圓錐曲線定點(diǎn)定直線定值問題（干貨分享）

1、圓錐曲線定點(diǎn)定直線定值問題定點(diǎn)、定直線、定值專題1、已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為，最小值為。（)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（)若直線與橢圓相交于,兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn),求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（I)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， （I）設(shè)，由得，以A為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn),，(最好是用向量點(diǎn)乘來），,解得,且滿足.當(dāng)時(shí)，,直線過定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí),直線過定點(diǎn)綜上可知，直線過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為2、已知橢圓的離心率，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為，。（）求橢圓C的方程;（)設(shè)直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)S。試問

2、：當(dāng)m變化時(shí),點(diǎn)是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由。.解法一：(）設(shè)橢圓的方程為。1分，,，。分橢圓的方程為。5分（）取得,直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為7分，若,由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為若點(diǎn)在同一條直線上,則直線只能為.分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上.事實(shí)上，由得即，記,則。9分設(shè)與交于點(diǎn)由得設(shè)與交于點(diǎn)由得10，12分,即與重合，這說明，當(dāng)變化時(shí),點(diǎn)恒在定直線上。3分解法二：（）取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為7分取得，直線的方程是直線的方程是交點(diǎn)為若交點(diǎn)在同一條直線上，則直線只能為。分以下證明對(duì)于任意的直線與直線的交點(diǎn)均在直線上

3、。事實(shí)上,由得即，記,則.9分的方程是的方程是消去得以下用分析法證明時(shí)，式恒成立。要證明式恒成立，只需證明即證即證式恒成立。這說明,當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。.解法三:()由得即.記，則。6分的方程是的方程是7分由得9分即2分這說明，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)恒在定直線上。13分3、已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為,離心率為 （)求橢圓的方程； （)過點(diǎn)作直線交于、兩點(diǎn),試問：在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn),為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.解:（I）設(shè)橢圓E的方程為，由已知得:。2分橢圓的方程為。分(）法一：假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，又設(shè)，則:。.。5分當(dāng)直線

4、的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為：，則由得7分所以分對(duì)于任意的值，為定值，所以，得,所以；1分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線由得綜上述知,符合條件的點(diǎn)存在，起坐標(biāo)為13分法二：假設(shè)存在點(diǎn)，又設(shè)則：=。5分當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得7分9分設(shè)則11分當(dāng)直線的斜率為0時(shí),直線，由得:綜上述知，符合條件的點(diǎn)存在，其坐標(biāo)為。.1分4、已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，離心率,過橢圓的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線,交橢圓于、兩點(diǎn)。. (）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (）設(shè)點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且，求的取值范圍； (）設(shè)點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線？若存

5、在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。解法一： (I)設(shè)橢圓方程為，由題意知故橢圓方程為 （)由（I）得,所以,設(shè)的方程為（）代入，得 設(shè)則，由，當(dāng)時(shí)，有成立。（）在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。依題意知，直線C的方程為， 令，則的方程為、在直線上,在軸上存在定點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線。解法二：（）由（I)得，所以。設(shè)的方程為代入,得設(shè)則 當(dāng)時(shí),有成立. （)在軸上存在定點(diǎn)，使得、三點(diǎn)共線。 設(shè)存在使得、三點(diǎn)共線，則， ， 即 ，存在，使得三點(diǎn)共線.6、(福建卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（）求過點(diǎn)、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段A的垂直平分線與軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。.解：（)圓過點(diǎn)O、F，M在直線上.設(shè)則圓半徑由得解得所求圓的方程為（I）設(shè)直線A的方程