數(shù)學(xué)22223獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

1、新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 2 2.3獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 第二 章 2.2 二項(xiàng) 分布 及其 應(yīng)用 2.2.3 獨(dú)立 重復(fù) 試驗(yàn) 與二 項(xiàng)分 布 名師課堂一點(diǎn)通 創(chuàng)新演練大沖關(guān) 課前預(yù)習(xí)巧設(shè)計(jì) 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 讀教材填要點(diǎn) 1n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概念 在條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù) 試驗(yàn) 相同 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量

2、及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 2二項(xiàng)分布 在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在 每次試驗(yàn)中事件 A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重 復(fù)試驗(yàn)中，事件 A恰好發(fā)生k次的概率為 ，k0,1,2，n.此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量 X服從二 項(xiàng)分布，記作 X ，并稱(chēng)p為 P(Xk)Ck n p k(1 p)n k B(n，p) 成功概率 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 小問(wèn)題大思維 1在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互有影 響嗎？ 提示：在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，各次試驗(yàn)的結(jié)果相 互間無(wú)影響因?yàn)槊看卧囼?yàn)是在相同條件下獨(dú)立進(jìn) 行的 新課標(biāo)人教A版 選修2-3

3、第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 2二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布的關(guān)系是什么？ 提示：二項(xiàng)分布是指n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好 發(fā)生k次的概率分布列，需要在相同條件下做n次試 驗(yàn)，兩點(diǎn)分布指的是一次試驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果的概率分 布兩者的含義不同，將兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)進(jìn)行n次， 恰好發(fā)生k次的概率分布就成了二項(xiàng)分布 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 例1 某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的 概率為 3 5 ，且每次射擊的結(jié)果互不影響，已知射手射擊了 5次，求： (1) 其中只在第一

4、、三、五次擊中目標(biāo)的概率； (2) 其中恰有 3次擊中目標(biāo)的概率； (3) 其中恰有 3次連續(xù)擊中目標(biāo)，而其他兩次沒(méi)有擊中目 標(biāo)的概率 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 自主解答 (1) 該射手射擊了 5次，其中只在第一、三、五 次擊中目標(biāo)，是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo) 3次，也就是在第 二、四次沒(méi)有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又因?yàn)楦鞔紊?擊的結(jié)果互不影響，故所求概率為 P 3 5 (1 3 5 )3 5 (1 3 5 ) 3 5 108 3 125 ； 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 (2) 該射手射擊了 5次，

5、其中恰有3次擊中目標(biāo)根據(jù)排列 組合知識(shí)，5次當(dāng)中選 3次，共有C3 5種情況，因?yàn)楦鞔紊鋼?的結(jié)果互不影響，所以符合 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率模型故 所求概率為 PC3 5( 3 5 )3(13 5 )2216 625 ； 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 (3) 該射手射擊了 5次， 其中恰有3次連續(xù)擊中目標(biāo)， 而其他 兩次沒(méi)有擊中目標(biāo)，應(yīng)用排列組合知識(shí)，把 3次連續(xù)擊中目 標(biāo)看成一個(gè)整體可得共有 C1 3種情況 故所求概率為 PC1 3( 3 5 )3(1 3 5 )2 324 3 125 . 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第3

6、8中學(xué)張全剛 保持例題條件不變，求3次擊中目標(biāo)且恰有2次連續(xù) 命中的概率？ 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 解：5次射擊 3次擊中目標(biāo)且恰有2次連續(xù)命中的情況有 A2 36種情況故所求概率為 PA 2 3( 3 5 )3(1 3 5 )2 648 3 125 . 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是正確設(shè)出獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的事 件 A，接著分析隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，若服從，利 用公式 P(Xk)Ck np k(1 p)n k 計(jì)算便可 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第

7、38中學(xué)張全剛 1在人壽保險(xiǎn)事業(yè)中，很重視某一年齡段的投保人的 死亡率，假如每個(gè)投保人能活到65歲的概率為0.6， 試問(wèn)3個(gè)投保人中： (1) 全部活到65歲的概率； (2) 有2個(gè)活到65歲的概率； (3) 有1個(gè)活到65歲的概率； (4) 都活不到65歲的概率 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 解：設(shè) A投保人能活到65歲， 則A投保人活不到 65歲，P(A)p0.6 ， 所以 P(A)1p10.6 0.4. 3個(gè)投保人中活到65歲的人數(shù)X相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中事件 A發(fā)生的次數(shù)，則XB(3,0.6) 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其

8、分布 成都市第38中學(xué)張全剛 (1) P(X3)C3 30.6 3 (10.6) 0 0.216； (2) P(X2)C2 30.6 2 (10.6) 1 0.432； (3) P(X1)C1 30.6 1 (10.6) 2 0.288； (4) P(X0)C0 30.6 0 (10.6) 3 0.064. 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 例2 如果袋中有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，從中任取1球， 記住顏色后放回，連續(xù)抽取4次，設(shè)X為取得紅球的次 數(shù)求X的概率分布 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 自主解答 采用有放回的

9、取球，每次取得紅球的概率都 相等，均為 3 5 ； 取得紅球次數(shù) X可能取的值為0,1,2,3,4. 由以上分析，知隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布， P(Xk)Ck 4 ? ? ? ? ? ? 3 5 k ? ? ? ? ? ? 13 5 4k(k 0,1,2,3,4) 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 隨機(jī)變量 X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 16 625 96 625 216 625 216 625 81 625 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 二項(xiàng)分布中“ Xk” 表示在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件 恰好發(fā)生

10、k次，其特點(diǎn)是：一次試驗(yàn)中只有兩種可能 結(jié)果；事件在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率相等；隨機(jī)變 量X只取有限個(gè)實(shí)數(shù) 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 2甲、乙兩人約定以“五局三勝”制進(jìn)行乒乓球比賽， 比賽沒(méi)有平局設(shè)甲在每局中獲勝的概率為 2 3 ，且各局 勝負(fù)相互獨(dú)立已知比賽中，乙贏了第一局比賽 (1) 求甲獲勝的概率；(用分?jǐn)?shù)作答) (2) 設(shè)比賽總的局?jǐn)?shù)為 ，求的分布列 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 解：(1)甲獲勝的概率 P? ? ? ? ? ? 2 3 3 C 1 31 3 ? ? ? ? ? ? 2 3 3 1

11、6 27 . (2) 由題意知，3,4,5 P(3) ? ? ? ? ? ? 1 3 2 1 9 ， P(4) ? ? ? ? ? ? 2 3 3 C1 2 2 3 ? ? ? ? ? ? 1 3 2 4 9 ， 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 P(5) C23 ? ? ? ? ? ? 2 3 2 ? ? ? ? ? ? 1 3 2 C1 31 3 ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 9 . 的分布列為： 3 4 5 P 1 9 4 9 4 9 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 例3 某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供

12、財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)， 以 提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加 一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知有60%的下 崗人員參加過(guò)財(cái)會(huì)培訓(xùn)，有 75%的下崗人員參加過(guò)計(jì)算機(jī) 培訓(xùn) 假設(shè)每名下崗人員對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的， 且各人的選擇相互之間沒(méi)有影響 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 (1) 任選 1名下崗人員，求該人員參加過(guò)培訓(xùn)的概率； (2) 任選 3名下崗人員， 記為這3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人 數(shù)，求 的分布列 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 自主解答 任選1名下崗人員，記“該人員參加過(guò)財(cái)會(huì)培

13、 訓(xùn)”為事件 A，“該人員參加過(guò)計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件B， “該人員參加過(guò)培訓(xùn)”為事件 C，由題設(shè)知，事件A與B 相互獨(dú)立，且 P(A)0.6 ，P(B)0.75. 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 (1) 法一：P(C)P(A B )P(A )P(B )(1 0.6)(10.75) 0.1. 所以該人員參加過(guò)培訓(xùn)的概率是 P(C)1P(C )10.1 0.9. 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 法二：任選 1名下崗人員，該人員只參加過(guò)一項(xiàng)培訓(xùn)的概率 是 P(AB )P(A B)0.6 (10.75)(10.6)0.7

14、50.45. 該人員參加過(guò)兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是 P(AB)0.6 0.750.45. 所以該人員參加過(guò)培訓(xùn)的概率是 P(C)P(AB )P(A B) P(AB)0.45 0.450.9. 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 (2) 因?yàn)槊棵聧徣藛T對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的， 所以 3人中參加過(guò)培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布B(3 ，0.9)，P( k)Ck 30.9 k 0.1 3k ，k0,1,2,3，故 的分布列是 0 1 2 3 P 0.001 0.027 0.243 0.729 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 解決

15、此類(lèi)問(wèn)題首先判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布： 一般地，如果幾個(gè)相互獨(dú)立的試驗(yàn)具備相同的條件， 在這 相同的條件下只有兩個(gè)結(jié)果 (A 和A )，且P(A)相同，那么 即可建立二項(xiàng)分布的概率模型；其次計(jì)算 P(k)C k np k(1 p)n k，k 0,1,2，n；最后根據(jù)每次試驗(yàn)都是相互獨(dú) 立的，求出相應(yīng)的概率即可 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 3某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18 、19、20層 可以?？咳粼撾娞菰诘讓虞d有 5位乘客，且每位乘客在 這三層的每一層下電梯的概率均為 1 3 ，用 X表示這5位乘 客在第 20層下電梯的人數(shù)，求隨機(jī)變

16、量X的分布列 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 解：可視一位乘客是否在 20層下電梯為一次試驗(yàn)，相當(dāng)于 做了 5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故XB(5 ，1 3 )，即有 P(Xk)Ck 5( 1 3 )k( 2 3 )5 k ，k0,1,2,3,4,5.從而，X的分布列為： X 0 1 2 3 4 5 P 32 243 80 243 80 243 40 243 10 243 1 243 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 有 10臺(tái)都為7.5千瓦的機(jī)床， 如果每臺(tái)機(jī)床的使用情況是相 互獨(dú)立的，且每臺(tái)機(jī)床平均每小時(shí)開(kāi)動(dòng) 12 min ，問(wèn)全部機(jī)床 用電超過(guò) 48千瓦的可能性有多大？(保留兩位有效數(shù)字) 巧思 由于每臺(tái)機(jī)床正常工作的概率為 12 60 0.2，而且每臺(tái) 機(jī)床都只有“工作”與“不工作”兩種情況，故某一時(shí)刻正 常工作的機(jī)床臺(tái)數(shù)服從二項(xiàng)分布 新課標(biāo)人教A版 選修2-3第二章隨機(jī)變量及其分布 成都市第38中學(xué)張全剛 妙解 設(shè)X 為某一時(shí)刻正常工作的機(jī)床的臺(tái)數(shù)，則 X B(10,0.2) ，P(X