小學(xué)數(shù)學(xué)論文：有“理”才能寓“意”入“法”方能深刻——以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)為例

1、有“理”才能寓“意”，入“法”方能深刻以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學(xué)為例【內(nèi)容摘要】 如何上好計(jì)算課，如何在計(jì)算教學(xué)中將“運(yùn)算意義”與“算理”、“算法”進(jìn)行有機(jī)融合？義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）指出，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，不僅要重視學(xué)生獲得知識(shí)技能，而且要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過獨(dú)立思考或者合作交流，感悟數(shù)學(xué)是基本思想，引導(dǎo)學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中積累基本經(jīng)驗(yàn)。圍繞數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，筆者對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)進(jìn)行了教學(xué)研究?！娟P(guān)鍵詞】 算理 算法 運(yùn)算意義計(jì)算在人們生活學(xué)習(xí)、生產(chǎn)實(shí)踐等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。當(dāng)今世界無論科學(xué)技術(shù)如何發(fā)展，基本的計(jì)算方法卻沒有多大的改變。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，計(jì)算教學(xué)貫穿于全過程，

2、學(xué)習(xí)的內(nèi)容最多，學(xué)習(xí)的時(shí)間也最長(zhǎng)，據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，計(jì)算課時(shí)占數(shù)學(xué)總課時(shí)的50%以上，所以計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)中的重點(diǎn)。但我們?cè)谡n改十多年的后的今天卻發(fā)現(xiàn)，學(xué)生計(jì)算能力不強(qiáng)卻是不爭(zhēng)的事實(shí)：計(jì)算速度慢，正確率低，特別是計(jì)算習(xí)慣差。與之相對(duì)應(yīng)的是教師對(duì)計(jì)算教學(xué)的研究也不多。大凡上公開課，一般老師很少會(huì)選擇有關(guān)計(jì)算的課型。理由很簡(jiǎn)單：枯燥、乏味，不像其他課型那樣，能上得高潮迭起。還有一些教師認(rèn)為，計(jì)算教學(xué)沒有什么道理可講，只要讓學(xué)生掌握計(jì)算方法后，反復(fù)演練，就可以做到計(jì)算正確、熟練。在過往的有關(guān)傳統(tǒng)計(jì)算教學(xué)中，我們采用的模式往往是從基本訓(xùn)練到例題的講解，得出計(jì)算法則進(jìn)而鞏固練習(xí)，最后重復(fù)操作形成計(jì)

3、算技能。這樣，學(xué)生往往因計(jì)算枯燥而缺乏興趣，甚至產(chǎn)生厭倦心理。數(shù)學(xué)需要執(zhí)行各種各樣的運(yùn)算。理想狀況是這些程序源自基本的概念性理解，這些概念性理解使得學(xué)習(xí)過程不再是機(jī)械性操作，并且潛在地促進(jìn)了學(xué)生的發(fā)展。具體說來，關(guān)于數(shù)的運(yùn)算，要引導(dǎo)學(xué)生理解運(yùn)算的意義是什么；怎樣進(jìn)行運(yùn)算，也就是運(yùn)算的方法是什么；為什么這樣算，運(yùn)算的算理是什么。由此我們認(rèn)為，計(jì)算教學(xué)應(yīng)該加點(diǎn)“甜味”，即在理解運(yùn)算意義基礎(chǔ)上，在算理直觀與算法抽象之間應(yīng)該架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生在充分體驗(yàn)中逐步完成動(dòng)作思維形象思維抽象思維的發(fā)展過程。下面筆者以在一次偶然的乘數(shù)是一位數(shù)的練習(xí)中對(duì)學(xué)生的作業(yè)著手分析，對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)進(jìn)行了專題研究。一、緣起

4、在三年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)之前的一次練習(xí)中，不小心出了這樣一道題：6530.由于之前只學(xué)習(xí)了乘數(shù)是一位數(shù)的乘法，學(xué)生在答題過程中不斷有說不會(huì)做的。本意是想出6503，但既然已經(jīng)出了，就將錯(cuò)就錯(cuò)吧。從批閱作業(yè)看，正確率不高，但也有一部分學(xué)生得出了正確的結(jié)果。于是在接下來的作業(yè)點(diǎn)評(píng)中，筆者出了這樣幾道對(duì)比題：653，6503，6530。前兩道沒有問題，到了第三題時(shí)，特意安排了這樣幾位學(xué)生進(jìn)行分析。生1： 6 5 1 3 0 1 9 5 0生2: 30里面有3個(gè)10，6510=650，再用6503，就是與第二道題一樣了，得數(shù)是1950。生3：可以將6530中乘數(shù)30中的那個(gè)0移到65的后面。我按

5、他說的進(jìn)行了板演，6530=6503.問：“為什么？”生3：第一個(gè)乘數(shù)擴(kuò)大10倍，另一個(gè)乘數(shù)縮小到原來的十分之一，答案還是不變的。我在65與650和30與3之間用箭頭進(jìn)行了標(biāo)記，大家表示認(rèn)可，都認(rèn)為這樣相乘后的積是不變的。生4： 6 5 3 0 0 0 1 9 5 1 9 5 0二、前測(cè)沒想到一次作業(yè)竟有意外的發(fā)現(xiàn)。特別是第四種方法。看來已有學(xué)生通過其他途徑的學(xué)習(xí)能用列豎式的方法進(jìn)行計(jì)算。但真的理解了嗎？這是筆者更為關(guān)心的。于是在接下來學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)之前先對(duì)有關(guān)乘法進(jìn)行教材分析。北師大關(guān)于整數(shù)乘法的學(xué)習(xí)，在教材的編排上是從二年級(jí)開始的。二年級(jí)時(shí)學(xué)習(xí)表內(nèi)乘法，到三年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)一位數(shù)乘兩、三位

6、數(shù)的乘法計(jì)算，到三年級(jí)下冊(cè)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法；再到四年級(jí)學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘三位數(shù)的乘法計(jì)算。結(jié)合解決問題的過程，經(jīng)歷從直觀運(yùn)算到算法運(yùn)算的過程，理解算理?；趯W(xué)生認(rèn)知發(fā)展和教材編排順序，結(jié)合教材對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)（上頁圖）的編排特點(diǎn)，筆者在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容之前，先按例題的要求進(jìn)行 北師大三下隊(duì)列表演（一）了前測(cè)。 題：學(xué)校舉行隊(duì)列表演，一共有12行，每行有14人。有多少人參加隊(duì)列表演？在點(diǎn)子圖上圈一圈，并用自己的方法算一算。 教學(xué)中，筆者首先引導(dǎo)學(xué)生列出算式，分析算式的含義。而后搜集了學(xué)生的作業(yè)，并對(duì)答題情況進(jìn)行分析整理。方法一：借助整十?dāng)?shù)分割先圈10個(gè)12，再圈4個(gè)12,120+48=168 先圈1

7、0個(gè)14，再圈2個(gè)14，140+28=168方法二：分成任意的幾部分左中右每份分別是60,60和48，共148 上中下每份都是4個(gè)14，563=168方法三：湊整后有序分成多個(gè)部分1010=100，210=20，410=40，24=20，100+20+40+8=168從前測(cè)的情況看，學(xué)生雖然沒有學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算方法，但是借助點(diǎn)子圖的直觀模型，絕大多數(shù)學(xué)生能夠?qū)⑽粗闹R(shí)轉(zhuǎn)化為已知的知識(shí)，探索出計(jì)算方法，并呈現(xiàn)了多樣化的算法。抽取部分學(xué)生進(jìn)行訪談，他們認(rèn)為自己和其他同學(xué)的方法都是將點(diǎn)子圖分成了多個(gè)部分再合起來，有的還認(rèn)為無論怎樣分結(jié)果都是一樣的。學(xué)生有這樣的體會(huì)正是對(duì)算理有了最樸素的理解

8、，這也正是潛在地探索運(yùn)算律的過程。為實(shí)驗(yàn)需要，筆者選用未設(shè)計(jì)“點(diǎn)子圖”到另一班要求學(xué)生進(jìn)行“1412”的計(jì)算，全班絕大部分學(xué)生都選用列豎式計(jì)算。（班級(jí)總?cè)藬?shù)：45人）算法人數(shù)占班級(jí)人數(shù)比正確率豎式3782%24.4%分拆或分解818%87.5%但對(duì)37名列豎式的學(xué)生進(jìn)行分析，基本掌握方法并計(jì)算結(jié)果正確的僅僅只有11名學(xué)生，不及班級(jí)總?cè)藬?shù)的四分之一。最典型的幾種錯(cuò)誤的列豎式情況：生1： 1 4 生2 1 4 1 2 1 2 4 8 8 1 4 2 0 1 8 8 1 0 0 1 2 8與年級(jí)組其他教師分析認(rèn)為，當(dāng)為學(xué)生提供相應(yīng)的直觀模型支撐時(shí)，學(xué)生可以探索出一定的方法。但可能是有家長(zhǎng)提前將列豎式

9、計(jì)算教授給孩子，學(xué)生因只得其形卻未知其理，因而出現(xiàn)了錯(cuò)誤，即使得其形也未必能完全正確計(jì)算。這也就合理解釋了表格中的相關(guān)數(shù)據(jù)：使用豎式的比例高，但正確率相對(duì)較低，使用橫式的少，但因更容易理解算理反而正確率高。筆者認(rèn)為，學(xué)生對(duì)于算理的理解，算法的形成并不是一朝一夕能形成的，這需要長(zhǎng)期的經(jīng)驗(yàn)積累。三、實(shí)踐有了前面的分析，在之后的隊(duì)列表演（二）教學(xué)中，筆者將更多的精力放在通過點(diǎn)子模型圖理解算理，進(jìn)而歸納算法。重點(diǎn)設(shè)計(jì)了三個(gè)問題。一是嘗試獨(dú)立用豎式計(jì)算“1412”；二是結(jié)合點(diǎn)子圖解釋第一個(gè)問題中豎式每一步的意義，促進(jìn)對(duì)豎式的理解；三是總結(jié)兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式筆算的程序（法則），引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計(jì)算程序正確計(jì)算

10、。為了讓學(xué)生更加直觀地感受這個(gè)過程，筆者還利用課件將橫式（1410+142=140+28=168）進(jìn)行了移動(dòng)，逐步變成了一個(gè)豎式。 北師大三下隊(duì)列表演（二）并結(jié)合點(diǎn)子圖進(jìn)行圈一圈的演示。這樣，既體現(xiàn)了橫式與豎式的聯(lián)系，又用橫式重點(diǎn)解釋了豎式的算理。 四、思考經(jīng)過了課例研究的“調(diào)查實(shí)驗(yàn)分析教學(xué)反思調(diào)整”的整個(gè)過程，筆者有了滿滿的收獲。1通過豐富的教學(xué)活動(dòng)來熟“法”悟“理”感悟算理和掌握算法是計(jì)算教學(xué)的兩大任務(wù)，算法是解決問題的操作程序，算理是算法賴以成立的數(shù)學(xué)原理。計(jì)算教學(xué)的關(guān)鍵是要正確處理好兩者的關(guān)系。在看待計(jì)算教學(xué)算理和算法的問題上，按照“虛者實(shí)之，實(shí)者虛之”的原則，并將此作為計(jì)算課算理教學(xué)

11、的根基策略。虛即“算理”，實(shí)即“算法”。 兩者一“虛”一“實(shí)”，算法直觀與算理籠統(tǒng)，使學(xué)生不只知其然，更知其所以然！如果教師在教學(xué)時(shí)忽略引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理的教學(xué)，這種急功近利的做法，會(huì)使學(xué)生失去獨(dú)立思考與深層感悟的機(jī)會(huì)，甚至影響學(xué)生計(jì)算能力的提高。2. 通過新舊知識(shí)的遷移來“生成”算法數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。過往傳統(tǒng)的計(jì)算教學(xué)，是教師引著學(xué)生走，學(xué)生依照例題的方法去理解、模仿，進(jìn)而熟練，而不是學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)、生成出數(shù)學(xué)方法，這是傳統(tǒng)的計(jì)算教學(xué)最被人詬病之處。因此，在教學(xué)過程中教師必須重視處理好“教師預(yù)設(shè)”與“課堂生成”這辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的方法，重視引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)真理和尋找真理。如上

12、述“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”一課研究中，借助點(diǎn)子圖，學(xué)生會(huì)想出很多種方法，將橫式與豎式聯(lián)系，悟出豎式計(jì)算方法應(yīng)注意的問題。課堂中的“預(yù)設(shè)”與“生成”是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程，在這個(gè)動(dòng)態(tài)過程中，往往會(huì)生成一些超出教師預(yù)設(shè)之外的新問題。如果教師能善于抓住這些生成點(diǎn)，讓學(xué)生充分地去探究和交流，就有利于學(xué)生計(jì)算能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維能力的提高。3.通過自主探究的過程來懂“理”歸“法”數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過程。數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過程，這是學(xué)生真實(shí)的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。在計(jì)算教學(xué)中，算理可以說是學(xué)生已有的“舊知”，學(xué)生完全可以通過自主探究，合作交流等方式感悟算理，總結(jié)計(jì)算方法。從上述課例研究中我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下自