第二章(第2,3節(jié))單自由度系統(tǒng)的自由振動

1、能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率 對于能量無耗散的振動系統(tǒng)，在自由振動對于能量無耗散的振動系統(tǒng)，在自由振動 時系統(tǒng)的機械能守恒。時系統(tǒng)的機械能守恒。 常數(shù)ut (2.2-1) 0)( d d ut t (2.2-2) maxmax ut (2.2-3) 對時間求導(dǎo)，得對時間求導(dǎo)，得 如果取平衡位置為勢能零點，如果取平衡位置為勢能零點，由機械能守由機械能守 恒定律，有恒定律，有 化簡后可得振動方程化簡后可得振動方程 化簡后可得系統(tǒng)固有頻率化簡后可得系統(tǒng)固有頻率 例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率

2、（例（例2.2-1） 例例2.2-1 有一個重量為有一個重量為w，半徑為，半徑為r的實心圓柱體，的實心圓柱體， 在半徑為在半徑為r的圓柱形面上無滑動地滾動，如圖的圓柱形面上無滑動地滾動，如圖2.2-1所示。所示。 假設(shè)該滾動的圓柱體進行簡諧運動，試求它繞平衡位置作假設(shè)該滾動的圓柱體進行簡諧運動，試求它繞平衡位置作 微小擺動時的固有頻率微小擺動時的固有頻率n。 解：解：圓柱體在擺動時圓柱體在擺動時 有兩種運動：移動和滾動。有兩種運動：移動和滾動。 設(shè)設(shè)坐標(biāo)如圖坐標(biāo)如圖2.2-1示。示。 r rr rrvc,)( 擺動時圓柱體中心擺動時圓柱體中心c點的速度點的速度 及圓柱體的角速度分別為及圓柱體的

3、角速度分別為 圖 2.2-1 例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率（例（例2.2-1） 系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能t為為 2 sin)(2)cos1)( 2 rrwrrwu 若選圓柱體中心若選圓柱體中心c在運動過程中的最低點為零勢能在運動過程中的最低點為零勢能 點，則系統(tǒng)的勢能為點，則系統(tǒng)的勢能為 22 2 2 222 22 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 rr g w r rr r g w rr g w imvt cc 圓柱體的勢能為相對于最低位置圓柱體的勢能為相對于最低位置o的重力勢能。的重力勢能。 例題：用能量法求解系統(tǒng)的

4、振動微分方程與固有頻率例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率（例（例2.2-1） 2 )( 2 1 rrwu 0)()( 2 3 )( 2 1 )( 4 3 d d )( d d 2 222 rrwrr g w rrwrr g w t ut t 0 )(3 2 rr g 由式由式(2.2-2)，有，有 上式可以簡化為上式可以簡化為 當(dāng)圓柱體作微擺動時，當(dāng)圓柱體作微擺動時， ，因此系統(tǒng)的勢能，因此系統(tǒng)的勢能 為為 22 sin 例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與固有頻率（例（例2.2-1） )(3 2 rr g n )sin(ta n 2

5、 2 2 max )( 4 3 arr g w t n 故系統(tǒng)固有頻率為故系統(tǒng)固有頻率為 系統(tǒng)的固有頻率也可以用系統(tǒng)的固有頻率也可以用tmax=umax來計算，設(shè)系來計算，設(shè)系 統(tǒng)作自由振動時的變化規(guī)律為統(tǒng)作自由振動時的變化規(guī)律為 則系統(tǒng)的最大動能、勢能分別為則系統(tǒng)的最大動能、勢能分別為 2 max )( 2 1 arrwu 則得固有頻率則得固有頻率n同前。同前。 例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與周期例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與周期（例（例2.2-2） 解：解：在桿有微小偏角在桿有微小偏角 時，彈簧的伸長及錘的位移時，彈簧的伸長及錘的位移 與速度可以近似的表示為與速度可以近似的

6、表示為a， l與與 。故振動系統(tǒng)的動能故振動系統(tǒng)的動能 與勢能可以表示為與勢能可以表示為 l 例例2.2-2 細桿細桿oa可繞水平軸可繞水平軸o轉(zhuǎn)動，如圖轉(zhuǎn)動，如圖2.2-2所示，所示， 在靜平衡時成水平。桿端錘的質(zhì)量為在靜平衡時成水平。桿端錘的質(zhì)量為m，桿與彈簧的質(zhì)量，桿與彈簧的質(zhì)量 均可略去不計，求自由振動的微分方程及周期。均可略去不計，求自由振動的微分方程及周期。 2 2 2 1 ,)( 2 1 akulmt 圖 2.2-2 例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與周期例題：用能量法求解系統(tǒng)的振動微分方程與周期（例（例2.2-2） 0)( 2 1 2 1 d d 222 akml t 0

7、2 l a m k 代入方程代入方程(2.2-2)有有 由此可得由此可得 固有頻率為固有頻率為 m k l a n 周期為周期為 k m a l t 2 ，平衡時，平衡時 。)mglak s ss a 21 , （平衡位置為零勢能點平衡位置為零勢能點, , , 2 1 2 2 2 1 mglku 彈簧剛度系數(shù)的定義彈簧剛度系數(shù)的定義 彈簧剛度系數(shù)彈簧剛度系數(shù)就是使彈簧產(chǎn)生單位變形所就是使彈簧產(chǎn)生單位變形所 需要的力或力矩。需要的力或力矩。 x f k (2.3-1) 同一彈性元件，同一彈性元件，根據(jù)所要研究根據(jù)所要研究 振動方向不同，彈簧剛度系數(shù)亦不振動方向不同，彈簧剛度系數(shù)亦不 同。同。 以

8、一端固定的等直圓桿為例以一端固定的等直圓桿為例 加以說明，如圖加以說明，如圖2.3-1所示。所示。 圖 2.3-1 等直梁在不同方向的剛度等直梁在不同方向的剛度 ea fl x b 確定沿確定沿x方向方向的剛度時，在的剛度時，在b處沿處沿x方向加一方向加一 垂直力垂直力f。 b點在點在x方向的剛度系數(shù)為方向的剛度系數(shù)為 l ea x f k b x 根據(jù)材料力學(xué)知，根據(jù)材料力學(xué)知，b點在點在x方方 向的位移為向的位移為 圖 2.3-1 等直梁在不同方向的剛度等直梁在不同方向的剛度 ej pl yb 3 3 確定沿確定沿y方向方向的剛度時，在的剛度時，在b點沿點沿y方向加一方向加一 橫向力橫向力

9、p。 桿作彎曲變形，根據(jù)材料力學(xué)桿作彎曲變形，根據(jù)材料力學(xué) 知，知，b點沿點沿y方向的位移方向的位移 b點沿點沿y方向的剛度系數(shù)為方向的剛度系數(shù)為 3 3 l ej y p k y b 等直梁在不同方向的剛度等直梁在不同方向的剛度 桿件作轉(zhuǎn)扭，產(chǎn)生扭角桿件作轉(zhuǎn)扭，產(chǎn)生扭角， 根據(jù)材料力學(xué)知，根據(jù)材料力學(xué)知，b點沿點沿x軸的扭軸的扭 角為角為 gj ml b l gj m k b 確定繞確定繞x軸的轉(zhuǎn)動方向軸的轉(zhuǎn)動方向的剛度，需要在的剛度，需要在b端端 繞繞x軸轉(zhuǎn)動方向加一扭矩軸轉(zhuǎn)動方向加一扭矩m。 b點繞點繞x軸轉(zhuǎn)動方向的剛度系數(shù)為軸轉(zhuǎn)動方向的剛度系數(shù)為 螺旋彈簧在不同方向的剛度螺旋彈簧在不同

10、方向的剛度 對于螺旋彈簧，在承受軸向拉伸或壓縮、扭對于螺旋彈簧，在承受軸向拉伸或壓縮、扭 轉(zhuǎn)與彎曲變形時，剛度系數(shù)分別為轉(zhuǎn)與彎曲變形時，剛度系數(shù)分別為 444 3 1 , 8643212 gdeded kkk ndndndeg 式中式中e為彈性模量，為彈性模量，g為剪切模量，為剪切模量，d、d分別分別 為簧絲、簧圈直徑，為簧絲、簧圈直徑，n為彈簧有效圈數(shù)。為彈簧有效圈數(shù)。 工程中用到的彈簧類型很多，計算時需工程中用到的彈簧類型很多，計算時需 要其剛度系數(shù)，一般可以根據(jù)等效剛度系數(shù)的要其剛度系數(shù)，一般可以根據(jù)等效剛度系數(shù)的 推證方法加以推導(dǎo)。推證方法加以推導(dǎo)。 串、并聯(lián)彈簧的等效剛度的計算串、并

11、聯(lián)彈簧的等效剛度的計算 圖圖2.3-2(a)是兩個是兩個串聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧，剛度系數(shù)分，剛度系數(shù)分 別為別為k1和和k2。b點的位移及等效剛度系數(shù)為點的位移及等效剛度系數(shù)為 21 21 kk kk x f k b 21 k f k f xb 串聯(lián)彈簧的作用使系統(tǒng)中的彈簧剛度降低。串聯(lián)彈簧的作用使系統(tǒng)中的彈簧剛度降低。 如果有如果有n個彈簧串聯(lián)，剛度系數(shù)分別為個彈簧串聯(lián)，剛度系數(shù)分別為k1, k2, , kn，則等效剛度系數(shù)則等效剛度系數(shù)k應(yīng)滿足關(guān)系式應(yīng)滿足關(guān)系式 n iin kkkkk 121 11111 (2.3-2) 圖 2.3-2 串、并聯(lián)彈簧的等效剛度的計算串、并聯(lián)彈簧的等效剛度的計算 圖圖2.3-2(b)是兩個是兩個并聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧，剛度系，剛度系 數(shù)分別為數(shù)分別為k1和和k2。兩個彈簧所受的力分別。兩個彈簧所受的力分別 為為k1xb、k2xb 并聯(lián)彈簧的系統(tǒng)剛度是原來的彈簧剛并聯(lián)彈簧的系統(tǒng)剛度是原來的彈簧剛 度的總和，比原來各彈簧的剛度都要大。度的總和，比原來各彈簧的剛度都要大。 如果有如果有n個彈簧并聯(lián)，其彈簧剛度系數(shù)分別為個彈簧并聯(lián)，其彈簧剛度系數(shù)分別為k1, k2, , kn， 則等效剛度系數(shù)為則等效剛度系數(shù)為 n i in kkkkk 1 21 (2.3-3) 21 kk x f k b b點的等效剛度：點的等效剛度： bb