初三數(shù)學(xué)九年級數(shù)學(xué)一元二次方程復(fù)習(xí)課復(fù)習(xí)

1、第二章第二章一元二次方程復(fù)習(xí)課一元二次方程復(fù)習(xí)課 本章知識網(wǎng)絡(luò) 概念:-一般形式:ax2+bx+c=0(a0) 直接開平方法:x2=p(p0) (mx+n)2=p(p0) 解法配方法 公式法: 因式分解法:(ax+b)(cx+d)=0 判別式:b2-4ac=0 判別式不解方程,判別方程根的情況, 用處求方程中待定常數(shù)的值或取值范圍, 進行有關(guān)的證明, 關(guān)系: x1+x2=-b/a x1.x2=c/a 已知方程的一個根,求另一個根及字母的值, 根與系數(shù)的關(guān)系求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值, 用處求作一元二次方程, 已知兩數(shù)的和與積,求此兩數(shù) 判斷方程兩根的特殊關(guān)系, 實際問題與一元二次方程:審,設(shè)

2、,列.解,驗,答, 1.一元二次方程的概念 只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2的整 式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式 一般地,任何一個關(guān)于x的一元二次方程都可以 化為的形式,我們把 (a,b,c為常數(shù)，a0）稱為 一元二次方程的一般形式 。 2 0axbx c? 2 0axbx c? x + x -20 = 0 2 觀察方程觀察方程 等號兩邊都是整式 只含有一個未知數(shù)只含有一個未知數(shù) 未知數(shù)的最高次數(shù)是2次 特征如下：特征如下： 有何特征？有何特征？ (1) 2x = y 2 - 1 (3) x 2 - 3 = 0 2 x (4) 3z 2 +1 = z (2z

3、2 -1) (5) x 2 = 0 結(jié)論：以上方程中(2)、(5)、(6)是一元二次方程 (6) ( x+ 2) 2 = 4 3 3 )2( 2 ? y y 請判斷下列方程是否為一元二次方程： 一元二次方程的解法 1.因式分解法。 2.開平方法。 3.配方法。 4.公式法 ）或，則若000( ?BABA 的形式或（化成 baxax? 22 ) 1.把二次項,一次項移到等號左邊,常數(shù)項移到等號右邊。 2.兩邊同加上一次項系數(shù)一半的平方。 a acbb xacb 2 4 ,04 2 2 ? ? 若 則方程無實數(shù)根若, 04 2 ? acb 1.直接開平方法 ? 對于形如ax2=p(p0)或(mx+

4、n )2=p(po)的方程可 以用直接開平方法解 2.配方法 用配方法解一元二次方程的 步驟: ? 1.化1:把二次項系數(shù)化為1(方程兩邊都除以二次項 系數(shù)); ? 2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊 ; ? 3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù) 絕對值一半的 平方; ? 4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類; ? 5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方; ? 6.求解:解一元一次方程; ? 7.定解:寫出原方程的解. ? 我們通過配成完全平方式的方法,得到了一元 二次方程的根,這種解一元二次方程的方法稱為 配方法 3.公式法 ? 一般地,對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0) ? .0

5、4. 2 4 2 2 ? ? ?acb a acbb x ? 上面這個式子稱為一元二次方程的求根公式 . ? 用求根公式解一元二次方程的方法稱為 公式法( :,04 2 它的根是時當(dāng) ? acb ? 老師提示: ? 用公式法解一元二次方程的前提是: ? 1.必需是一般形式的一元二次方程 : ax2+bx+c=0(a0). ? 2.b 2-4ac0. 公式法是這樣生產(chǎn)的 ? 你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a0)嗎? 心動不如行動 . 0: 2 ? a c x a b x 解 . 2 4 2 2 a acb a b x ? ? . 22 22 2 a c a b a b x a b x?

6、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 4 4 2 2 2 2 a acb a b x ? ? ? ? ? ? ? ? ? .04. 4 2 2 ? ? ?acb acbb x . 2 a c x a b x? ? 1.化1:把二次項系數(shù)化為1; ? 3.配方:方程兩邊都加上一次項 系數(shù)絕對值一半的平方; ? 4.變形:方程左分解因式, 右邊合并同類; ? 5.開方:根據(jù)平方根意義, 方程兩邊開平方; ? 6.求解:解一元一次方程; ? 7.定解:寫出原方程的解. ? 2.移項:把常數(shù)項移到方程的右邊; ,04 2 時當(dāng) ? acb 4.分解因式法 ? 當(dāng)一元二次方程的一邊是 0

7、,而另一邊易于分解成兩 個一次因式的乘積時 ,我們就可以用分解因式的方法 求解.這種用分解因式解一元二次方程的方法稱為 分 解因式法. ? 老師提示: ? 1.用分解因式法的條件是:方程左邊易于分解,而右 邊等于零; ? 2. 關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的知識 ; ? 3.理論依舊是“如果兩個因式的積等于零 ,那么至少 有一個因式等于零 .” (y+ )(y-)=2(2y-3) 3t(t+2)=2(t+2) x2=4 x-11 (x+101) 2-10(x+101)+9=0 22 3 比一比，看誰做得快：比一比，看誰做得快： ? 我們知道:代數(shù)式b2-4ac對于方程的根起著關(guān)鍵的作用 . 一元二次

8、方程的根的判別式 . 2 4 2 2, 1 a acbb x ? ? ? 有兩個不相等的實數(shù)根方程時當(dāng)00,04 22 ?acbxaxacb ? :00,04 22 有兩個相等的實數(shù)根方程時當(dāng) ?acbxaxacb . 2 2, 1 a b x? ? 沒有實數(shù)根方程時當(dāng)00,04 22 ?acbxaxacb ? .4. 004 2 22 acb acbxaxacb ? ? 即來表示用根的判別式 的叫做方程我們把代數(shù)式 若方程有兩個 不相等的實數(shù)根,則b2-4ac0 回顧與反思 判別式逆定理 若方程有兩個 相等的實數(shù)根,則b2-4ac=0 若方程沒有實數(shù)根 ,則b2-4ac 0 若方程有兩個 實

9、數(shù)根,則b2-4ac0 判別式的用處 ? 1.不解方程.判別方程根的情況, ? 2.根據(jù)方程根的情況,確定方程中待定常數(shù) 的值或取值范圍, ? 3.進行有關(guān)的證明, 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 設(shè)x1,x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0 （a0） 的兩個根,則有 x1+x2=, x1x2=.a b ? a c 解應(yīng)用題 ? 列方程解應(yīng)用題的一般步驟是: ? 1.審:審清題意:已知什么,求什么?已,未知之間有什么關(guān)系? ? 2.設(shè):設(shè)未知數(shù),語句要完整,有單位(同一)的要注明單位; ? 3.列:列代數(shù)式,列方程; ? 4.解:解所列的方程; ? 5.驗:是否

10、是所列方程的根;是否符合題意; ? 6.答:答案也必需是完事的語句,注明單位且要貼近生活. ? 列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵是: ? 找出相等關(guān)系. 回顧與復(fù)習(xí)5 解:設(shè)底邊邊長應(yīng)增加 xcm, 由題意,可列出方程_ 1 、如圖,禮品盒高為10cm,底面為正方形,邊長為4cm, 若保持盒子高度不變 ,問底邊邊長應(yīng)增加多少厘米才能 使其體積增加200cm 3 ? 10(x+4) 2=1042+200 80cm 50cm x x x x 2 2、在一幅長、在一幅長80cm80cm，寬，寬50cm50cm的矩形風(fēng)景畫的四周的矩形風(fēng)景畫的四周 鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，鑲一條金色紙邊，制成一

11、幅矩形掛圖，如圖所示， 如果使整個掛圖的面積是如果使整個掛圖的面積是 5400cm5400cm 2 2，設(shè)金邊的寬為 ，設(shè)金邊的寬為xcmxcm， 則列出的方程是則列出的方程是. .（80+2x）（）（50+2x50+2x）=5400=5400 2.幾何與方程 ? 例1 .一塊長方形草地的長和寬分別為20cm和 15cm,在它的四周外圍環(huán)繞著寬度相等的小路.已 知小路的面積為246cm2,求小路的寬度. 得根據(jù)題意設(shè)小路的寬度解,: xm ? .2461525215)220(?xx :整理得 ).,( 2 41 ; 3 21 舍去不合題意 ?xx , 0123352 2 ?xx :解得 .3:

12、m小路的寬度為答 20 1 5 1 5 + 2 x 20+2x 幾何與方程 ?例2. 如圖,在一塊長92m,寬60m的矩形 耕地上挖三條水渠,水渠的寬度都相等. 水渠把耕地分成面積均為 885m2的6個 矩形小塊,水渠應(yīng)挖多寬. 得根據(jù)題意設(shè)水渠的寬度解,: xm ? .885660)292(?xx :整理得 ).,(105; 1 21 舍去不合題意 ?xx , 0105106 2 ?xx :解得 .1:m水渠的寬度為答 幾何與方程 ?例3. 將一條長為56cm的鐵絲剪成兩段,并把每一段圍成 一個正方形. ?(1).要使這兩個正方形的面積之和等于 100cm 2,該怎樣剪? ?(2).要使這兩

13、個正方形的面積之和等于 196cm 2,該怎樣剪? ?(3).這兩個正方形的面積之和可能等于 200m 2嗎? ? 得根據(jù)題意設(shè)剪下的一段為解,.2: xcm .100 4 56 ) 4 ( 2 2 ? ? ? ? ? ? ? xx :整理得 , 056 2 ?xx :解得 ? .,0,56 21 舍去不合題意 ?xx .196,: 2 cm 面積能等于可圍成一個正方形的其不剪答 ? 例2.某公司計劃經(jīng)過兩年把某種商品的生產(chǎn)成本降低 19%，那么平均每年需降低百分之幾? 增長率與方程 02 5 03 0: 2 ? xx 整理得得解這個方程 , 得根據(jù)題意分?jǐn)?shù)為設(shè)每年平均需降低的百解,: x %

14、.191)1 ( 2 ?x :解這個方程 ).,(9 . 01%;109 . 01 21 舍去不合題意 ?xx ,81. 0)1 ( 2 ? x , 9 . 0)1 (?x , 9 . 0 1? ? x %.10:數(shù)為每年平均需降低的百分答 ? 例1.一次會議上,每兩個參加會議的人都互相握了一 次手,有人統(tǒng)計一共握了 66 次手.這次會議到會的人數(shù) 是多少? 4.美滿生活與方程 得根據(jù)題意設(shè)這次到會的人數(shù)為解,: x ? .66 2 1 ? ?xx :整理得 ).,(0 2 231 ;12 2 231 21 舍去不合題意 ? ? ? ? ?xx . 0132 2 ? xx :解得 , 2 23

15、1 2 5291? ? ? ? x .12:人這次到會的人數(shù)為答 思考(09年廣東中考)（本題滿分9分） 某種電腦病毒傳播非?？欤绻?一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就 會有81臺電腦被感染請你用學(xué)過的 知識分析，每輪感染中平均一臺電腦 會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效 控制，3輪感染后，被感染的電腦會 不會超過700臺？ ? 例.某果園有100棵桃樹,一棵桃樹平均結(jié)1000個桃子,現(xiàn)準(zhǔn) 備多種一些桃樹以提高產(chǎn)量 .試驗發(fā)現(xiàn),每多種一棵桃樹,每 棵棵桃樹的產(chǎn)量就會減少 2個.如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那 么應(yīng)種多少棵桃樹? 5.經(jīng)濟效益與方程 得根據(jù)題意棵設(shè)多種桃樹解,: x ? .%2 .

16、1511000100) 1 21000)(100(? x x . 0760040: 2 ?xx 整理得 得解這個方程, .380,20 21 ?xx .38020:棵棵或應(yīng)多種桃樹答 3、黨的十六大提出全面建設(shè)小康社會，加快推進社會 主義現(xiàn)代化，力爭國民生產(chǎn)總值到 2020年比2000年翻 兩番。本世紀(jì)的頭二十年（ 2001年2020年），要實 現(xiàn)這一目標(biāo)，以十年為單位，設(shè)每個十年的國民生產(chǎn) 總值的增長率都是 x，那么x滿足的方程為（） A、(1+x) 2=2 B、(1+x) 2=4 C、1+2x=2D、（1+x）+2（1+x)=4 B 關(guān)鍵是理解“翻兩番”是原來的4 倍，而不是原來的2 倍。

17、 6.我是商場精英 ?例.某商場銷售一批名牌襯衫 ,現(xiàn)在平均每天能售出 20 件,每件盈利40元.為了盡快減少庫存,商場決定采取 降價措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn):如果這種襯衫的售價每降低 1 元時,平均每天能多售出2件.商場要想平均每天盈利 1200元,每件襯衫應(yīng)降價多少元 ? 得根據(jù)題意元設(shè)每件襯衫應(yīng)降價解,: x .1200) 1 220)(40(? x x . 020030: 2 ?xx 整理得 得解這個方程, .10,20 21 ?xx .20,:元應(yīng)降價為了盡快減少庫存答 .40220,60220?xx或 ?例. 某商店從廠家以每件 21元的價格購進一批商品 ,若每 件商品售價為x元,則每天可

18、賣出(350-10 x)件,但物價局限定 每件商品加價不能超過進價的 20%.商店要想每天賺400元, 需要賣出多少年來件商品 ?每件商品的售價應(yīng)為多少元 ? 7.利潤與方程 得根據(jù)題意元設(shè)每件商品的售價應(yīng)為解,: x .400)10350)(21(?xx . 077556: 2 ?xx 整理得 得解這個方程,.31,25 21 ?xx .25:元每件商品的售價應(yīng)為答 ? .,31, 2 .25%2012131舍去不合題意?xx? 例1、有一堆磚能砌12米長的圍墻,現(xiàn)要圍一個20 平方米的雞場,雞場的一邊靠墻(墻長7米),其余三 邊用磚砌成,墻對面開一個1米寬的門,求雞場的長 和寬各是多少米?

19、 解：設(shè)雞場的寬為x米，則長為（12+1- 2x）=（13-2x ）米，列方程得： X（13-2x ）=20 解得：x 1=4，x2=2.5 經(jīng)檢驗：兩根都符合題意 答：此雞場的長和寬分別為 5和4米或8與2.5米。 13-2x=5 或8 已知矩形已知矩形( (記為記為A) )長為長為4，寬為，寬為1，是否，是否 存在另一個矩形存在另一個矩形( (記為B),),使得這個矩形 的周長和面積都為原來矩形周長和面積的周長和面積都為原來矩形周長和面積 的一半的一半? ?如果存在如果存在, ,求出這個矩形的長和求出這個矩形的長和 寬；如果不存在寬；如果不存在, ,試說明理由。 AB 例2、某商場的音響專

20、柜 ,每臺音響進價4000元,當(dāng)售價 定為5000元時,平均每天能售出10臺,如果售價每降低 100元,平均每天能多銷售2臺,為了多銷售音響,使利潤 增加12%, 則每臺銷售價應(yīng)定為多少元 ? 解:法一：設(shè)每臺降價 x元 (1000 x)(10+ 100 x 2)=10000(1+12%) 解得: x =200 或 x=300 每臺的利潤售出的臺數(shù)=總利潤 解:法二：設(shè)每天多銷售了 x臺。 （10+x)(1000-50 x)=10000(1+12%) ? 例例3、如圖所示，已知一艘輪船以 20海里海里/時的速時的速 度由西向東航行，在途中接到臺風(fēng)警報，臺風(fēng)中 心正以40海里/時的速度由南向北移

21、動，距臺風(fēng)中 心心20 10 海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到 臺風(fēng)的影響，當(dāng)輪船到 A處時測得臺風(fēng)中心移動 到位于點A正南方向的B處，且處，且AB=100 海里，若 這艘輪船自A處按原速原方向繼續(xù)航行，在途中處按原速原方向繼續(xù)航行，在途中 是否會受到臺風(fēng)的影響？若會，試求出輪船最初 遇臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由。遇臺風(fēng)的時間；若不會，請說明理由。 A B ? 學(xué)以致用 ? 某軍艦以20海里/時的速度由西向東航行，一艘電時的速度由西向東航行，一艘電 子偵察船以30海里海里/時的速度由南向北航行，它能時的速度由南向北航行，它能 偵察出周圍50海里（包括50海里)范圍內(nèi)的目標(biāo)。 如圖，當(dāng)該軍

22、艦行至 A處時，電子偵察船正位于處時，電子偵察船正位于 A 處正南方向的B處，且處，且AB=90海里。如果軍艦和 偵察船仍按原速沿原方向繼續(xù)航行，則航行途中 偵察船能否偵察到這艘軍艦？如果能，最早何時偵察船能否偵察到這艘軍艦？如果能，最早何時 偵察到？如果不能，請說明理由。偵察到？如果不能，請說明理由。 A B 案例1： 關(guān)于x的方程02) 1( 2 ?kkxxk 有兩個不相等的實數(shù)根， 求k的取值范圍。 解： ) 1(4)2( 2 ?kkk 解得k 又k- 10 k且k0 說一說 忽視二次項 系數(shù)不為0 案例案例2： 已知k為實數(shù)，解關(guān)于x的方程 0)3(3 22 ?kxkkx 解： 0)1

23、)(3(?kxkx . 1 , 3 21 k x k x? 當(dāng)k=0時，方程為3x=0, x=0 將原方程左邊分解因式，得 當(dāng)k0時， 說一說 忽視對方程 分類討論 1542)2 222 ?xxxx （ xx2 2 ? 015)2( 2)2 222 ?xxxx （ 0) 32)(52 22 ?xxxx （ 52 2 ? xx 32 2 ? xx 案例3： 已知實數(shù)x滿足 求：代數(shù)式 解： ， ， 的值。 或 52 2 ? xx 又無實根， 32 2 ? xx 說一說 忽視根的 存在條件！ 案例4： 已知關(guān)于x的一元二次方程 0112 2 ?xkx 有兩個實根，求k的取值范圍。 解：由0，可得

24、04)12( 2 ?k 解得k -2 又k+10, k1 k 的取值范圍是k1 說一說 忽視系數(shù)中 的隱含條件 1 x 2 x0152 2 ? x x x x x x x x 2 1 2 1 2 1 ? 2 1 21 ?xx 案例5： 已知 ， 是方程 的兩根，求 解： 的值。 2 2 1 22 21 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ? xx x x x x x x x xx x x xx x 說一說 忽視討論兩 根的符號！ )1 ()2(xxaxa? 1 x 2 x xx S 21 ?a 0) 12( 22 ? ax xa axx21 21 ? a xx 2 21 ? xx S 21 ? 2121 2 2xxxx S ? aa 2 221?1 a a ? 2 0?aa 案例案例6： 已知方程 的兩個實根為 、 ，設(shè),求: 整數(shù)時S的值為1。 解：原方程整理 ， = 為非負整數(shù)。 取什么 由= 4a+10得，由021 21 ?axx得 2 1 ?a 4 1 0? a 說一說 忽視系數(shù)中的 隱含條件與 判別式 。 a取整數(shù)0。 4 1 ?a 0 90 022 2 ?mmxx 0 90 222 cba?