高中的函數(shù)圖像大全[教學(xué)備用]

1、 指數(shù)函數(shù)概念：一般地，函數(shù)y=ax（a0，且a1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R。 注意：指數(shù)函數(shù)對(duì)外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為1，否則不能為指數(shù)函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)：規(guī)律：1. 當(dāng)兩個(gè)指數(shù)函數(shù)中的a互為倒數(shù)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，但這兩個(gè)函數(shù)都不具有奇偶性。 2.當(dāng)a1時(shí)，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在y軸的右側(cè)，圖像越靠近y軸； 當(dāng)0a1時(shí)，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在y軸的左側(cè)，圖像越靠近y軸。 在y軸右邊“底大圖高”；在y軸左邊“底大圖低”。 3.四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng)a1時(shí)，圖像在R上是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，圖像在R上是減函數(shù)。

2、 4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。比較冪式大小的方法：1. 當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；2. 當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時(shí)要注意分類討論；3. 當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時(shí)，則需要引入中間量進(jìn)行比較；4. 對(duì)多個(gè)數(shù)進(jìn)行比較，可用0或1作為中間量進(jìn)行比較 底數(shù)的平移： 在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向右平移。 在f(X)后加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向下平移。 對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù)y=ax在定義域(-，+)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù)y=ax(a0，a1)的反函數(shù)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，并記為y=logax(a0，a

3、1).因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y=ax的定義域?yàn)?-，+)，值域?yàn)?0，+)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的定義域?yàn)?0，+)，值域?yàn)?-，+).2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對(duì)稱于直線y=x. 據(jù)此即可以畫出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0，a1)的性質(zhì)，我們?cè)谕恢苯亲鴺?biāo)系中作出函數(shù)y=log2x，y=log10x，y=log10x,y=logx,y=logx的草圖由草圖，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，可以歸納、分析出對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a0，a1)的圖像的特征和性質(zhì).見下表.圖象a1a1性質(zhì)(1)x0(2)當(dāng)x=1時(shí)，y=0(

4、3)當(dāng)x1時(shí)，y00x1時(shí)，y0(3)當(dāng)x1時(shí)，y00x1時(shí)，y0(4)在(0，+)上是增函數(shù)(4)在(0，+)上是減函數(shù)補(bǔ)充性質(zhì)設(shè)y1=logax y2=logbx其中a1，b1(或0a1 0b1)當(dāng)x1時(shí)“底大圖低”即若ab則y1y2當(dāng)0x1時(shí)“底大圖高”即若ab，則y1y2比較對(duì)數(shù)大小的常用方法有：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.(2)若底數(shù)為同一字母，則按對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討論.(3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進(jìn)行比較.(4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助1、0、-1等中間量進(jìn)行比較.3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)比名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)

5、函數(shù)一般形式y(tǒng)=ax(a0，a1)y=logax(a0，a1)定義域(-，+)(0，+)值域(0，+)(-，+)函數(shù)值變化情況當(dāng)a1時(shí)，當(dāng)0a1時(shí)，當(dāng)a1時(shí)當(dāng)0a1時(shí)，單調(diào)性當(dāng)a1時(shí)，ax是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，ax是減函數(shù).當(dāng)a1時(shí)，logax是增函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，logax是減函數(shù).圖像y=ax的圖像與y=logax的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱.冪函數(shù)冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)冪函數(shù)隨著的不同，定義域、值域都會(huì)發(fā)生變化，可以采取按性質(zhì)和圖像分類記憶的方法熟練掌握，當(dāng)?shù)膱D像和性質(zhì)，列表如下從中可以歸納出以下結(jié)論： 它們都過點(diǎn)，除原點(diǎn)外，任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交，任何冪函數(shù)圖像都不過第四象限 時(shí)，冪函

6、數(shù)圖像過原點(diǎn)且在上是增函數(shù) 時(shí)，冪函數(shù)圖像不過原點(diǎn)且在上是減函數(shù) 何兩個(gè)冪函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)OxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxyOxy定義域RRR奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第象限的增減性在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞增在第象限單調(diào)遞減冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像在第一象限的分布規(guī)律是：所有冪函數(shù)（R，是常數(shù)）的圖像都過點(diǎn)；當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖像都過原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如）；當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如）當(dāng)時(shí)，的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如）當(dāng)時(shí)，的的圖像不過原點(diǎn)，且在第一象限是“下

7、滑”曲線（如）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：（1） 圖象都通過點(diǎn)；（2） 在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；（3） 在第一象限內(nèi)，時(shí)，圖象是向下凸的；時(shí)，圖象是向上凸的；（4） （在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)后，圖象向右上方無(wú)限伸展。當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)有下列性質(zhì)：1） 圖象都通過點(diǎn)；2） 在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；3） 在第一象限內(nèi)，圖象向上與軸無(wú)限地接近；向右無(wú)限地與軸無(wú)限地接近；4） 在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)后，越大，圖象下落的速度越快。無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，冪函數(shù)的圖象必然經(jīng)過第一象限，并且一定不經(jīng)過第四象限。 對(duì)號(hào)函數(shù)函數(shù)（a0,b0）叫做對(duì)號(hào)函數(shù)，因其在（0，+）的圖象似符號(hào)“”而得名，利用對(duì)號(hào)函數(shù)的圖象及均值不

8、等式，當(dāng)x0時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)），由此可得函數(shù)（a0,b0,xR+）的性質(zhì):當(dāng)時(shí)，函數(shù)（a0,b0,xR+）有最小值，特別地，當(dāng)a=b=1時(shí)函數(shù)有最小值2。函數(shù)（a0,b0）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，在區(qū)間（，+）上是增函數(shù)。因?yàn)楹瘮?shù)（a0,b0）是奇函數(shù)，所以可得函數(shù)（a0,b0,xR-）性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，函數(shù)（a0,b0,xR-）有最大值-，特別地，當(dāng)a=b=1時(shí)函數(shù)有最大值-2。函數(shù)（a0,b0）在區(qū)間（-，-）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-，0）上是減函 奇函數(shù)和偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x值，都有f(x)=(x)那么就稱f(x)為奇函數(shù) 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任

9、意一個(gè)x值，都有f(x)=f(x)，那么就稱f(x)為偶函數(shù) 說明：(1)由奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，只有當(dāng)f(x)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)成對(duì)稱的若干區(qū)間時(shí)，才有可能是奇 (2)判斷是不是奇函數(shù)或偶函數(shù)，不能輕率從事，例如判斷f(x) 是不易的為了便于判斷有時(shí)可采取如下辦法：計(jì)算f(x)+f(x)，視其結(jié)果而說明是否是奇函數(shù)用這個(gè)方法判斷此函數(shù)較為方便：f(x) (3)判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，還應(yīng)注意是否對(duì)定義域內(nèi)的任何x值， 當(dāng)x0時(shí)，顯然有f(x)=f(x)，但當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=f(x)=1，f(x)為非奇非偶函數(shù) (4)奇函數(shù)的圖象特征是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形；偶函數(shù)的圖象特征是關(guān)

10、于y軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱圖形 (5)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性綜合應(yīng)用時(shí)，尤其要注意由它們的定義出發(fā)來進(jìn)行論證 例 如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，并且在(0，+)上是增函數(shù)，試判斷在(，0)上的增減性 解 設(shè)x1，x2(，0)，且x1x20 則有x1x20， f(x)在(0，+)上是增函數(shù)， f(x1)f(x2) 又f(x)是奇函數(shù)，f(x)=f(x)對(duì)任意x成立， =f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) f(x)在(，0)上也為增函數(shù) 由此可得出結(jié)論：一個(gè)奇函數(shù)若在(0，+)上是增函數(shù)，則在(，0)上也必是增函數(shù)，即奇函數(shù)在(0，+)上與(，0)上的奇偶性相同 類似地可以證明，偶函數(shù)在(0，+)和(，0)上的奇偶性恰好相反 時(shí)，f(x)的解析式 解 x0，x0 又f(x)是奇函數(shù)，f(x)=f(x) 偶函數(shù)圖象對(duì)稱性的拓廣與應(yīng)用 我們知道，如果對(duì)于函數(shù)