不同稱不同 上例也可以對(duì)自由變?cè)侠部梢詫?duì)自由變?cè)獂 x作代入，改成作代入，改成 x(p(x)q(x,y)(r(z)a(z) x(p(x)q(x,y)(r(z)a(z) l2.前束范式的寫(xiě)法法 給定一個(gè)帶有量詞的謂詞公式， 1)消去公式中的聯(lián)接詞和(為了便于量詞 轄域的擴(kuò)充)； 2)如果量詞前有“ ”，則用量詞否定公式將 “ ”后移。再用摩根定律或求公

7、式的否定 公式，將“ ”后移到原子謂詞公式之前。 3)用約束變?cè)母拿?guī)則或自由變?cè)拇?規(guī)則對(duì)變?cè)獡Q名(為量詞轄域擴(kuò)充作準(zhǔn)備) 4)用量詞轄域擴(kuò)充公式提取量詞，使之成為 前束范式形式。 本節(jié)要求本節(jié)要求： 1.準(zhǔn)確掌握這五個(gè)性質(zhì)的定義。準(zhǔn)確掌握這五個(gè)性質(zhì)的定義。 2.熟練掌握五個(gè)性質(zhì)的判斷和證明。熟練掌握五個(gè)性質(zhì)的判斷和證明。 r是是a中中自反自反的的x(x axrx) r是是a中中反自反反自反的的x(x a r) r是是a上上對(duì)稱對(duì)稱的的x y(x a y a xry) yrx) r是是a上上反對(duì)稱反對(duì)稱的的 x y(x a y a xry yrx) x=y) x y(x a y a x

8、 y xry)y x) r在在a上上傳遞傳遞 x y z(x a y a z a xry yrz)xrz) 上述定義表達(dá)式都是上述定義表達(dá)式都是蘊(yùn)涵式蘊(yùn)涵式,所以判斷關(guān)系所以判斷關(guān)系r性質(zhì)時(shí)要特性質(zhì)時(shí)要特 別注意使得性質(zhì)定義表達(dá)式的前件為別注意使得性質(zhì)定義表達(dá)式的前件為f的時(shí)候此表達(dá)式的時(shí)候此表達(dá)式 為為t，即，即r是滿足此性質(zhì)的。是滿足此性質(zhì)的。 (自反和反自反性除外自反和反自反性除外) r 自反性自反性 反自反性反自反性 對(duì)稱性對(duì)稱性 傳遞性傳遞性 反對(duì)稱性反對(duì)稱性 每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有環(huán)每個(gè)結(jié)點(diǎn)都有環(huán) 主對(duì)角線全是主對(duì)角線全是1 每個(gè)結(jié)點(diǎn)都無(wú)環(huán)每個(gè)結(jié)點(diǎn)都無(wú)環(huán) 主對(duì)角線全是主對(duì)角線全是0 不同結(jié)點(diǎn)

9、間如果有邊不同結(jié)點(diǎn)間如果有邊,則有則有 方向相反的兩條邊方向相反的兩條邊. 是以對(duì)角線為對(duì)稱是以對(duì)角線為對(duì)稱 的的 矩陣矩陣 不同結(jié)點(diǎn)間不同結(jié)點(diǎn)間,最多有一條邊最多有一條邊.以主對(duì)角線為對(duì)稱的位置以主對(duì)角線為對(duì)稱的位置 不會(huì)同時(shí)為不會(huì)同時(shí)為1 如果有邊如果有邊,則也有則也有 邊邊. 或者定義的前或者定義的前 件為假件為假. 如果如果aij=1,且且ajk=1,則則 aik=1 從關(guān)系的矩從關(guān)系的矩陣陣 從關(guān)系的有向從關(guān)系的有向圖圖 性性質(zhì)質(zhì)判定判定: 下面歸納這八個(gè)關(guān)系的性質(zhì)：下面歸納這八個(gè)關(guān)系的性質(zhì)：y-有有 n-無(wú)無(wú) 1。 2。 。 1。 2。 。 1。 2。 。 1。 2。 。 333

10、3 r2r1r3r4 自反性自反性 反自反性反自反性 對(duì)稱性對(duì)稱性 反對(duì)稱性反對(duì)稱性 傳遞性傳遞性 r1 y n n y y r2 n y n y n r3 y n y n y r4 y n y y y 1。 2。 1。 2。 1。 2。 1。 2。 333 3 r5 r6r7r8 自反性自反性 反自反性反自反性 對(duì)稱性對(duì)稱性 反對(duì)稱性反對(duì)稱性 傳遞性傳遞性 r5 n y n y y r6 n n y n n r7 n n n n n r8 n y y y y 實(shí)際上實(shí)際上r(r)、(s(r) 、t(r) 就是包含就是包含r的的“最小最小” 的自反的自反(對(duì)稱、傳遞對(duì)稱、傳遞)關(guān)系。關(guān)系。 三

11、三. .計(jì)算方法計(jì)算方法 定理定理1.給定給定 a中關(guān)系中關(guān)系r,則則 r(r)=ria。 證明：令證明：令r=ria,顯然顯然r是自反的和是自反的和r r， 下下 面證明面證明r是是“最小的最小的”：如果有：如果有a上自反關(guān)系上自反關(guān)系 r”且且r r”,又又ia r”,所以所以 ria r”,即即 r r”。 所以所以r就是就是r的自反閉包。即的自反閉包。即r(r)=ria 。 定理定理2.給定給定 a中關(guān)系中關(guān)系r,則則 s(r)=rrc 。 證明方法與證明方法與1.類似。類似。 定理定理3.給定給定 a中關(guān)系中關(guān)系r,則則 t(r)=rr2r3. 。 證明：令證明：令r= rr2r3.

12、, 顯然有顯然有 r r ； 定理定理4.給定給定 a中關(guān)系中關(guān)系r,如果如果a是有限集合，是有限集合，|a|=n 則則 t(r)=rr2.rn 。 證明：令證明：令r=rr2r3., r”=rr2.rn 下面證明下面證明r=r” ， 顯然有顯然有r” r。下面證明。下面證明r r”： 任取任取 r,由由r定義得必存在定義得必存在最小的最小的正整數(shù)正整數(shù)i 使使 得得 ri , (下面證明下面證明in)如果如果in, 根據(jù)關(guān)系的復(fù)合得根據(jù)關(guān)系的復(fù)合得a中必存在中必存在i-1個(gè)元素個(gè)元素e1, e2,.,ei-1， 使得使得 r r. r。 上述元素序列上述元素序列: x=e0, e1, e2,

13、.,ei-1,y=ei中共有中共有i+1個(gè)個(gè) 元元 素，素，i+1n , 而而a 中只有中只有n個(gè)元素，所以上述元素中個(gè)元素，所以上述元素中 至少有兩個(gè)相同，設(shè)至少有兩個(gè)相同，設(shè)ej=ek (jk)，于是，于是r的關(guān)系圖中的關(guān)系圖中 會(huì)有下面這些邊：會(huì)有下面這些邊： 四四. .性質(zhì)性質(zhì) 定理定理5. r是是a上關(guān)系，則上關(guān)系，則 r是自反的，當(dāng)且僅當(dāng)是自反的，當(dāng)且僅當(dāng) r(r)=r. r是對(duì)稱的，當(dāng)且僅當(dāng)是對(duì)稱的，當(dāng)且僅當(dāng) s(r)=r. r是傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng)是傳遞的，當(dāng)且僅當(dāng) t(r)=r. 證明略，因?yàn)橛砷]包定義即可得。證明略，因?yàn)橛砷]包定義即可得。 定理定理6. r是是a上關(guān)系，則上關(guān)系

14、，則 r是自反的，則是自反的，則s(r)和和t(r)也自反。也自反。 r是對(duì)稱的，則是對(duì)稱的，則r(r)和和t(r)也對(duì)稱。也對(duì)稱。 r是傳遞的，則是傳遞的，則r(r)也傳遞。也傳遞。 證明證明: 因?yàn)橐驗(yàn)閞自反自反,由定理由定理5得得r(r)=r,即即 ria=r, r(s(r)=s(r)ia=(rrc)ia =(ria)rc=r(r)rc=rrc =s(r)s(r)自反自反 定理定理7：設(shè)：設(shè)r1、r2是是a上關(guān)系，如果上關(guān)系，如果r1 r2 ，則，則 r(r1) r(r2) s(r1) s(r2) t(r1) t(r2) 證明證明 r(r1)=iar1 iar2= r(r2) ，類似可證

15、。，類似可證。 定理定理8：設(shè)：設(shè)r是是a上關(guān)系，則上關(guān)系，則 sr(r)=rs(r) tr(r)=rt(r) st(r) ts(r) 證明：證明： sr(r)=r(r)(r(r)c=(ria)(ria)c = (ria)(rciac) =riarcia = (r rc) ia= s(r)ia=rs(r) 的證明用前邊證明的結(jié)論：的證明用前邊證明的結(jié)論： (ria)k= iarr2.rk 很容易證明，這里從略。很容易證明，這里從略。 4-7 集合的劃分與覆蓋 圖書(shū)館的圖書(shū)，要分成許多類存放，學(xué)校的學(xué)生圖書(shū)館的圖書(shū)，要分成許多類存放，學(xué)校的學(xué)生 要按照專業(yè)分成許多班，要按照專業(yè)分成許多班，即對(duì)集

16、合的元素劃分即對(duì)集合的元素劃分 一一. .定義定義 設(shè)設(shè)x是一個(gè)非空集合是一個(gè)非空集合,a=a1, a2,. ,an, ai ai x (i=1,2,.,n),如果滿足如果滿足 a1a2.an =x (i=1,2,., n) 則稱則稱a為集合為集合x(chóng)的的覆蓋覆蓋。 設(shè)設(shè)a=a1, a2,. ,an是是x一個(gè)覆蓋一個(gè)覆蓋, 且且ai aj= (i j,1i,jn)則稱則稱a是是x的的劃分。劃分。每個(gè)每個(gè)ai均稱為均稱為 這個(gè)劃分的一個(gè)劃分塊這個(gè)劃分的一個(gè)劃分塊(類類)。 二. 等價(jià)類 我們經(jīng)常用等價(jià)關(guān)系對(duì)集合進(jìn)行劃分，得到的劃我們經(jīng)常用等價(jià)關(guān)系對(duì)集合進(jìn)行劃分，得到的劃 分塊稱之為等價(jià)類。分塊稱之

17、為等價(jià)類。 1.1.定義定義：r r是是a a上的等價(jià)關(guān)系，上的等價(jià)關(guān)系，aa,aa,由由a a確定的集確定的集 合合aar r: : a ar r=x|xar=x|xar 稱集合稱集合aar r為由為由a a形成的形成的r r等價(jià)類。簡(jiǎn)稱等價(jià)類。簡(jiǎn)稱a a等價(jià)類。等價(jià)類。 可見(jiàn)可見(jiàn) xa xar r r 上例，上例，a=1,2,3,4,5,6,7, r是是a上的模上的模3同余關(guān)系，同余關(guān)系， 1r r=1,4,7= 4r r = 7r r -余數(shù)為 余數(shù)為1的等價(jià)類的等價(jià)類 2r r=2,5= 5r r -余數(shù)為 余數(shù)為2的等價(jià)類的等價(jià)類 3r r=3,6= 6r r -余數(shù)為 余數(shù)為0的等

18、價(jià)類的等價(jià)類 思考題：思考題：此例為什么只有三個(gè)等價(jià)類？此例為什么只有三個(gè)等價(jià)類？ 從上述模從上述模3同余關(guān)系例子中，可以歸納出等價(jià)類的性質(zhì)：任同余關(guān)系例子中，可以歸納出等價(jià)類的性質(zhì)：任 何兩個(gè)等價(jià)類要么相等，要么不相交；那么在什么情況下何兩個(gè)等價(jià)類要么相等，要么不相交；那么在什么情況下 相等？那么在什么情況下不相交？相等？那么在什么情況下不相交？ 3.等價(jià)類性質(zhì)等價(jià)類性質(zhì) r是是a上等價(jià)關(guān)系，任意上等價(jià)關(guān)系，任意a,b,ca 同一個(gè)等價(jià)類中的元素，彼此有等價(jià)關(guān)系同一個(gè)等價(jià)類中的元素，彼此有等價(jià)關(guān)系r。 即任意即任意x,yaar r，必有，必有r 證明：任取證明：任取x,yaar r，由等價(jià)類

19、定義得，由等價(jià)類定義得，r, r ,由由r對(duì)稱得，對(duì)稱得，r，又由，又由r傳遞得傳遞得r。 aar rbbr r=， 當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng) r r。 證明證明:設(shè)設(shè) r r，假設(shè)假設(shè)aar rbbr r,則存在則存在xaar rbbr r， xaar rxbbr r,r ,r,由由r對(duì)稱得對(duì)稱得 r又由又由r傳遞得傳遞得r,產(chǎn)生矛盾。產(chǎn)生矛盾。 若若aar rbbr r=,而而r,由等價(jià)類定義得由等價(jià)類定義得baar r, 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閎rb,所以所以bbbr r，所以，所以baar rbbr r，產(chǎn)生矛盾。，產(chǎn)生矛盾。 aar r=bbr r 當(dāng)且 當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng) r r。 證明：若證明：若r r

20、，則任何，則任何xxaar r，有，有rr，由對(duì)，由對(duì) 稱性得稱性得rr，再由傳遞性得，再由傳遞性得r,xr,xbbr r， 所以所以 aar r bbr r。 類似可證類似可證bbr r aar r。 aar r=bbr r。 如果如果aar r=bbr r，由于有，由于有ara,所以所以aaar r ， abbr r ， 所以有所以有r r，由對(duì)稱性得，由對(duì)稱性得r.r. .a.a中任何元素中任何元素a,aa,a必屬于且僅屬于一個(gè)等價(jià)類。必屬于且僅屬于一個(gè)等價(jià)類。 證明：證明：a a中任何元素中任何元素a,a,由于有由于有ara,所以所以aaar r ，如果，如果 abbr r ，所以有，

21、所以有r.r.由性質(zhì)得由性質(zhì)得aar r=bbr r 。 。 . .任意兩個(gè)等價(jià)類任意兩個(gè)等價(jià)類 aar r、bbr r， 要么要么aar r=bbr r ，要么 ，要么aar rbbr r= 。 (因?yàn)橐匆驗(yàn)橐磖 r，要么要么 r r。) ) r的所有等價(jià)類構(gòu)成的集合是的所有等價(jià)類構(gòu)成的集合是a的一個(gè)劃分。的一個(gè)劃分。 (由性質(zhì)即得。由性質(zhì)即得。) (這個(gè)劃分稱之為這個(gè)劃分稱之為商集商集) 三. 商集 “商商”和除法有關(guān)，比如把和除法有關(guān)，比如把一塊蛋糕一塊蛋糕平均分成四份，從平均分成四份，從 兩種不同的角度看這件事：兩種不同的角度看這件事： 從算術(shù)角度看從算術(shù)角度看：1用用4除除,每份

22、每份1/4,這就是這就是“商商”,于是于是: 1=1/4+1/4+1/4+1/4 從集合角度看從集合角度看： 集合集合a用模用模3同余關(guān)系同余關(guān)系r劃分，得到三個(gè)等價(jià)類，所以劃分，得到三個(gè)等價(jià)類，所以 a 1,4,7,2,5,3,6=11r r,22r r,33r r-商集商集 定義定義：r是是a上等價(jià)關(guān)系，由上等價(jià)關(guān)系，由r的所有等價(jià)類構(gòu)成的集合的所有等價(jià)類構(gòu)成的集合 稱之為稱之為a關(guān)于關(guān)于r的商集。記作的商集。記作a/r。即。即 a/r=aar r |aa 用刀分 用r分 生日 日 快 快 樂(lè) 樂(lè) 生 四.偏序集中的重要元素 在格和布爾代數(shù)中，要用到下面一些術(shù)語(yǔ)。在格和布爾代數(shù)中，要用到下

23、面一些術(shù)語(yǔ)。 設(shè)設(shè)是偏序集，是偏序集，b是是a的非空子集。的非空子集。 一一. .極小元與極大元極小元與極大元 y是是b的極小元的極小元y(ybx(xbxyxy) ( (在在b b中沒(méi)有比中沒(méi)有比y y更小的元素了，更小的元素了，y y就是就是極小元極小元) ) 舉例舉例，給定，給定的的hasse圖如圖所示：圖如圖所示： 從從hasse圖找圖找 極小極小(大大)元：元： 。 。 。 12。 。 24。36。 2, 32, 3 12, 3 6 24 124,36 子集子集b 極小元極小元極大元極大元 2,3 1,2,3 6,12,24 c y是是b的極大元的極大元y(ybx(xbxyyx) (

24、(在在b b中沒(méi)有比中沒(méi)有比y y更大的元素了，更大的元素了，y y就是就是極大元極大元) ) 子集中處在最下子集中處在最下 (上上)層的元素是層的元素是 極小極小(大大)元。元。 二二. .最小元與最大元最小元與最大元 y是是b的最小元的最小元y(yb x(xb yx) ( (最小元最小元y y是是b b中元素，該元素比中元素，該元素比b b中所有元素都小中所有元素都小) ) 舉例舉例，給定，給定的的hasse圖如圖所示：圖如圖所示： 從從hasse圖找最小圖找最小(大大)元：元： 。 。 。 12。 。 24。36。 無(wú)無(wú)無(wú)無(wú) 1無(wú)無(wú) 6 24 1無(wú)無(wú) 子集子集b 最小元最小元最大元最大元

25、 2,3 1,2,3 6,12,24 c y是是b的最大元的最大元y(yb x(xb xy) (最大元最大元y y是是b b中元素，該元素比中元素，該元素比b b中所有元素都大中所有元素都大) ) 子集中如果只有唯子集中如果只有唯 一的極小一的極小(大大)元，元， 則這個(gè)極小則這個(gè)極小(大大)元，元， 就是最小就是最小(大大)元。元。 否則就沒(méi)有最小否則就沒(méi)有最小 (大大)元。元。 下面介紹下面介紹最小最小(大大)元的唯一定理。元的唯一定理。 3.3.上界與下界上界與下界 (upper bound and lower bound) y是是b的上界的上界y(ya x(xb xy) ( (上界上界

26、y y是是a a中元素，該元素比中元素，該元素比b b中所有元素都大中所有元素都大) ) 舉例舉例，給定，給定的的hasse圖如圖所示：圖如圖所示： 從從hasse圖找上圖找上(下下)界：界：注意注意是在是在a中找！中找！ 。 。 。 12。 。 24。36。 1 6,12,24,361 246,2,3,1 1無(wú)無(wú) 子集子集b上界上界下界下界 2,3 1,2,3 6,12,24 c 6,12,24,36 y是是b的下界的下界y(ya x(xb yx) ( (下界下界y y是是a a中元素，該元素比中元素，該元素比b b中所有元素都小中所有元素都小) ) 4. 4. 最小上界最小上界( (上確界

27、上確界) )和最大下界和最大下界( (下確界下確界) ) (least upper bound and greatest lower bound) (least upper bound and greatest lower bound) 定義定義： y是是b的上界，并且對(duì)的上界，并且對(duì)b的所有上界的所有上界x,都有都有yx,則則 稱稱y是是b的的最小上界最小上界( (上確界上確界) )，記作，記作lub b=y 。 ( (即即y y是上界中最小的。如果是上界中最小的。如果b b有上確界，則是唯一的有上確界，則是唯一的) ) 舉例舉例，給定，給定的的hasse圖如圖所示：圖如圖所示： 。 。 。

28、 12。 。 24。36。 子集b上界下界 2,3 1,2,3 6,12,24 c 1 6,12,24,36 1 241,2,3,6 1 無(wú) 6,12,24,36 上確界上確界 下確界下確界 6 6 24 無(wú) 1 1 6 1 y是是b的下界，并且對(duì)的下界，并且對(duì)b的所有下界的所有下界x,都有都有xy,則則 稱稱y是是b的的最大下界最大下界( (下確界下確界) )，記作，記作glb b=y 。 ( (即即y y是下界中最大的。如果是下界中最大的。如果b b有上確界，則是唯一的有上確界，則是唯一的) ) 四四. . 特殊函數(shù)特殊函數(shù) 1. 常值函數(shù)常值函數(shù)：函數(shù)：函數(shù)f:xy ，如果，如果 y0y

29、, 使得對(duì)使得對(duì) xx, 有有f(x)=y0 , 即即ran f=y0 ,稱稱f是常值函數(shù)。如上例的是常值函數(shù)。如上例的f1和和f8。 2.恒等函數(shù)恒等函數(shù)：恒等關(guān)系：恒等關(guān)系ix是是x到到x函數(shù)，即函數(shù)，即ix:xx,稱之稱之 為恒等函數(shù)。顯然對(duì)于為恒等函數(shù)。顯然對(duì)于 xx，有，有 ix(x)=x 。 五五 . .兩個(gè)函數(shù)相等兩個(gè)函數(shù)相等 設(shè)有兩個(gè)函數(shù)設(shè)有兩個(gè)函數(shù)f:ab g:cd, f=g 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a=c， b=d，且對(duì)任何，且對(duì)任何xa，有，有f(x)=g(x)。 即它們的定義域相等、陪域相等、對(duì)應(yīng)規(guī)律相同。即它們的定義域相等、陪域相等、對(duì)應(yīng)規(guī)律相同。 六六. . 函數(shù)的類型函數(shù)的類型 先看下面例子：先看下面例子： x1 y 。 。 。 。 。 1 2 3 a b 。 c s x y 。 。 。 。 。 1 2 3 a b 4 。 c g x1 y1 。 。 。 。