橢圓中的常見最值

1、橢圓中的常見最值問題1、 橢圓上的點P到二焦點的距離之積IPFJPF2I取得最大值的點是橢圓短軸的端點，取得最小值的點在橢圓長軸的端點。2 2例1、橢圓 Z 1上一點到它的二焦點的距離之積為 m,則m取得的最大值時，P259點的坐標是。 P(0，3)或(0，-3)2 2例2、已知橢圓方程 篤 爲1( a b 0,a2 b2 c2)p為橢圓上一點，RE是橢圓 a b的二焦點，求IPF1IIPF2I的取值范圍。分析：IPF1IIPF2I (a ex)(a ex) a2 e2x2，(|x| a)當 x a時，|PR |PF2|min=a2 c2 b2，當 x 0時，| PR | PF? a2即 b2

2、 IPF1IIPF2I a22、橢圓上到的橢圓內一個定點的距離與它到焦點距離之差取得最大值或最小值的點是 這個定點與焦點連線延長線或反向延長線與橢圓的交點，最大值、最小值分別是定點到該焦點 的距離和其相反數。2 2例3、已知A(1,1)，F1、F2是橢圓 1的左右焦點，P為橢圓上一動點，貝U95|PA| IPF2I的最大值是 ，此時 P點坐標為 。|PA| IPF2I的最小值是，此時P點坐標為。3、橢圓上到橢圓內定點的距離與它到橢圓的一個焦點的距離之和取得最小值或最大值的點是另一焦點與定點連線的延長線或反向延長線與橢圓的交點。2 2例4、已知A(1,1)，F1是橢圓 厶 1的左焦點，P為橢圓上

3、一動點，則|PA| IPF1 |的 95最小值是，此時P點坐標為。丨PA| |PF1 |的最大值是，此時P點坐標為。分析：|PA| IPF1 | IPF2 | | PF1 | | AF2 |，當P是AF2的延長線與橢圓的交點時取等號。|PA| |PF1 | | PF2I | PF1 | | AF2 |，當P是AF2的反向延長線與橢圓的交點時取等號。4、 橢圓上的點 P到定點 A的距離與它到橢圓的一個焦點F的距離的-倍的和e| PA| |PF|的最小值(e為橢圓的離心率)，可通過 疋已 e轉化為| PA | d ( d為P到相 ed應準線的距離)最小值，取得最小值的點是 A到準線的垂線與橢圓的交

4、點。2 2例5、已知定點A( 2,3)，點F為橢圓J 1的右焦點，點M在該橢圓上移動，求16 12| AM | 2| MF |的最小值，并求此時M點的坐標例6、已知點橢圓2 x252 y91及點A(2,2), B( 3,0) , P(x,y)為橢圓上一個動點，則3|PA| 5|PB|的最小值是。5、以過橢圓中心的弦的端點及橢圓的某一焦點構成面積最大的三角形是短軸的端點與 該焦點構成的三角形。2 2例7、過橢圓篤爲a b21 ( a b 0, ab2c2 )的中心的直線交橢圓于A, B兩點，右焦點F2(c,0)，貝U ABF2的最大面積是 。例8、已知F是橢圓9x2 25y2 225的一個焦點，

5、PQ是過原點的一條弦，求 PQF面積 的最大值。&橢圓上的點與橢圓二焦點為頂點的面積最大的三角形是橢圓的短軸的一個端點與橢 圓二焦點為頂點的三角形。2 2例9、P為橢圓 篤 爲 1 ( a b 0,a2 b2 c2 ) 一點，左、右焦點為R ( c,0) F? (c,0)， a b則 PR F2的最大面積是 。7、橢圓上的點與橢圓長軸的端點為頂點的面積最大的三角形是短軸的一個端點和長軸 兩個端點為頂點的三角形。例10、已知A是橢圓9x2 25y2 225的長軸一個端點，PQ是過原點的一條弦，求PQA 面積的最大值。8、橢圓上的點到坐標軸上的定點的距離最大值、最小值問題可利用兩點間的距離公式 及

6、橢圓方程聯(lián)立化為求函數最值問題。2 2例11、設O為坐標原點，F是橢圓 y1的右焦點，M是OF的中點，P為橢圓上任259意一點，求| MP |的最大值和最小值。i例12、橢圓中心在原點，長軸在x軸上，e ，已知點P(0,-)到這個橢圓上的最遠距2 2離是7，求橢圓方程。9、橢圓的焦點到橢圓上的距離最近和最遠點是橢圓長軸的兩個端點。A a ex(| x | a)為x的增函數， “ a ex(| x | a)為x的減函數， x a時，2,2分別取得最大值a c和最小值a c2 2例13、橢圓1上的點到右焦點的最大值，最小值。25910、橢圓上的點到定直線的距離最近及最遠點分別是與定直線平行的橢圓的

7、兩條切線的 切點。例14、已知橢圓X2 8y2 8，在橢圓上求一點P,是P到直線|：X y 4 0的距離最 小，并求最小值。11、橢圓上的點到與它的兩個焦點連線的最大夾角是它的短軸的一個端點和二焦點的連線的夾角。范圍大于等于00，小于它的短軸的一個端點和二焦點的連線的夾角。分析：| PF1 | IPF2I 2a| PF1 |PF2 | a2222222222| PF1 | | PF2 | 4c 4a 4c 21 PR | PF? | 2a2 2c2 2a2 2c2cos1廠2| PF1 |PF2 |2IPFJPF2IIPF1IIPF2Ia2等號成立的條件：IPF1 | IPF2 | a，即P點

8、為短軸的端點。 2 2例15、已知橢圓C:篤 爲1（a b 0），兩個焦點為F2,F2，如果C上有一點Q,使 a bF1QF21200，求橢圓的離心率的取值范圍。2 2例16、如圖所示，從橢圓 牛1 （a b 0）上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓a b的左焦點F1，且它的長軸的端點A短軸的端點B的連線AB平行于0M（1）求橢圓的離心率（2） 設Q為橢圓上任意一點，F2為橢圓的右焦點，求F1QF2的范圍。（3） 當QF2 AB時，延長QF2與橢圓交于另一點P，若F1 PQ的面積為20. 3，求此橢 圓方程。12、橢圓上的點與它長軸的兩個端點的連線的最大夾角是它的短軸的一個端點和長軸的二端點的連

9、線的夾角。范圍為大于 一，小于它的短軸的一個端點和長軸的二端點的連線的夾2角。2 2例17、已知橢圓C:篤每1 （a b 0），長軸的兩個端點為 A B,如果C上有一點Q, a b使 AQB 1200，求橢圓的離心率的取值范圍。13、 點P在橢圓上，u mx ny （ m, n為常數）的最大值或最小值分別是直線mx ny u 0與橢圓相切時U的值。2 2例18、已知點P（x,y）在必 y1上的點，貝U u x y的取值范圍是。1442514、點P在橢圓上，uy m(m,n為常數)的最大值或最小值分別是直線x ny u(x n) m與橢圓相切時的斜率。例 19、點 P(x, y)在橢圓 4(x

10、2)2 y22 2例20、點P(x, y)在橢圓仝1上2594上，則的最大值 ，最小值。xx 6貝y t 的最大值，最小值y 415、 y勺一acosx的最大值或最小值是直線y k(x Xo) yo與橢圓x acos相切y0 bsi nxy bsin時切線的斜率。例21、求y 3 E的最大值、最小值4 2cosx16、橢圓的平行弦、過定點弦等弦長最值問題及有關弦長的最值問題：例22、求直線y2kx 1被橢圓4y21所截得弦長的最大值。2例23、PQM,N四點均在橢圓上，橢圓方程為:yx2 1，F為橢圓在y軸正半軸2的焦點，已知PF,FQ共線，MF,FN共線，且Ph?PF2 0，求四邊形PMQN面積的最小值。17、利用方程元的范圍求有關最值問題：2例24、已知橢圓方程為y2 1，求過點P (0，2)的直線交橢圓于不同兩點 A、B，21PAPB，求 的取值范圍。(丄,3)318、其它有關最值2 2例24、P為橢圓：篤 與1 (a b 0)上一動點，若A為長軸的一個端點，B為短軸a b的一個端點，當四邊形OAPB面積最大時，求P點的坐標。2 2例