2021_2022學年新教材高中數(shù)學第8章立體幾何初步測評鞏固練習含解析新人教A版必修第二冊

1、第八章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.如圖所示,觀察四個幾何體,其中判斷正確的是()A.是棱臺B.是圓臺C.是棱錐D.不是棱柱解析:圖不是由棱錐截來的,所以不是棱臺;圖上下兩個面不平行,所以不是圓臺;圖前后兩個面平行,其他面是平行四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行,所以是棱柱;很明顯是棱錐.答案:C2.下列說法正確的是()A.圓錐的側面展開圖是一個等腰三角形B.棱柱即是兩個底面全等且其余各面都是矩形的多面體C.任何一個棱臺都可以補一個棱錐使它們組成一個新的棱錐D.通過圓臺側面上

2、一點,有無數(shù)條母線解析:圓錐的側面展開圖是一個扇形,A不正確;棱柱的側面只需是平行四邊形,所以B不正確;通過圓臺側面上一點,只有一條母線,所以D不正確;C任何一個棱臺都可以補一個棱錐使它們組成一個新的棱錐是正確的.答案:C3.下列說法正確的是()A.都與直線a相交的兩條直線確定一個平面B.兩條直線確定一個平面C.過一條直線的平面有無數(shù)多個D.兩個相交平面的交線是一條線段解析:當這兩條直線異面時不能確定平面,A錯誤.兩條直線異面,則不能確定平面,B錯誤.兩個相交平面的交線是一條直線,D錯誤.答案:C4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中點,則直線CE垂直于()A.

3、ACB.BDC.A1DD.A1D1解析:CE平面ACC1A1,BDAC,BDAA1,BD平面ACC1A1,BDCE.答案:B5.如圖,在四面體中,若直線EF和GH相交,則它們的交點一定()A.在直線DB上B.在直線AB上C.在直線CB上D.在直線AC上解析:EF與GH相交,設EFGH=M,MEF,MGH.又EF平面ABD,GH平面BCD,M平面ABD,M平面BCD.又平面ABD平面BCD=BD,MBD,故選A.答案:A6.如圖所示,古希臘數(shù)學家阿基米德的墓碑文,墓碑上刻著一個圓柱,圓柱內有一個內切球,這個球的直徑恰好與圓柱的高相等,相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn).如圖所示,圓柱的

4、體積與球的體積的比值和圓柱的表面積與球的表面積的比值分別為()A.32,1B.23,1C.32,32D.23,32解析:設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.故V圓柱=R22R=2R3,V球=43R3,V圓柱V球=2R343R3=32.S圓柱=2R2R+2R2=6R2,S球=4R2,S圓柱S球=6R24R2=32.故選C.答案:C7.如圖所示,等腰三角形ABC是ABC的直觀圖,那么ABC是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.鈍角三角形解析:由題圖知ACy軸,ABx軸,由斜二測畫法知,在ABC中,ACy軸,ABx軸,所以ACAB.又因為AC=AB,所以AC=2ABAB

5、,故選B.答案:B8.已知m,n是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列命題正確的是()A.若,垂直于同一平面,則與平行B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行C.若,不平行,則在內不存在與平行的直線D.若m,n不平行,則m與n不可能垂直于同一平面解析:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ADD1A1,平面ABB1A1都垂直于平面ABCD,但這兩個平面不平行,A錯;直線A1D1和A1B1都平行于平面ABCD,但這兩條直線不平行,B錯;平面ADD1A1與平面ABCD不平行,但平面ADD1A1內的直線A1D1與平面ABCD平行,C錯;D顯然正確,故選D.答案:D9.已知A,B是球O的

6、球面上兩點,AOB=90,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()A.36B.64C.144D.256解析:本題主要考查空間幾何體.設球O的半徑為R,則SAOB=12R2,當OC平面AOB時,三棱錐O-ABC的體積最大,此時V=1312R2R=36,解得R=6,所以球O的表面積為S=4R2=144.答案:C10.算術書竹簡于20世紀80年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的又系統(tǒng)的數(shù)學典著,其中記載有求“囷蓋”的術:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.該術相當于給出圓錐的底面周長l與高h,計算其體積V的近似公式V=136l2h,它實際上是

7、將圓錐體積公式中的圓周率近似取3,那么近似公式V25942l2h相當于將圓錐體積公式中的近似取()A.227B.258C.15750D.355113解析:V=13r2h=13l22h=112l2h,由11225942,得15750,故選C.答案:C11.已知平面平面,=l,在l上取線段AB=4,AC,BD分別在平面和平面內,且ACAB,DBAB,AC=3,BD=12,則CD的長度為()A.13B.151C.123D.15解析:如圖,連接AD.,AC,DB.在RtABD中,AD=AB2+BD2=42+122=160.在RtCAD中,CD=AC2+AD2=32+160=13.答案:A12.已知平面

8、過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.32B.22C.33D.13解析:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1的上方接一個同等大小的正方體ABCD-A2B2C2D2,則過A與平面CB1D1平行的是平面AB2D2,即平面就是平面AB2D2,平面AB2D2平面ABB1A1=AB2,即直線n就是直線AB2,易知平面ABCD平面A2B2C2D2,由面面平行的性質定理知直線m平行于直線B2D2,故m,n所成的角就等于AB2與B2D2所成的角,在等邊三角形AB2D2中,AB2D2=60,故其正弦值為32.故選A

9、.答案:A二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案寫在題中的橫線上)13.現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5,高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個.若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為.解析:設新的底面半徑為r,則13524+228=13r24+r28,即283r2=1003+32,解得r=7.答案:714.若圓臺的母線長擴大到原來的n倍,兩底面半徑都縮小為原來的1n,則它的側面積為原來的倍.解析:設改變之前圓臺的母線長為l,上底半徑為r,下底半徑為R,則側面積為(r+R)l,改變后圓臺的母線長為nl,上底半徑為rn

10、,下底半徑為Rn,則側面積為r+Rnnl=(r+R)l,故它的側面積為原來的1倍.答案:115.在空間四邊形ABCD中,AD=BC=2,E,F分別是AB,CD的中點,EF=3,則異面直線AD與BC所成角的大小為.解析:如圖,取AC的中點M,連接EM,FM,F為DC的中點,M為AC的中點,則FMAD,且FM=12AD=1,同理EMBC且EM=12BC=1.圖圖如圖,在EMF中,作MNEF于點N.在RtMNE中,EM=1,EN=32,因此sinEMN=32,EMN=60,EMF=120,所以AD與BC所成角為60.答案:6016.,是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:如果mn,m,n,那

11、么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有.(填序號)解析:對于,mn,m,n,則,的位置關系無法確定,故錯誤;對于,因為n,所以可過直線n作平面與平面相交于直線c,則nc,又因為m,所以mc,所以mn,故正確;對于,由兩個平面平行的性質可知其正確;對于,由線面所成角的定義可知其正確.故正確的有.答案:三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分10分)如圖(單位:cm),求圖中陰影部分繞AB旋轉一周所形成的幾何體的表面積和體積.解:由題意知,所求旋轉體的表面積由三部分組成:圓臺

12、下底面、側面和一半球面.S半球=8,S圓臺側=35,S圓臺底=25.故所求幾何體的表面積為68cm2,由V圓臺=13(22+2252+52)4=52,V半球=432312=163,所以所求幾何體的體積為V圓臺-V半球=52-163=1403(cm3).18.(本小題滿分12分)如圖,在梯形ABCD中,ABCD,E,F是線段AB上的兩點,且DEAB,CFAB,AB=12,AD=5,BC=42,DE=4.現(xiàn)將ADE,CFB分別沿DE,CF折起,使A,B兩點重合于點G,得到多面體CDEFG.(1)求證:平面DEG平面CFG;(2)求多面體CDEFG的體積.(1)證明:由已知可得AE=3,BF=4,則

13、折疊完后EG=3,GF=4,又因為EF=5,所以可得EGGF.因為CF底面EGF,所以可得CFEG,因為GFCF=F,所以EG平面CFG,又因為EG平面DEG,所以平面DEG平面CFG.(2)解:過點G作GO垂直于EF,GO即為四棱錐G-EFCD的高,所以所求體積為13S長方形DEFCGO=1345125=16.19.(本小題滿分12分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別為AB,BC的中點,點F在側棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求證:(1)直線DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.證明:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在AB

14、C中,因為D,E分別為AB,BC的中點,所以DEAC,于是DEA1C1.又因為DE平面A1C1F,A1C1平面A1C1F,所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1,因為A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因為A1C1A1B1,AA1平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,且A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因為B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因為B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因為B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A

15、1C1F.20.(本小題滿分12分)如圖所示,正方體的棱長為1,BCBC=O,求:(1)AO與AC所成角的度數(shù);(2)AO與平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù).解:(1)ACAC,AO與AC所成的角就是OAC.在正方體AC中,AB平面BC,OCAB.又OCOB,且ABOB=B,OC平面ABO.OA平面ABO,OCOA.在RtAOC中,OC=22,AC=2,sinOAC=OCAC=12,OAC=30.即AO與AC所成角的度數(shù)為30.(2)如圖所示,作OEBC于點E,連接AE.平面BC平面ABCD,OE平面ABCD,OAE為OA與平面ABCD所成的角.在RtOAE

16、中,OE=12,AE=12+(12)2=52,tanOAE=OEAE=55.(3)OCOA,OCOB,OAOB=O,OC平面AOB.又OC平面AOC,平面AOB平面AOC.即平面AOB與平面AOC所成角的度數(shù)為90.21.(本小題滿分12分)如圖所示,在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中,D1D平面ABCD,底面ABCD是平行四邊形,AB=2AD,AD=A1B1,BAD=60.(1)證明:AA1BD;(2)證明:CC1平面A1BD.證明:(1)AB=2AD,BAD=60,BDAD.又D1D平面ABCD,D1DDB.又ADD1D=D,BD平面A1ADD1,AA1BD.(2)如圖,連接AC,A1C

17、1,AC交BD于點O,連接A1O.四棱臺底面ABCD是平行四邊形,OC=12AC,由棱臺定義及AB=2AD=2A1B1知A1C1OC且A1C1=OC,四邊形A1OCC1為平行四邊形.C1CA1O.又A1O平面A1BD,C1C平面A1BD,CC1平面A1BD.22.(本小題滿分12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD.E為棱AD的中點,異面直線PA與CD所成的角為90.(1)在平面PAB內找一點M,使得直線CM平面PBE,并說明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小為45,求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.解:(1)在梯形ABCD中,AB與CD不平行.延長AB,DC,相交于點M(M平面PAB),點M即為所求的一個點.理由如下:由題意知,BCED,且BC=ED,所以四邊形BCDE是平行四邊形,從而CMEB.又因為EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面PBE.(2)已知CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.因為PD平