行列式展開定理與克拉默法則剖析

1、行列式展開定理與克拉默法則剖析 行列式展開定理與克拉默法則剖析 3、4 行列式展開定理、克拉默法則行列式展開定理、克拉默法則 行列式展開定理與克拉默法則剖析 引例引例 ,312213332112322311 322113312312332211 aaaaaaaaa aaaaaaaaa 333231 232221 131211 aaa aaa aaa 3223332211 aaaaa 3321312312 aaaaa 3122322113 aaaaa 2223 11 3233 aa a aa 可見，三階行列式可通過二階行列式來表示可見，三階行列式可通過二階行列式來表示 2123 12 3133

2、aa a aa 2122 13 3132 aa a aa 行列式展開定理與克拉默法則剖析 定義定義在在 n 階行列式階行列式 中將元素中將元素 所在的所在的 ij a det() ij a 第第 i 行行與第與第 j 列劃去，剩下列劃去，剩下 個元素按原位置個元素按原位置 2 (1)n 次序構成一個次序構成一個 階的行列式，階的行列式，1n 111,11,11 1,11,11,11, 1,11,11,11, 1,1,1 jjn iijijin iijijin nn jn jnn aaaa aaaa aaaa aaaa 稱之為元素稱之為元素 的的余子式余子式, ,記作記作 ij M ij a 行

3、列式展開定理與克拉默法則剖析 ( 1)i j ijij AM 令令 稱稱 之為元素之為元素 的的代數余子式代數余子式 ij a ij A 注：注： 行列式中每一個元素分別對應著一個余子式行列式中每一個元素分別對應著一個余子式 和代數余子式和代數余子式 無關，只與該元素的在行列式中的位置有關無關，只與該元素的在行列式中的位置有關 元素元素 的余子式和代數余子式與的余子式和代數余子式與 的大小的大小 ij a ij a 行列式展開定理與克拉默法則剖析 例如例如 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 444241 3432

4、31 141211 23 aaa aaa aaa M 23 32 23 1MA . 23 M , 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa D 212224 13313234 414244 , aaa Maaa aaa 1 3 1313 1AM 13. M 行列式展開定理與克拉默法則剖析 元素除元素除 外都為外都為 0，則，則 ij a . ijij Da A 1.1.引理引理 若若n 階行列式階行列式 D = 的的 中第中第 i 行所有行所有 det() ij a 行列式展開定理與克拉默法則剖析 證：證： 先證的情形，即先

5、證的情形，即 11ij aa 11 21222 12 00 n nnnn a aaa D aaa 由行列式的定義，有由行列式的定義，有 1 2 12 1 2 () 12 ( 1) n n n j jj jjnj j jj Daaa 2 2 2 () 112 ( 1) n n n jj jnj jj aaa 行列式展開定理與克拉默法則剖析 222 11 2 n nnn aa a aa 1111. a A 1111 a M 結論成立結論成立. . 一般情形：一般情形： 111,111,11 1,11,11,1,11, 1,11,11,1,11, 1,1,1 0000 jjjn iijijijin

6、ij iijijijin nn jnjn jnn aaaaa aaaaa a aaaaa aaaaa 行列式展開定理與克拉默法則剖析 111,111,11 1 1,11,11,1,11, 1,11,11,1,11, 1,1,1 0000 ( 1) ij jjjn i iijijijin iijijijin nn jnjn jnn a aaaaa aaaaa aaaaa aaaaa 1111,11,11 11 1,1,11,11,11, 1,1,11,11,11, 1,1,1 0000 ( 1)( 1) ij jjjn ij ijiijijin ijiijijin njnn jn jnn a a

7、aaaa aaaaa aaaaa aaaaa 行列式展開定理與克拉默法則剖析 2 ( 1)i j ijij a M ( 1)i j ijij a M ( 1), ij ijijijij aMa A 結論成立結論成立. . 111,11,11 21,11,11,11, 1,11,11,11, 1,1,1 ( 1) jjn ijiijijin ij iijijin nn jn jnn aaaa aaaa a aaaa aaaa 行列式展開定理與克拉默法則剖析 2.2.定理定理 行列式行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素與其等于它的任一行（列）的各元素與其 對應的代數余子式乘積之和，對應的代數余

8、子式乘積之和，即即 1122jjjjnjnj Da Aa Aa A 1122iiiiinin Da Aa Aa A 1 n ikik k a A 1,2,in 1 n kjkj k a A 1,2,jn 或或 行列式按行（列）展開法則行列式按行（列）展開法則 行列式展開定理與克拉默法則剖析 證：證： 11121 12 12 00 0000 n iiin nnnn aaa aaaD aaa 1122 . iiiiinin a Aa Aa A 111211112111121 12 121212 000000 nnn iiin nnnnnnnnnnnn aaaaaaaaa aaa aaaaaaaaa

9、 ni, 2 , 1 行列式展開定理與克拉默法則剖析 例例1. .計算行列式計算行列式 311 2 5134 2011 1533 D 解：解： 13 43 2 11 13 01 53 cc cc D 5 11 0 0 0 5 1 1 511 11 11 55 0 21 511 620 55 0 rr 1 36 2 ( 1) 55 40. 行列式展開定理與克拉默法則剖析 例例2. .計算計算n n階行列式階行列式 00 0 00 0 . 0 0 0 0 00 n a b a b D a b ba 解：解： 1 (1)(1) 0 000 0 00 00 0 ( 1) 0 00 00 0 000 0

10、 n n nn a bb aa b Dab a bb aa b 1111 ( 1)( 1). nnnnnn a ab bab 行列式展開定理與克拉默法則剖析 例例3. .證明范德蒙行列式證明范德蒙行列式 （熟記）（熟記）P18 123 2222 123 1 1111 123 1111 () n n nij j i n nnnn n xxxx xxxx Dxx xxxx 行列式展開定理與克拉默法則剖析 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少兩個相等中至少兩個相等 12 0, nn Dx xx注：注： 范德蒙行列式另一形式：范德蒙行列式另一形式： 21 111 21 212 21 333 21 1 1

11、1 1 n n n n nnn xxx xxx xxx xxx 行列式展開定理與克拉默法則剖析 3.3.推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的 對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即對應元素的代數余子式乘積之和等于零，即 1122 0, ijijninj a Aa Aa Aij 1122 0, ijijinjn a Aa Aa Aij 行列式展開定理與克拉默法則剖析 證證行行展展開開，有有按按第第把把行行列列式式jaD ij )det( 111 1 11 1 1 , n iin jjjnjn jjn nnn aa aa a Aa A aa a

12、a 可可得得換換成成把把), 1(nkaa ikjk 行列式展開定理與克拉默法則剖析 111 1 11 1 1 , n iin ijinjn iin nnn aa aa a Aa A aa aa 行行第第 j 行行第第 i 相同相同 1122 0,. ijijninj a Aa Aa Aij 1122 0. ijijinjn a Aa Aa A 當當 時時, , ij 同理可證同理可證, , 行列式展開定理與克拉默法則剖析 1 0 n ikjk k Dij a A ij 1 0 n kikj k Dij a A ij 綜合定理及推論，有關于代數余子式的重要性質：綜合定理及推論，有關于代數余子式

13、的重要性質： 行列式展開定理與克拉默法則剖析 例例4. .設設 求求 35 21 1105 , 1 313 2413 D 解：解： 11121314 AAAA 1111 1105 1 313 2413 4. 和和 11213141. MMMM 11121314 AAAA 行列式展開定理與克拉默法則剖析 11213141 MMMM 11213141 AAAA 1521 1 105 1313 1413 0. 行列式展開定理與克拉默法則剖析 例例5. .計算計算2n階行列式階行列式 2 2 n n ab ab D ba ba 其中未標明的元素都是其中未標明的元素都是0. 行列式展開定理與克拉默法則剖

14、析 解：將解：將D Dn n按第一行展開得按第一行展開得 21 2 2121 000000 0000000 ( 1) 000000 000000 00000000 n n nn abab aab Dab baba baba ab 行列式展開定理與克拉默法則剖析 上式第一個行列式按最后一行展開，第二上式第一個行列式按最后一行展開，第二 個行列式按第一列展開，可得到個行列式按第一列展開，可得到 22 22(1) (), nn DabD 以此作遞推公式，即得以此作遞推公式，即得 22221 22(2)2 ()()n nn DabDabD 221 ()n ab ab ba 22 () . n ab 行

15、列式展開定理與克拉默法則剖析 自然科學與工程技術中，我們會碰到未知數的個數自然科學與工程技術中，我們會碰到未知數的個數 很多的線性方程組很多的線性方程組如如n元一次線性方程組元一次線性方程組 11112211 21122222 1122 , , (1) . nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 它的解也有類似二元、三元一次線性方程組的結論它的解也有類似二元、三元一次線性方程組的結論. 三、克拉默法則三、克拉默法則（Cramer，瑞士，瑞士，17041752） 2 2）n階行列式的性質與計算？階行列式的性質與計算？ 1 1）怎樣定義）怎樣定義

16、n階行列式？階行列式？ 有解的情況下，如何表示此解？有解的情況下，如何表示此解？ 3 3）方程組）方程組( () )在什么情況下有解？在什么情況下有解？ 行列式展開定理與克拉默法則剖析 定理定理 如果線性方程組如果線性方程組（1）的系數行列式的系數行列式 11121 21222 12 0, n n nnnn aaa aaa D aaa 則方程組則方程組()有唯一解有唯一解: 12 12 ,. n n DDD xxx DDD （2） Cramer法則法則 行列式展開定理與克拉默法則剖析 其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列(1,2, ) j Djn D j 所得的一個所得的一個 n 級行列

17、式，即級行列式，即 的元素用方程組（的元素用方程組（1）的常數項代換）的常數項代換 12 , n b bb 111,111,11 212,122,12 1,1,1 jjn jjn j nn jnn jnn aabaa aabaa D aabaa 1122jjnnj b Ab Ab A 1 . n ssj s b A 行列式展開定理與克拉默法則剖析 注解注解1 1： 克拉默克拉默( (Cramer) )法則中包含著兩個前提和三個結論：法則中包含著兩個前提和三個結論： 前提：前提： （1 1）線性方程組（）線性方程組（1 1）中方程的個數等于未知量的個數；）中方程的個數等于未知量的個數； （2 2

18、）線性方程組（）線性方程組（1 1）的系數矩陣的行列式不等于零）的系數矩陣的行列式不等于零. . 結論：結論： （1）線性方程組（）線性方程組（1）有解；）有解； （2）線性方程組（）線性方程組（1）的解是唯一的；）的解是唯一的； （3）線性方程組（）線性方程組（1）的解由公式（）的解由公式（2）給出）給出. 行列式展開定理與克拉默法則剖析 例例 6 用克拉默法則解方程組用克拉默法則解方程組 . 0674 , 522 , 963 , 852 4321 432 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 解：解： 6741 2120 6031 1512 D 21 2rr 24 rr 12770 2120 6031 13570 方程組的系數行列式方程組的系數行列式 行列式展開定理與克拉默法則剖析 1277 212 1357 21 2cc 23 2cc 277 010 353 27 33 ,27 6740 2125 6039 1518 1 D ,81 6701 21