電路微分方程解法

1、第七章二階電路用二階線性常微分方程描述的電路稱為二階電路，二階電路中至少含有兩個儲能元件當然含有兩個儲能兀件的電路并不一定為二階電路，比如兩個電容（電感）串（并）聯(lián)情況。重點:1.電路微分方程的建立2.特征根的重要意義3.微分方程解的物理意義難點:1.電路微分的解及其物理意義2.不同特征根的討論計算7.0知識復習、二階齊次微分方程的通解形式ay by cy 0，其特征方程為:2ap bp c 0，特征根：Pb2ab2 4ac4a當特征方程有不同的實根Pi、P2 時，y AePlt e”當特征方程有相同的實根P 時，y (AA2t)ept當特征方程有共軛的復根Pi,2j時,)te t (Ai c

2、os t A2 sin t)、歐拉公式j廣 e cos j sini j-e cos j sinsin( t、cos( tej( t ) e j( t )j2ej(t7.1二階電路的零輸入響應7.1.1二階電路中的能量振蕩在具體研究二階電路的零輸入響應之前，我們以僅僅含電容與電感的理想二階電路（即R=0，無阻尼情況）來討論二階電路的零輸入時的電量及能量變化情況。（d）+圖8-1 LC電路中的能量振蕩c1(b)1cL!設電容的初始電壓為 Uo，電感的初始電流為零。在初始時刻，能量全部存儲于電容中，電感中沒有儲能。此時電流為零，電流的變化率不為零（Uc Ul0， Q 0 ），這樣電流將不斷增大，d

3、tdt原來存儲在電容中的電能開始轉移，電容的電壓開始逐漸減小。當電容電壓下降到零時，電感電壓也為零，此時電流的變化率也就為零，電流達到最大值10,此時電場能全部轉化為電磁能，存儲在電感中。電容電壓雖然為零，但其變化率不為零（ic iL Io C巴C 0， -0 ），電路中的電流dtdt從I0逐漸減小，電容在電流的作用下被充電（電壓的極性與以前不同），當電感中的電流下降到零的瞬間，能量再度全部存儲在電容中，電容電壓又達到，只是極性與開始相反。之后電容又開始放電，此時電流的方向與上一次電容放電時的電流方向相反，與剛才的過程相同，能量再次從電場能轉化為電磁能，直到電容電壓的大小與極性與初始情況一致，

4、電路回到初始情況。上述過程將不斷重復，電路中的電壓與電流也就形成周而復始的等幅振蕩?？梢韵胂螅敶嬖诤哪茉r的情況。一種可能是電阻較小，電路仍然可以形成振蕩， 但由于能量在電場能與電磁能之間轉化時， 不斷地被電阻元件消耗掉， 所以形成的振蕩為減幅振蕩， 即幅度隨著時 間衰減到零；另一種可能是電阻較大， 電容存儲的能量在第一次轉移時就有大部分被電阻消耗掉，電路中的能量已經(jīng)不可能在電場能與電磁能之間往返轉移，電壓、電流將直接衰減到零。7.1.2二階電路的微分方程階電路如下，其中電容電壓的初始值為uc（0 ） uc（0 ） U0，電感電流的初始值為iL(0 ) L(0 )0。S（ t=0）、嚴Ri

5、L(t)+ UL(t)+ 1Uc(t)UL(_j圖8-2 R、L、C串聯(lián)的二階電路根據(jù)該電路列寫電路方程為Uc UrUl 0其電路電流為：iducdt因此：UR Ri RC，URdtdtlcd2Ucdt2RC蝕 Ucdtd2|所以，電路方程為：LC-2Cdt7.1.3二階電路微分方程的求解方程LC害RC普 UC0的特征方程為2LCp RCp 10。特征根為:R2LR 212L LC其中:由特征根的性質（不等的實數(shù)、的初始條件即可得出通解中的待定系數(shù)。7.1.4二階電路特征根的討論分別討論特征根的情況。PiP2R2LR2LR 2 12L LCR2L1LC相等的實數(shù)或共軛的復數(shù)）就可以確定通解的具

6、體形式。再據(jù)電路、過阻尼情況非振蕩放電過程1 過阻尼的條件2，即 R2L LC（ R -C）時，特征根P1、P2為不相等的負實數(shù)。此時固有頻率為不相等的負實數(shù)，2 .過阻尼時的響應當特征根為不相等的實數(shù)時，方程的解的形式為Uc（t） Ae Aze其中:P1P2衛(wèi)R212L . 2LLCRR212L2LLCduCC&，duedtC，且電路的初始條件，匚）Io，有同時Uc (0 ) Uo，iL(0 ) iL(0 )0ducdTIoc因此，初始條件為:Uc(0duc0， -)U- dt代入電路方程Uc (t)AePlt A2eP2t 中,就可以解出其中的待定系數(shù)，得出L(t)Uc(t)-U(PieP

7、i P2P2tPit P?e )c duccu 0Pi P2(ePiteP2t)dt Pi P266U。L(PiP2)(e” eP2t)由此可見，uc(t)和iL(t)均為隨著時間衰減的指數(shù)函數(shù)，電路的響應為非振蕩響應。其中當電流的 變化率為零的時刻tm時電流達到最大值。而:diLdtPitP2tPieP2etm1PiP2Pi3 .過阻尼時的響應曲線t二、臨界阻尼情況1.臨界阻尼的條件2R 12LLC，即2、C2 4L(R)時，特征根 Pi、P2為相等的負實數(shù) P;此時固c有頻率為相等的負實數(shù),2 .臨界阻尼時的響應當方程的特征根相同時，Uc(t) (A A2t)ept，然后可以按照初值求取待

8、定系數(shù)；也可以利用非振蕩放電過程的解，令 p1 p2，取極限得出。非振蕩放電過程的解為:u*c(t)U 0P2t-(Pie2PiP2Pze)，令 piP2R2L,取極限,根據(jù)羅必塔法則:Uc (t) UoP2tPit xd(pieP2e )dp2limp2 pid(p2Pi)Uo(epitpitepit) Uoet(1t)dp2dUcU o tiL(t)藥十由此可見，uc(t)和iL(t)也為隨著時間衰減的指數(shù)函數(shù)，仍然為非振蕩響應。其中tm丄3 .臨界阻尼時的響應曲線臨界阻尼時響應曲線的變化規(guī)律與過阻尼時的情況類似。t三、欠阻尼情況欠阻尼的條件R2LiLC，即2.C(2 4LR)時，特征根P

9、i、P2為一對共軛復數(shù),C其實部為負數(shù)。欠阻尼時的響應令旦2LiLCR 2兀，則微分方程的特征根Pi，P2如圖所示，設及0之間存在三角關系arctg 應。0 cosoSin根據(jù)歐拉公式:ej cose j cos可將特征根寫為:因此:j sinj sinUc (t)UoPiUoPiP2UoiL(t) ic(t) sin(I cos(oe j(PieP2tt ej(P2Pit、P2e )j oee(j )te j(t )j2t sin( tc d%(t)dtej( t ) e j(t )j2ejoee( j )tUo t . e sinL由此可見，uc (t)和iL(t)均為幅值隨著時間按指數(shù)規(guī)

10、律衰減的振蕩函數(shù),電路的響應為衰減振蕩響3 .欠阻尼時的響應曲線4 無阻尼的情況無阻尼情況是欠阻尼的一種特殊情況。當R 0時,，此時的響應2Uc(t)Uo sin( ot2)Uo .丄C .+iL (t)sinotU o ，一 sin otoLL由此可見，uC(t)和iL(t)均為正弦函數(shù)，其幅值不隨時間衰減，電路的響應為等幅振蕩響應，稱為系統(tǒng)的固有頻率，當二階電路的激勵為同頻率的正弦函數(shù)時，稱此時電路發(fā)生了諧振，其物理意義類似7.2二階電路的階躍響應與沖激響應7.2.1二階電路的階躍響應一、定義二階電路在階躍激勵下的零狀態(tài)響應，稱為階躍響應。S (t=0)Ruc(t)C圖8-7 RLC串聯(lián)的

11、二階電路的階躍響應電路二、求解的步驟二階電路的階躍響應的求取類似于一階電路的階躍響應的求取方法。其步驟為1.計算電路的初始值iL(0 )、diLdtUc (0 )、ducdt2 .列寫電路微分方程根據(jù)KCL或KVL定理列寫將電路方程，將其整理成有關電容電壓或電感電流(狀態(tài)變量)的二 階微分方程。3.計算電路方程的特解因為是階躍響應，所以電路方程的特解為常數(shù)A，且A可以根據(jù)初始值最后確定為階躍激勵的強度。4 計算電路方程的通解而電路方程的通解為齊次方程的解，因此根據(jù)其特征方程求得電路方程得特征根為 當s為兩個不相等的實數(shù) p,、p2時，y Aep1t A2eP2tp 時，y (A A2t)ept

12、Pi、P2 時，Pi,2j 時，y e( J )t e，可以直接設電路方程的通解為當s為兩個相同的實根當s為兩個共軛的復根際上，在此情況下(欠阻尼)t (A cos t A2 sin t)。實y Ae tsin( t )。然后用初始值確定其中的待定系數(shù)A與。5.計算電路的初始值原電路方程的解即為通解于特解之和，再根據(jù)電路的初始條件計算出各個待定系數(shù)。這樣即可得出電路方程的解。三、響應曲線可以看出，三種情況下的穩(wěn)F面給出過阻尼、臨界阻尼、欠阻尼三種情況下電路方程的響應曲線,態(tài)值相同。另外，我們再給出衰減振蕩（欠阻尼）與等幅振蕩（零阻尼）情況下的響應曲線示意圖。t722二階電路的沖激響應、定義所謂

13、“二階電路的沖激響應”。實際上是零狀態(tài)的二階電路在沖激源的作用下所產(chǎn)生的響應，即為 二階電路在沖激源作用下，建立一個初始狀態(tài)后產(chǎn)生的零輸入響應。二、解法因此要求解因為已知初始狀態(tài)的二階電路的零輸入響應的求法在前面的章節(jié)中已經(jīng)有詳細的介紹, 二階電路的沖激響應，關鍵在于求出沖激激勵所產(chǎn)生的電路初始值。+) (t)+Uc(t) -+h(t)圖8-10 RLC串聯(lián)的二階電路的沖激響應電路7.4狀態(tài)方程，其中的電容在電路系統(tǒng)中，以電容電壓及電感電流為變量，列寫出的微分方程稱為“狀態(tài)方程”電壓及電感電流初始值即為方程的初始值。狀態(tài)方程在動態(tài)系統(tǒng)的研究中具有十分重要的意義。所謂狀態(tài)變量，是一組數(shù)目最少的、

14、 能夠確定網(wǎng)絡所有變量的動態(tài)變量。前面我們介紹了電路方程的列寫，實際上是用的是輸入 -輸出方法，也就是選取我們需要研究的單個電路變量，列寫它跟輸入函 數(shù)之間的微分方程關系，我們稱它為“輸入-輸出法“。這種方法常常列寫出高階微分方程，其求解存在一些困難，而且一般每一次只能描述一個變量的情況；而列寫電路方程的另一種方法是所謂的“狀態(tài)變量法”，也就是先找出關于一組狀態(tài)變量的一階微分方程，然后找到該組狀態(tài)變量跟激勵函數(shù)的關系（也為一階關系），稱為“輸出方程”?？梢妼τ诟唠A電路的分析而言，狀態(tài)變量分析法一方面為我們提 供了所有動態(tài)變量之間的關系，另外也將求解高階微分方程的問題轉化成為兩次一階方程的求取。

15、電路的狀態(tài)方程形式如下：x Ax Bw其中x為電路中的狀態(tài)變量向量的一階導數(shù)，x為電路中的狀態(tài)變量向量，w為電路的激勵向量（輸入向量），A、B分別為相應的系數(shù)矩陣。電路的輸出方程形式如下：r Cx Dw其中r為電路中的待求響應（輸出相量），x為電路中的狀態(tài)變量向量，w為電路的激勵向量，C、D分別為相應的系數(shù)矩陣。可見該方程組為一組代數(shù)方程組。 由此可見，狀態(tài)方程即為有關一組狀態(tài)變量方程組。 下面我們舉例說明。()us+Uc(t) -+h(t)圖8-10 例題1的電路因為:Us LR ucL 匹dtdu。dtl整理，得:diLR.dtlLdue1 .dtCiL-Uc -UsL L寫成標準式:IIR1UcL L Il 0 Uc CiL(t)UsR2+Uc(t)ic(t)圖8-12 例題2的電路因為:IlUcC ducR2dt整理，得:dUcdtciLR2