連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析xin

1、線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應 沖激響應和階躍響應沖激響應和階躍響應 卷積積分卷積積分 系統(tǒng)的微分算子方程系統(tǒng)的微分算子方程 第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析連續(xù)系統(tǒng)的時域分析 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 元一階微分方程狀態(tài)變量描述 階微分方程一元輸入輸出描述 : : n n 系統(tǒng)分析方法：系統(tǒng)分析方法：主要有時域分析法和變換域（頻域）分析法。 時域分析方法時域分析方法: :不涉及任何變換，直接求解系統(tǒng)的微分、積分 方程式，這種方法比較直觀，物理概念比較清楚，是學習各 種變換域方法的基礎。 系統(tǒng)分析：系統(tǒng)分析：已知輸入信號和系統(tǒng)模型分析輸出。 系統(tǒng)模型：系

2、統(tǒng)模型：系統(tǒng)物理特性的數學抽象。數學表達式主要用 于系統(tǒng)計算；系統(tǒng)方框圖主要用于系統(tǒng)仿真。 系統(tǒng)描述方法：系統(tǒng)描述方法：連續(xù)時間系統(tǒng)的數學模型通常用微分方程 描述。有兩種描述方法。 （系統(tǒng)分析簡介） 2.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應 2.1.1 2.1.1 系統(tǒng)的描述及微分方程的列寫系統(tǒng)的描述及微分方程的列寫 描述線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的數學模型是線性常系數描述線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的數學模型是線性常系數 微分方程。微分方程。 )( )()( )( )()()( 0 1 1 1 0 2 2 2 1 1 1 teb dt ted b dt ted b tya dt tyd a

3、 dt tyd a dt tyd m m m m m m n n n n n n n n 式中式中an-1，a1，a0和和bm， bm-1，b1，b0均為常數均為常數 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 1. 1.根據實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。根據實際系統(tǒng)的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。 2.2.對于電路系統(tǒng)，對于電路系統(tǒng)，列寫數學模型的基本依據：列寫數學模型的基本依據： 1) 1)元件特性約束特性元件特性約束特性 2)2)網絡拓撲約束特性網絡拓撲約束特性 元件特性約束元件特性約束：表征元件特性的關系式。：表征元件特性的關系式。 網絡拓撲約束網絡拓撲約束：由網絡結構決定的電壓

4、電流約：由網絡結構決定的電壓電流約 束關系束關系,kcl,kcl，kvlkvl。 (2) (2)電感電感l(wèi) l， (3)(3)電容電容c c， (4)(4)互感互感( (同、異名端連接同、異名端連接) )、理想變壓器等原、副邊電壓、理想變壓器等原、副邊電壓、 電流關系等。電流關系等。 0 0 ()1 (),( )( ) t l llll t di t u tlii tud dtl 0 0 ( )1 ( ),( )( )( ) t c cccc t dut itcututid dtc 1. 1. 元件約束元件約束varvar 在電流、電壓取關聯(lián)參考方向條件下：在電流、電壓取關聯(lián)參考方向條件下：

5、(1)(1)電阻電阻r ur ur r(t)=r(t)=ri ir r(t (t) )； 2. 2. 結構約束結構約束kclkcl與與kvlkvl 例圖所示電路，激勵是電流源例圖所示電路，激勵是電流源i is s(t (t), ),試列出電流試列出電流i il l(t (t) ) 為響為響 應的方程。應的方程。 is(t) ic(t) u1(t) il(t) r2r1 l + uc(t) _ )( )( )()()()( 2 21 tir dt tdi l tirtututu l l llc 解解 由由kvlkvl，列出電壓方程，列出電壓方程 對上式求導，考慮到對上式求導，考慮到 11 ( )

6、 ( )( )( ) c cc dut itcritu t dt dt tdi r dt tdi l dt tdi r c ti l l cc )()()()( 2 2 2 1 根據根據kclkcl，有，有i ic c(t)=i(t)=is s(t)-i(t)-il l(t (t) )，代入上式，代入上式 2 12 2 2 121 2 ( )( )( )( )1 ( ( )( )() ( )( )( )11 ( )( ) slll sl sll ls di tdi td i tdi t i ti trlr cdtdtdtdt di td i trr di tr i ti t dtldtlcld

7、tlc 結論結論: : 1.lti系統(tǒng)可以通過常系數線性微分方程來描述，而且方系統(tǒng)可以通過常系數線性微分方程來描述，而且方 程的程的右側自由項為激勵，左側為系統(tǒng)響應右側自由項為激勵，左側為系統(tǒng)響應。 2.求解系統(tǒng)的響應轉化為求微分方程的解的問題。求解系統(tǒng)的響應轉化為求微分方程的解的問題。 當當r=r=1,l=0.5,c=1時，則有時，則有 2 2 ( )( )( ) 42 ( )22 ( ) sll ls di td i tdi t i ti t dtdtdt 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 )( d )(d d )(d d )(d )( d )(d d )(d d )(d 1 1

8、 1 10 1 1 1 10 tee t te e t te e t te e trc t tr c t tr c t tr c mm m m m m nn n n n n 激勵：激勵：excitation 響應：響應：response 常系數的常系數的n階線性常微分方程階線性常微分方程: c, e均為常數。 階次階次：r(t)的最高階次減去其最低階次。 n 階線性時不變系統(tǒng)的模型階線性時不變系統(tǒng)的模型 激勵：激勵：e(t)e(t)響應：響應：r(t)r(t) 系統(tǒng)系統(tǒng) 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 微分方程的解：微分方程的解： 完全解齊次解完全解齊次解 + + 特解特解 )()

9、()(trtrtr ph 齊次解齊次解: homogeneous 特解特解: particular 2.1.2 系統(tǒng)微分方程的經典法 1.1.經典解法經典解法 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (1)(1)齊次解齊次解( (homogeneous) 滿足方程：滿足方程：0)( d )(d d )(d d )(d 1 1 1 10 trc t tr c t tr c t tr c hn h n n h n n h n 特征方程：特征方程： 0 1 1 10 nn nn cccc 特征根為：特征根為： n , 21 由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根寫出齊次解形式寫出齊次解形式 分

10、三種情況討論分三種情況討論（都有n個待定系數ai ）： )sincos(t)r j )()(k )(r 21h 1 2 2 1 1 1 21 2 1 21 tctce eaea eatatatr eaeaeaeat t t n t k t k kk h n i t i t n tt h n in 時：有復數根（成對出現(xiàn)） 次重根時：有 無重根時： 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 解：系統(tǒng)的特征方程為解：系統(tǒng)的特征方程為012167 23 032 2 3 , 2 21 重重根根 特征根特征根 23 123 ee0 tt h r tataat 對應的齊次解為對應的齊次解為 的齊次解。

11、例：求微分方程tetrtr t tr t tr t 12 d d 16 d d 7 d d 2 2 3 3 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (2)(2)特解特解( particular) 將將e(t)e(t)代入方程的右端，整理得到代入方程的右端，整理得到自由項自由項; ; 根據根據自由項自由項形式，設特解（形式，設特解（p46p46）；）； 將特解函數式將特解函數式代入原方程代入原方程； 比較系數得出待定系數，從而得到特解。比較系數得出待定系數，從而得到特解。 滿足方程：滿足方程： )( d )(d d )(d d )(d )( d )(d d )(d d )(d 1 1 1 1

12、0 1 1 1 10 tee t te e t te e t te e trc t tr c t tr c t tr c mm m m m m pn p n n p n n p n 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 如果已知：如果已知： 分別求兩種情況下此分別求兩種情況下此 方程的特解。方程的特解。 ,e 2 ; 1 2t tette te t te tr t tr t tr d d 3 d d 2 d d 2 2 例：給定微分方程式例：給定微分方程式 32 2 1p btbtbtr 為使等式兩端為使等式兩端 ,2 , 1 22 tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端將將 平衡

13、，試選特解函數式平衡，試選特解函數式 將此式代入方程得到： 為待定系數。這里 321 , , bbb ttbbbtbbtb2322 343 2 32121 2 1 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 等式兩端各對應冪次的系數應相等，于是有等式兩端各對應冪次的系數應相等，于是有 0322 234 13 321 21 1 bbb bb b 聯(lián)解得到聯(lián)解得到 27 10 , 9 2 , 3 1 321 bbb 所以，特解為所以，特解為 27 10 9 2 3 1 2 p tttr ttbbbtbbtb2322 343 2 32121 2 1 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 這里，

14、這里，b是待定系數。代入方程后有：是待定系數。代入方程后有： 。可可選選很很明明顯顯時時當當 tt btrtee , ,e ttttt bbbeee3e2e 3 1 b t p et r 3 1 )( 于是，特解為 (2) te t te tr t tr t tr d d 3 d d 2 d d 2 2 相加和特解齊次解方程的完全解：求出的trtr ph tra)t(r)t(rtr n i t ph i p 1 ie 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 微分方程的解與系統(tǒng)響應的關系：微分方程的解與系統(tǒng)響應的關系： 自由響應：自由響應：由系統(tǒng)自身特性決定。rh(t) 強迫響應：強迫響應：

15、與外加激勵信號有關。rp(t) 自然頻率：自然頻率：特征方程的特征根i 自然頻率。自由頻率也稱為系統(tǒng)的固有頻率,)21(,n,i i 微分方程的解：完全解微分方程的解：完全解 齊次解齊次解 特解特解 系統(tǒng)的響應：系統(tǒng)的響應： 全響應自由響應強迫響應全響應自由響應強迫響應 問題：問題：要得到完全解，還需要確定系數ai ？ 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例給定系統(tǒng)的微分方程例給定系統(tǒng)的微分方程 )(8)(10)(3)( 2 2 tetyty dt d ty dt d 若激勵信號為若激勵信號為 , 初始狀態(tài)為初始狀態(tài)為 t ete 3 )( 求系統(tǒng)的響應求系統(tǒng)的響應y(t). 4)0(

16、, 1)0( yy 解：1)求對應齊次方程的通解 系統(tǒng)的特征方程為 )(ty h 0103 2 特征根為: 1=5 ,2=-2 對應的齊次解為: tt h eaeaty 2 2 5 1 )( 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2)求特解 )(ty p 將 t ete 3 )( 代入方程右端,得 t etyty dt d ty dt d 3 2 2 8)(10)(3)( 選特解函數式t p bety 3 )( b為待定系數,代入方程后有: tttt ebebebe 3333 81099 1b 特解為: t p ety 3 )( 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 3)求完全解y

17、(t) ttt ph eeaeatytyty 32 2 5 1 )()()( 由初始條件確定常數a1,a2. 4325)0( 11)0( 21 21 aay aay 1 1 2 1 a a 得 所以,系統(tǒng)響應為ttt eeety 325 )( t0 自由響應自由響應強迫響應強迫響應 暫態(tài)響應暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應 根據初始條件根據初始條件: )1, 1 ,0)(0( )( nky k 確定式中常數確定式中常數a. 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2 2、系統(tǒng)的二個狀態(tài)、系統(tǒng)的二個狀態(tài) 0 0時刻：激勵加入的計時起點定義為時刻：激勵加入的計時起點定義為0 0時刻。時刻。 0 0 狀

18、態(tài)：激勵加入之前瞬間的狀態(tài)。 狀態(tài)：激勵加入之前瞬間的狀態(tài)。 0 0 狀態(tài)：激勵加入之后 狀態(tài)：激勵加入之后瞬間瞬間的狀態(tài)。的狀態(tài)。 o 0 0 t 微分方程的解微分方程的解r(t)的的t域空間：域空間： 0t理解： 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 0 e p 1 i ttratr n i t i 要確定要確定 ai ，需要知道，需要知道r(t)在在0 0 時刻的初始條件 時刻的初始條件 0狀態(tài)、初始條件 1 1 2 2 d 0d , d 0d , d 0d ,00 n n k t r t r t r rr 狀態(tài)、起始狀態(tài) 0 1 1 2 2 d 0d , d 0d , d 0d

19、,00 n n k t r t r t r rr 跳變量跳變量 3 3、確定、確定 ai 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 一般情況下，換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電一般情況下，換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電 流不會發(fā)生突變（換路定則）流不會發(fā)生突變（換路定則） 。 對于一個具體的電網絡，系統(tǒng)的對于一個具體的電網絡，系統(tǒng)的0_狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能 元件的儲能情況。元件的儲能情況。 但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用 于電感，于電感，0_到到0+狀態(tài)就會發(fā)生跳變。狀態(tài)就會發(fā)生跳變。 4、系

20、統(tǒng)狀態(tài)及說明、系統(tǒng)狀態(tài)及說明 系統(tǒng)變量的系統(tǒng)變量的0+狀態(tài)決定微分方程的狀態(tài)決定微分方程的0+狀態(tài)，但通常要經過狀態(tài)，但通常要經過 轉換計算轉換計算（經典法）（經典法）。 當系統(tǒng)已用微分方程表示時，微分方程的當系統(tǒng)已用微分方程表示時，微分方程的0_狀態(tài)已知，從狀態(tài)已知，從 0_狀態(tài)到狀態(tài)到 0+狀態(tài)有沒有跳變，取決于微分方程右端自由項是狀態(tài)有沒有跳變，取決于微分方程右端自由項是 否包含否包含 (t)及其各階導數及其各階導數（匹配法）（匹配法）。 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2.1.3 初始條件的確定（起始點的跳變初始條件的確定（起始點的跳變從從0-到到0+ ） 一般情況下，換路

21、期間電容兩端的電壓和流過電感中的電一般情況下，換路期間電容兩端的電壓和流過電感中的電 流不會發(fā)生突變（換路定則）流不會發(fā)生突變（換路定則） 。 對于一個具體的電網絡，系統(tǒng)的對于一個具體的電網絡，系統(tǒng)的0_狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能狀態(tài)就是系統(tǒng)中儲能 元件的儲能情況。元件的儲能情況。 但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用但是當有沖激電流強迫作用于電容或有沖激電壓強迫作用 于電感，于電感，0_到到0+狀態(tài)就會發(fā)生跳變。狀態(tài)就會發(fā)生跳變。 1 1電容電壓或電感電流的跳變電容電壓或電感電流的跳變 1 1）電容電壓的突變）電容電壓的突變 x 由伏安關系由伏安關系 t cc i c tv d)( 1

22、 )( 0 00 11 (0 )( )d( )d t ccc vii cc 0 0 1 0 ,(0 )(0 )( )d ccc tvvi c 令 為有限值為有限值如果如果)(tic ttic 為為如果如果)( )0()0( cc vv此時此時 c vv cc 1 )0()0( 此時此時 當有沖激電流當有沖激電流 或階躍電壓作或階躍電壓作 用于電容時：用于電容時： )0()0( cc vv c )(tvc )(tic x 2）電感電流的突變 t ll v l ti d)( 1 )( 0 0 d)( 1 )0()0( lll v l ii )0()0( ll ii此時此時如果為有限值，如果為有限值

23、， )(tvl ，為為如果如果 )()(ttvl 00 ll ii 此時 沖激電壓或階沖激電壓或階 躍電流作用于躍電流作用于 電感時：電感時： )0()0( ll ii - + vl(t) x 綜合綜合1)和和2)可得可得: 當電容有當電容有階躍電壓階躍電壓或者或者沖激電流沖激電流加入時加入時, 電容的電壓電容的電壓v0-到到v0+會出現(xiàn)跳變會出現(xiàn)跳變; 當電感有當電感有沖激電壓沖激電壓或者或者階躍電流階躍電流加入時加入時, 電感的電流電感的電流i0-到到i0+會出現(xiàn)跳變會出現(xiàn)跳變. 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2 2、沖激函數匹配法求跳變量、沖激函數匹配法求跳變量（難點）（難

24、點） 當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從當系統(tǒng)用微分方程表示時，系統(tǒng)從0- 0- 到到0+ 0+ 狀態(tài)有沒有狀態(tài)有沒有 跳變取決于微分方程的跳變取決于微分方程的 0 0時刻方程時刻方程 右端是否包含右端是否包含 及其及其 各階導數項。各階導數項。 t 引入函數： 其它0 00 1 )( t tu 相對單位跳變函數 o 0 0 t )(tu 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 ttrtr t 33 d d 0,0rr求求已知已知例例： ttrtr dt d 33 tt 33 t 3 t 9 t 9 tu 9 3 t =0 時刻時刻: 在在t=0時刻時刻 )(9)(3)(tuttr 在在t=0

25、時刻時刻 )(9)(3 )( tt tr 包含 900 rr 900 rr即即 所以，所以， 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 tubtatr ttubtatuctbta333 tuctbtatr t d d 設設 (2)(2)逐次積分，一直到得到逐次積分，一直到得到r(t)r(t) (3)(3)代入原方程代入原方程 03 3 ab a 沖激函數匹配法步驟：沖激函數匹配法步驟： (1)(1)考察方程兩邊，右邊關于考察方程兩邊，右邊關于 的最高階項肯定由左邊的最高階項肯定由左邊r( (t) )的的 最高階產生，由此先設最高階產生，由此先設r( (t) )的最高階項。的最高階項。 )(t

26、 ttrtr t 33 d d (4)(4)按左右兩端各按左右兩端各 系數相等求得各待系數相等求得各待 定參量。定參量。 )(t -9 3 b a 即： (5)(5)求跳變量的大小求跳變量的大?。?900 brr 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 。和用沖激函數匹配法求 和如圖，已知輸入 為：描述系統(tǒng)的微分方程例 0 d d 0 , 00 d d 5 4 0 )( 4 d d 6 d d 10 d d 7 d d 6-2 2 2 2 2 r t r r t rte tete t te t trtr t tr t （1）將e(t)代入微分方程，得 0時刻方程： trtr t tr t

27、10 d d 7 d d 2 2 tutt 8122 te 2 4 ot 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 方程右端的沖激函數項最高階次是 ，因而設 t tuatr tubtatr td d tuctbtatr td d 2 2 tutttrtr td d tr td d 8122107 2 2 代入微分方程 tuatubtatuctbta 107 tutt 8122 (2) 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2, 2, 2 8107 127 2 cba abc ab a 求得 002 dd 002 dd rra rrb tt 因而有 狀態(tài)為所求的 0 20 d d 20

28、d d 5 14 5 4 2020 r t r t rr tuatr tubtatr t tuctbtatr t d d d d 2 2 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 沖激函數匹配法的關鍵問題：沖激函數匹配法的關鍵問題： 準確寫出系統(tǒng)從準確寫出系統(tǒng)從0 0 到 到0 0+ +時刻滿足的微分方程；時刻滿足的微分方程； 掌握沖激函數匹配法的各個步驟；掌握沖激函數匹配法的各個步驟； 掌握求跳變量大小的方法。掌握求跳變量大小的方法。 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 ( )( )( ) hp y ty tyt 自由響應強迫響應自由響應強迫響應 零輸入響應零狀態(tài)響應零輸入響應零狀

29、態(tài)響應 暫態(tài)響應暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應 ( )( )( ) zizs y tytyt 2.1.4 零輸入響應與零狀態(tài)響應零輸入響應與零狀態(tài)響應 系統(tǒng)的完全響應可分為：系統(tǒng)的完全響應可分為： 系統(tǒng)的完全響應也可分為：系統(tǒng)的完全響應也可分為： 零輸入響應零輸入響應：當激勵信號為：當激勵信號為0時，僅由起始狀態(tài)所產生的響應。時，僅由起始狀態(tài)所產生的響應。 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應：當起始狀態(tài)：當起始狀態(tài) 時，僅由激勵信號所產生的響應。時，僅由激勵信號所產生的響應。 0)0 ( )( k y he(t),x(0) e(t) y(t)=yzs(t)+yzi(t) =h e(t)+ h x(0) 信號與系

30、統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 1.零輸入及零狀態(tài)的線性零輸入及零狀態(tài)的線性 1）響應的分解性）響應的分解性 系統(tǒng)響應可分解為零狀態(tài)響應和零輸入響應；系統(tǒng)響應可分解為零狀態(tài)響應和零輸入響應； 2）零狀態(tài)的線性）零狀態(tài)的線性 當起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的響應當起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的響應yzs(t)與與e(t)成線性；成線性； 3) 零輸入的線性零輸入的線性 當外加激勵當外加激勵e(t)為零時，系統(tǒng)的響應為零時，系統(tǒng)的響應yzi(t)與起始狀態(tài)與起始狀態(tài) 成線性；成線性； he(t),x(0) e(t) y(t)=yzs(t)+yzi(t) =h e(t)+ h x(0) 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)

31、時間系統(tǒng)的時域分析 tuttr t 2sine2)( 3 1 已知一線性時不變系統(tǒng)，在相同起始狀態(tài)下，當激勵為已知一線性時不變系統(tǒng)，在相同起始狀態(tài)下，當激勵為e(t) 時，其全響應為時，其全響應為 ；當激勵為；當激勵為2e(t)時，時， 其全響應為其全響應為 。求：。求： (1)起始狀態(tài)不變，當激勵為起始狀態(tài)不變，當激勵為e(t-t0) 時的全響應時的全響應r3，為大，為大 于零的實常數。于零的實常數。 (2)起始狀態(tài)增大起始狀態(tài)增大1倍，當激勵為倍，當激勵為0.5e(t)時的全響應。時的全響應。 解：設零輸入響應為解：設零輸入響應為rzi(t) ，零狀態(tài)響應為，零狀態(tài)響應為rzs(t)，則有

32、，則有 )()2sin(e2)()()( 3 zszi1 tuttrtrtr t )( 2sin2e)( 3 2 tuttr t 例題：例題： )()2sin(2e )(2)()( 3 zszi2 tuttrtrtr t 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 )()22sin(e)(e3 )()()( )()2sin(e)( )(e3)( 00 )( 33 0zszi3 3 zs 3 zi 0 ttutttu ttrtrtr tuttr tutr ttt t t tut tuttu trtrtr t tt 2sin5 . 0e5 . 5 2sine5 . 0e32 )(5 . 0)(2)

33、( 3 33 zszi4 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例題：某例題：某lti系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)微分方程為 ，若激勵信，若激勵信 號和起始狀態(tài)為號和起始狀態(tài)為:e(t)=u(t),r(0-)=0,，試求出系統(tǒng)響應，試求出系統(tǒng)響應. t aetr 3 1h )( 齊次通解為： ) () (2) (3) (tetetrtr 0 3 1 )( 3 1 taetr t 全解為： )()(3)( 11 tutrtr解：可令方程右側為解：可令方程右側為 u(t)，則有，則有 把把r (0+)= r(0-)= 0代入可得：代入可得：a=-1/3 )()(2)( 11 trtrtr )() 1(

34、 3 1 )( 3 1 tuetr t 可設特解為：可設特解為：r1p(t)=b，則帶入方程可得，則帶入方程可得b=1/3 因此因此r1(t)為：為： 根據系統(tǒng)的線性及微積分根據系統(tǒng)的線性及微積分 特性可得系統(tǒng)全響應為：特性可得系統(tǒng)全響應為： )() 15( 3 1 3 tue t 結論：結論：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應也可以利用線性及微積分性等性質來求解。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應也可以利用線性及微積分性等性質來求解。 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 ( ) zi yt )0( )(k y 零輸入響應零輸入響應 ：當激勵信號：當激勵信號 e(t) = 0時，由起始狀時，由起始狀 態(tài)態(tài) 所產生的響應。

35、所產生的響應。 零輸入響應為零輸入響應為 1 ( ) k n t zizik k yta e 其中待定系數由起始條件其中待定系數由起始條件 來確定。來確定。)0( )(k y 2. 零輸入響應與零狀態(tài)響應經典解法零輸入響應與零狀態(tài)響應經典解法 )0( 1.1 , 0)0()0( 0)( )()()( )()( 0 2 2 2 1 1 1 原因：激勵為nkyy tya dt tyd a dt tyd a dt tyd zi k zi k zi n zi n n n zi n n n zi n 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應 ：當起始狀態(tài)：當起始狀態(tài) 時，由激勵時

36、，由激勵 信號信號e(t) 所產生的響應。所產生的響應。 0)0( )( k y )(tyzs 零狀態(tài)響應的形式為：零狀態(tài)響應的形式為： 1 ( )( ) k n t zszskp k yta eyt 其中系數其中系數azsk由由y(k)zs(0+)來確定。來確定。 1.1 , 00)0( )(. )( )( )()( )( 00 1 1 1 nky teb dt ted btya dt tyd a dt tyd k m m m n n n n n 注意注意： y(k)zs(0+)與與 y(k)zs(0-)不一定相同。不一定相同。 當方程右側有沖激函數或者其各階導數，會有跳變，當方程右側有沖激

37、函數或者其各階導數，會有跳變， 應使用沖激函數平衡法。應使用沖激函數平衡法。 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例題：某例題：某lti系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)微分方程為 ，若激勵信號，若激勵信號 和起始狀態(tài)為和起始狀態(tài)為:e(t)=u(t),r(0-)=1,，試分別求出零輸入響應、，試分別求出零輸入響應、 零狀態(tài)響應及全響應零狀態(tài)響應及全響應. t zi aetr 3 )( 通解為： ( )3 ( )2 ( )r tr te t 0)( 3 tetr t zi 0)(3)(trtr zizi 解：由已知得：解：由已知得：e(t)= u(t),r(0-)=1 ，設，設rzi(t)和和rzs(

38、t)分別為分別為 零輸入響應和零狀態(tài)響應。零輸入響應和零狀態(tài)響應。 1）零輸入響應）零輸入響應rzi(t)，則有，則有rzi (0-)= rzi (0+)= 1,且輸入為零，且輸入為零， 即方程右側為零。即方程右側為零。 把把rzi (0+)=1代入可得：代入可得：a=1 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 (0 )(0 )0 zizi rr -3 a t e齊次解為： 2 3b=2b= 3 () 3 () 2 () zszs r tr tut 2）零狀態(tài)響應）零狀態(tài)響應rzs(t)，則有，則有rzs (0-)= 0,且輸入為且輸入為:e(t)=u(t),因此 通解為：通解為： 設特解

39、為設特解為b： 3 2 ( ) 3 t zs r tae 方程右側沒有沖激函數及其導數，因此有：方程右側沒有沖激函數及其導數，因此有： 3 22 ( )0 33 t r tet 3 22 ( )t0 33 t zi rte 通解為： 因此全響應為因此全響應為 22 (0 )0 33 zs raa 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例題：某例題：某lti系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)微分方程為 ，若激勵信號，若激勵信號 和起始狀態(tài)為和起始狀態(tài)為:e(t)= (t),r(0-)=1,，試分別求出零輸入響應、，試分別求出零輸入響應、 零狀態(tài)響應及全響應零狀態(tài)響應及全響應. t zi aetr 3 )(

40、 通解為： ( )3 ( )2 ( )r tr te t 0)( 3 tetr t zi 0)(3)(trtr zizi 解：由已知得：解：由已知得：e(t)= (t),r(0-)=1 ，設，設rzi(t)和和rzs(t)分別為分別為 零輸入響應和零狀態(tài)響應。零輸入響應和零狀態(tài)響應。 1）零輸入響應）零輸入響應rzi(t)，則有，則有rzi (0-)= rzi (0+)= 1,且輸入為零，且輸入為零， 即方程右側為零。即方程右側為零。 把把rzi (0+)=1代入可得：代入可得：a=1 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2)0(2)0()0( zizizi rrr 3 ( ) t z

41、s rtbe 通解為： )()( )()()( tuatr tubtatr zi zi ) t ( ) t (r) t (r zszs 2=3+ 2）零狀態(tài)響應）零狀態(tài)響應rzs(t)，則有，則有rzs (0-)= 0,且輸入為且輸入為:e(t)= (t),因此 代入微分方程可得：代入微分方程可得： 注意：方程右側含有沖激函數，因此注意：方程右側含有沖激函數，因此0-到到0+有跳變。有跳變。 03 2 ab a )(2)(3)()(ttuatubta 根據左右兩側沖激函數匹配可得：根據左右兩側沖激函數匹配可得： 03)( 3 tetr t 0t2)( 3 t zi etr通解為： 因此全響應為

42、因此全響應為 由沖激函數匹配法，在由沖激函數匹配法，在t=0時刻可以設：時刻可以設： 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 沖激響應沖激響應:系統(tǒng)在單位沖激信號系統(tǒng)在單位沖激信號 (t)的的激勵激勵下產生的零狀下產生的零狀 態(tài)響應態(tài)響應.記作記作h(t). 階躍響應階躍響應:系統(tǒng)在單位階躍信號系統(tǒng)在單位階躍信號u(t)的的激勵激勵下產生的零狀下產生的零狀 態(tài)響應態(tài)響應.記作記作g(t). h (t)h(t)=h (t) h u(t)g(t)=h u (t) 對于對于lti系統(tǒng)系統(tǒng),h(t)與與g(t)之間關系之間關系: t dhtg tg dt d th )()( )()( 2.2 沖激

43、響應和階躍響應沖激響應和階躍響應 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 對于線性系統(tǒng)對于線性系統(tǒng),沖激響應沖激響應h(t) 滿足方程滿足方程 )()()()( )()()()( 1 )1( 1 )( 0 1 1 1 1 tetetete thcth dt d cth dt d cth dt d mm mm nn n n n n 及起始狀態(tài)及起始狀態(tài) ) 1,.,1 , 0(0)0( )( nkh k 2.2.1 沖激響應沖激響應 x 例 解：解： 0)0()0( )(2)()(3)(4)( hh ttththth 求特征根求特征根3, 1034 21 2 通解為：通解為： )()ee()

44、( 3 21 tuaath tt 求系統(tǒng)求系統(tǒng) 的沖激響應。的沖激響應。 )(2)()(3)(4)(tetetrtrtr 由已知可得由已知可得 x 求0+定系數 )()( )()()( )()()()( tuath tubtath tuctbtath 設 )(2 d )(d )(3 d )(d 4 d )(d 2 2 t t t th t th t th tt aath 3 21 ee)( 20,10 hh 代入代入h(t),得得 2 1 2 1 230 10 2 1 21 21 a a aah aah )( 2 1 )( 3 tueeth tt 5 2 1 034 24 1 c b a ab

45、c ab a 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例題：某例題：某lti系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)微分方程為 ，試求出系，試求出系 統(tǒng)的沖激響應統(tǒng)的沖激響應. 0)( 3 taeth t 齊次通解為： ) () (2) (3) (tetetrtr )()()( )()()()( tubtath tuctbtath 0)0 ( )()(2)(3)( h ttthth 解：由已知可得，則有解：由已知可得，則有 代入微分方程可得：代入微分方程可得： )()(2)()()( 3)()()(ttttubtatuctbta 確定確定h(0+),可用沖激函數平衡法，在可用沖激函數平衡法，在t=0時可設時可設

46、 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例題：某例題：某lti系統(tǒng)微分方程為系統(tǒng)微分方程為 ，試求出系，試求出系 統(tǒng)的沖激響應統(tǒng)的沖激響應. ) () (2) (3) (tetetrtr 代入微分方程可得：代入微分方程可得： 15 5 2 03 13 2 c b a bc ab a 因此有：因此有： )(2)(5)( 3 ttueth t 5)0(5)0( rr 因此有：因此有：a=-5系統(tǒng)沖激響應為系統(tǒng)沖激響應為 x 總結 沖激響應的求解至關重要沖激響應的求解至關重要。 沖激響應的定義沖激響應的定義 零狀態(tài)；零狀態(tài)； 單位沖激信號單位沖激信號作用下，系統(tǒng)的響應為沖激響應。作用下，系統(tǒng)的

47、響應為沖激響應。 沖激響應說明：沖激響應說明：在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況在時域，對于不同系統(tǒng)，零狀態(tài)情況 下加同樣的激勵下加同樣的激勵 ，看響應，看響應 ， 不同，說明其不同，說明其 系統(tǒng)特性不同，系統(tǒng)特性不同，沖激響應沖激響應可以衡量系統(tǒng)的可以衡量系統(tǒng)的特性特性。 t )(th)(th 用用變換域變換域( (拉氏變換拉氏變換) )方法求方法求沖激響應和階躍響應簡沖激響應和階躍響應簡 捷方便，但時域求解方法直觀、物理概念明確。捷方便，但時域求解方法直觀、物理概念明確。 如果描述系統(tǒng)的微分方程是式如果描述系統(tǒng)的微分方程是式 g(n)(t)+a n-1 g(n-1)(t)+a1g(1)(t)

48、+a0g(t)= bmu(m)(t)+bm-1 u (m-1)(t) +b1u(1)(t)+b0u(t) ， 法一）法一）經典解法經典解法 可可求得其特解求得其特解 特征根特征根i(i=1i(i=1，2 2，n)n)均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應的均為單根，則系統(tǒng)的階躍響應的 一般形式一般形式(nm)(nm)為為 法二）法二） 0 0 ( ) b u t a 0 1 0 ( )() ( ) i n t i i b g tceu t a 2.2.2 2.2.2 階躍響應階躍響應 由于 ( )( ) t u td t dhtg)()( 反之 dt tdg th )( )( 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間

49、系統(tǒng)的時域分析 2.3.12.3.1卷積定義卷積定義 在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要將在信號分析與系統(tǒng)分析時，常常需要將信號分解信號分解 為基本信號為基本信號的形式。的形式。 2.3 2.3 卷積積分卷積積分 當當0時時 上式變?yōu)樯鲜阶優(yōu)?dtf tf tutu ftf )()( )()(lim ()( )(lim)( 0 0 ） 我們定義我們定義 )()()()(ttfdtf )()(ttf 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 d 21 tfftf 卷積定義：卷積定義： 設兩個函數設兩個函數f1(t)、 f2(t)，則稱如下運算為函數，則稱如下運算為函數f1(t)與與 f2(t)卷

50、積。卷積。 1. 1.解析計算解析計算 例：已知例：已知f1(t)(t)=e-3t u(t)u(t)，f f2(t)=(t)=e-5t u(t)u(t)，試計算兩信號的卷積，試計算兩信號的卷積 f f1 1(t)(t)* *f f2 2(t)(t)。 解：解： 2.3.2 卷積積分的計算 dtfftftf )()()()( 2121 dtueue t )()( )(53 00 0 0 )(53 t tdee t t 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 deedee t t t t 0 25 0 )( 53 )( 2 1 ) 1( 2 1 5325tttt eeee )()( 2 1 )

51、()( 53 21 tueetftf tt 2. 2. 圖解計算圖解計算 d 21 tfftf )(tf)(f(f2. 2 時延 2 倒置 2 ) )()(. 3 21 tff相乘： d)(. )(. 4 21 tff積分： )()()()(, . 1 2211 ftfftf其中積分變量改為 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例：例： 已知已知 分別如下圖分別如下圖(a)(a)，(b)(b)所示。試用圖解法求兩信號的卷積所示。試用圖解法求兩信號的卷積 y(t)=f(t)y(t)=f(t)* *h(t)h(t)。 t0 01 )(h t0 20 )( 其他 ， 其他 tt t ttt

52、tf 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t dthfthtf )()()()( 0) 1t 0 0 ) 2 tt t 0)()( thtf dthtf t 0 1)()( 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t 0 2 ) 3 tt tt ttt tt 2 2 ) 4 dthtf t tt 1)()( dthtf

53、 t tt 2 1)()( -3t -2t t 0 t 2t 3t 4t ttt2) 5 0)()(thtf 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 綜合各段結果，有：綜合各段結果，有： 2 2 23 0(0) 1 (0) 2 1 ( )( )( )(2 ) 2 13 (23 ) 22 0(3 ) t ttt y tf th ttttttt ttttttt tt 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 x(t) 0 t 1 2 h(t) -1/210 t 1 例例 已知信號已知信號x(t)與與h(t)如下圖所示，求如下圖所示，求)()()(thtxty 解：解： 0 1 -2 )(h

54、-1/2 1 1 tt-2 )(th )(x 0)(ty 1）當 時， 2 1 t )2()( 2 )(tutu t th )2()()( 2 1 )(tututth ( )( ) ()y txh td 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 2）當 時， 1 2 1 t -1/21 1 tt-2 )(x )(th t dtty 2 1 )( 2 1 1)( 2 1 4416 tt -1/21 1 tt-2 )(th)(x 3）當 ，即當 時 2 1 2, 1tt 2 3 1 t 1 2 1 )( 2 1 1)(dtty 16 3 4 3 t 4）當 ，即當 時， 12 2 1 t3 2

55、3 t 1 2 )( 2 1 1)( t dtty -1/2 1 1 tt-2 )(th )(x 4 3 24 2 tt 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 -1/2 1 1 tt-2 )(x )(th 5）當 ，即 時，12 t3t 0)(ty 30 3 2 3 4 3 24 2 3 1 16 3 4 3 1 2 1 16 1 44 2 1 0 )( 2 2 t t tt tt t tt t ty -1/21 3/2 23t 0 )()()(thtxty 16 15 16 9 0 ( )( )()lim()() k f tf ttdf ktk 2.3.3 卷積積分法求解零狀態(tài)響應卷積

56、積分法求解零狀態(tài)響應 在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)時，將任意信號時，將任意信號f(t) 都分解為沖激信號序列，然后充分利用線性時不變系都分解為沖激信號序列，然后充分利用線性時不變系 統(tǒng)的特性，從而解得系統(tǒng)在任意信號統(tǒng)的特性，從而解得系統(tǒng)在任意信號f(t)激勵下的零狀激勵下的零狀 態(tài)響應態(tài)響應yf(t)。 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y yf(t (t) )為輸入激勵為輸入激勵f(t)f(t)與系與系 統(tǒng)的沖激響應統(tǒng)的沖激響應h(t)h(t)的卷積積分，為的卷積積分，為 ( )( )()( )( ) f ytf t h tdf th t 0 0 ( )( ) ()(

57、) ()()()() ()()()() ( )lim() ()( ) () ( )lim() () kk k f k th t tkh tk f ktkf kh tk f ktkf kh tk f tf ktkf ttd ytf kh tk ( ) ()f t h td 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例：已知某線性時不變系統(tǒng)的沖激響應為例：已知某線性時不變系統(tǒng)的沖激響應為h h (t)(t)= e-5t u(t)u(t)，求，求 當激勵為當激勵為f(tf(t)= )= e-3t u(tu(t) ) 時系統(tǒng)的響應。時系統(tǒng)的響應。 解：系統(tǒng)的響應為解：系統(tǒng)的響應為 dthfthtf

58、)()()()( dtueue t )()( )(53 00 0 0 )(53 t tdee t t deedee t t t t 0 25 0 )( 53 )( 2 1 ) 1( 2 1 5325tttt eeee )()( 2 1 )()( 53 21 tueetftf tt 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 h2(t) h1(t) x(t)()()()( 21 ththtxty )()( 1 thtx )()( 2 thtx h2(t)h1(t) x(t)()()( )()()()( 21 21 ththtx ththtxty )()( 1 thtx 例：求下列兩個串并系統(tǒng)的沖

59、激響應。例：求下列兩個串并系統(tǒng)的沖激響應。 )()()( 21 ththth )()()( 21 ththth 并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應之和。并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于組成并聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應之和。 串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應的卷積。串聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應等于組成串聯(lián)系統(tǒng)的各子系統(tǒng)沖激響應的卷積。 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 例題：圖例題：圖(a)系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)構成，已知各子系統(tǒng)系統(tǒng)由三個子系統(tǒng)構成，已知各子系統(tǒng) 的沖激響應如圖的沖激響應如圖(b)所示。求復合系統(tǒng)的沖激響應所示。求復合系統(tǒng)的沖激響應 ， 并畫出它的波形。并畫

60、出它的波形。 th t th1 o1 1 t th2 o1 1 2 t th o1 1 23 (a) (b) 解：解： thththth 211 如圖（如圖（c）所示）所示 th1 th1 th2 tf ty x(c) 2.3.4 2.3.4卷積積分的性質卷積積分的性質 代數性質代數性質 時移性質時移性質 微分積分性質微分積分性質 信號與系統(tǒng) 第2章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 1. 代數性質代數性質 （1）交換律）交換律) () () () ( 1221 tftftftf （2）分配律）分配律 1231213 () ()()()()() ()f t f t f tf t f t f t f t