中山大學(xué)信息光學(xué)習(xí)題課后答案--習(xí)題234章作業(yè)

1、習(xí)題2 2.1把下列函數(shù)表示成指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)，并畫(huà)出頻譜。 QOQ0 f (x) = rect(x-2n)(2) g(x) = tri(x-2n) n -：n 二二 2.2 證明下列傅里葉變換關(guān)系式： (1) Frect( x)rect( y) =sinc( )sinc( ) ； (2) Ft(x)上(y) = sinc2( )sinc2()； (3) F1 =6/1) ； (4) Fsgn(x)sgn(y)= r 1 、 .,i (1 i n) a n丿 (5) Fn、(si nn x) ； (6) Fy )/a : 2.3 求x和xf (2x)的傅里葉變換。 2.4 求下列函數(shù)的傅里葉逆變

2、換，畫(huà)出函數(shù)及其逆變換式的圖形。 H( )=tri( 1) trk( G( )=rect( /3) rec 2.5證明下列傅里葉變換定理： (1) 在所在 f (x, y)連續(xù)的點(diǎn)上 FF f (x, y) = F f (x, y) = f (-x, -y)； (2) Ff(x,y)h(x, y) =Ff(x,y)* F(g(x,y) 2.6證明下列傅里葉-貝塞爾變換關(guān)系式： (1) 若 fr(r) - (r - r。)，則 B fr (r) = 2 n。(2 n。); (2) 若ar釘時(shí)fr(r) =1，而在其他地方為零，貝UB fr(r)=1(2 n)aj1(2啟)； *1 fP) (3)

3、 若 Bfr(r)=F(P)，貝V Bfr(r)=p ; a la丿 Be -n,e Y 2.7設(shè)g(r)在極坐標(biāo)中可分離變量。證明若f (r戶)二f(r)e叫，則： Ff(rj) =(T)meimHmfr(r) 其中Hm為m階漢克爾變換：Hm fr(r) =2rfr(r)Jm(2 n)dr。而(，)空間頻率中的極坐 標(biāo)。(提示：eiasinx八二 ：Jk(a)e ikx fx 1 p ix + 3 (1) recti * 6(2x3) (2) rect 1 1 2丿 1 2丿 計(jì)算下列各式的一維卷積。 x -1 (3) rect*comb( x) *、(x-4)*、(x-1) I TOC (

4、4) sinrect( x) 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 試用卷積定理計(jì)算下列各式。 (1) sinc( x)*sinc( x) Fsinc( x)sinc(2 x) 用寬度為a的狹縫，對(duì)平面上強(qiáng)度分布 f (x) =2 cos(2 n 0 x) 掃描，在狹縫后用光電探測(cè)器記錄。求輸出強(qiáng)度分布。 利用梳狀函數(shù)與矩形函數(shù)的卷積表示光柵的透過(guò)率。假定縫寬為 a，光柵常數(shù)為d ，縫數(shù)為N。 計(jì)算下面函數(shù)的相關(guān)。 (1) rect i x - I 2丿 iX -1 rect I tri 2x-1 tri 2x-1

5、應(yīng)用傅里葉定理求下面積分。 7 n2 (1) ecos(2 ax)dx 00 2 (2) sine (x)sin( nx)dx 求函數(shù) f (x) =rect(x)和 f (x) =tri( x)的一階和二階導(dǎo)數(shù)。 試求下圖所示函數(shù)的一維自相關(guān)。 1 /ix) 1 123 5 5: JC 試計(jì)算函數(shù)f (x)二rect( x -3)的一階矩。 證明實(shí)函數(shù)f (x, y)的自相關(guān)是實(shí)的偶函數(shù)，即：Rff (x,y)二Rff (-x,-y)。 求下列廣義函數(shù)的傅里葉變換。 (1) step(x) (2) sgn(x)(3) sin(2 n 0 x) 求下列函數(shù)的傅里葉逆變換，并畫(huà)出函數(shù)及其逆變換式

6、的圖形。 H (x)二 tri( x 1)tri( x-1) (2) G(x)二 rect(x/3)rect(x) 2.20表達(dá)式 comb p(x, y)二 g(x, y)* comb 三( _ x 定義了一個(gè)周期函數(shù)，它在x方向上的周期為 X，它在y方向上的周期為Y。 證明p的傅里葉變換可以寫(xiě)為: 其中G是g的傅里葉變換。 (b) 當(dāng) ，畫(huà)出函數(shù) p(x, y)的圖形，并求出對(duì)應(yīng)的傅里葉變換 P(,)。 習(xí)題3 3.1設(shè)在一線性系統(tǒng)上加一個(gè)正弦輸入：g(x,y) =cos2 n x y)，在什么充分條件下，輸出是一個(gè) 空間頻率與輸入相同的實(shí)數(shù)值正弦函數(shù)？用系統(tǒng)適當(dāng)?shù)奶卣鞅硎境鲚敵龅恼穹拖?/p>

7、位。 3.2證明零階貝塞爾函數(shù) 2J(2 nr)是任何具有圓對(duì)稱脈沖響應(yīng)的線性不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。對(duì)應(yīng)的本 征值是什么？ 3.3傅里葉系統(tǒng)算符可以看成是函數(shù)到其他變換式的變換，因此它滿足本章把提出的關(guān)系系統(tǒng)的定義。試 問(wèn)： (a) 這個(gè)系統(tǒng)是線性的嗎？ (b) 你是否具體給出一個(gè)表征這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？如果能夠，它是什么？如果不能，為什么不能？ 3.4某一成像系統(tǒng)的輸入是復(fù)數(shù)值的物場(chǎng)分布U(x,y),其空間頻率含量是無(wú)限的，而系統(tǒng)的輸出是像場(chǎng) 分布Ui(x,y)?？梢约俣ǔ上裣到y(tǒng)是一個(gè)線性的空間不變換低通濾波器，其傳遞函數(shù)在頻域上的區(qū)間 亞Bx, | FBy之外恒等于零。證明，存在一個(gè)由點(diǎn)源的

8、方形陣列所構(gòu)成的“等效”物體Uo(x,y), 它與真實(shí)物體Uo產(chǎn)生完全一樣的像Ui，并且等產(chǎn)供效物體的場(chǎng)分布可寫(xiě)成： 6 OCI Od r U(x,y)= Uo( , )si nc(n -2Bx )si nc(m-2BY )d d joo 3.5定義: 0f i f(x,y)dxdy 0 HF(今)d f(o,o)假 F (0,0廠二 分別為原函數(shù)f(x, y)及其頻譜函數(shù)F(】)的“等效面積”和“等效帶寬” xy nm x_ 臥,y_2BY ，試證明: .；xyL二1 上式表明函數(shù)的“等效面積”和“等效帶寬”成反比，稱為傅里葉變換反比定理，亦稱面積計(jì)算定理。 3.6已知線性不變系統(tǒng)的輸入為：

9、f (x)二comb( x)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 rect( / b)。當(dāng)b =1和b = 3時(shí), 求系統(tǒng)的輸出g(x)，并畫(huà)出函數(shù)及其頻譜。 3.7對(duì)一個(gè)線性不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)為： h(x) = 7s in c(7 x) 用頻率域方法對(duì)下列的每一個(gè)輸入fi(x)，求其輸出gi (x)(必要時(shí)，可取合理近似): (1) f|(x) =cos4 n(2) f2(x)二 cos(4n()rect(x/75) f3(x) =1 cos(8n)rect(x/75)(4) f4(x)二 comb(x)*rect(2 x) 3.8給定正實(shí)常數(shù) 0和實(shí)常數(shù)a和b，求證: (1) 若 |b|，則sinc(x/b

10、)*cos(2 2-0 |b | n 0 x)二 cos(2 n 0 x) 若 |b| 丄，則 sinc(x/b)*cos(2 2-0| b| n oX)=O 若 |b| ：|a|，則 sinc(x/b)*sinc( x/ a) =|b | sinc(x/ a) (4)若|b| ：回，則 sinc(x/b)*sinc 2(x/a) =|b|sinc2(x/a) 2 1 3.9若限帶函數(shù)f (x)的傅里葉變換在帶寬 w之外恒為零，(1)如果|a|，證明: w 1 |a| sin(x( a/ )嘆=(f) x ()(2)如果|a | 丄，上面的等式還成立嗎? w 3.10給定一個(gè)線性系統(tǒng)，輸入為有

11、限延伸的矩形波: g(x)二 1 comb( x / 3)rect( x /100) *rect( x) 若系統(tǒng)脈沖響應(yīng)：h(x)二rect(x 1)。求系統(tǒng)的輸出，并繪出傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)、輸出及其頻譜的 圖形。 3.11 給定一線性不變系統(tǒng)，輸入函數(shù)為有限延伸的三角波 g(x)二-comb(x/2)rect(x/50) *tri( x) IL2 對(duì)下列傳遞函數(shù)利用圖解方法確定系統(tǒng)的輸出: (1) H()二rect( /2)(2) H ()二 rect( /4) - rect( / 2) 2 3.12若對(duì)函數(shù)：h(x) =asinc (ax)抽樣，求允許的最大抽樣間隔。 3.13證明在頻率平

12、面上一個(gè)半徑為B的圓之外沒(méi)有非零的頻譜分量的函數(shù)，遵從下述抽樣定 理： g(x,y)W glX 工匸 J 12B 2B .丿42n/2B)2 + (y-m/2B)2 習(xí)題4 4.1尺寸為a b的不透明矩形屏被單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠零后的平面上 透射光場(chǎng)的角譜。 4.2采用單位振幅的單色平面波垂直照明具有下述透過(guò)率函數(shù)的孔徑，求菲涅耳衍射圖樣在 孔徑軸上的強(qiáng)度分布： (1) t(x,y。) =circ(Jx： +y：) t(X0,y) = J1,:科x+y0， 10,其它 4.3余弦型振幅光柵的復(fù)振幅透過(guò)率為： t(x0) =a bcos(2二 x0 / d) 式中，d為光柵的周

13、期，a b 0。觀察平面與光柵相距z。當(dāng)z分別取下述值時(shí)，確定 單色平面波垂直照明光柵，在觀察平面上產(chǎn)生的強(qiáng)度分布。 4.4 4.5 4.6 zg 參看下圖，用向P點(diǎn)會(huì)聚的單色球面波照明孔徑Zo P點(diǎn)位于孔徑后面距離為Z的觀察平 面上，坐標(biāo)為(0, b)。假定觀察平面相對(duì)孔徑的位置是在菲涅耳區(qū)內(nèi)，證明觀察平面上強(qiáng) 度分布是以P點(diǎn)為中心的孔徑的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣。 方向余弦為cos,cos ：，振幅為A的傾斜單色平面波照明一個(gè)半徑為 a的圓孔。觀察平面 位于夫瑯禾費(fèi)區(qū)，也孔徑相距為 z。求衍射圖樣的強(qiáng)度分布。 環(huán)形孔徑的外徑為2a，內(nèi)徑為2；a(0 ： ； 1)。其透射率可以表示為: 1,r0 豈

14、 a t(A 0,其他 用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求距離為z的觀察屏上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng) 度分布。 4.7 下圖所示孔徑由兩個(gè)相同的圓孔構(gòu)成。它們的半徑都為 中心距離為d (da)。采用 單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，求出相距孔徑為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖 樣的強(qiáng)度分布并畫(huà)出沿y方向截面圖。 4.8參看下圖，邊長(zhǎng)為2a的正方形孔徑內(nèi)再放置一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形掩模，其中心落在 (,)點(diǎn)。采用單位振幅的單色平面波垂直照射，求出與它相距為z的觀察平面上夫瑯禾 費(fèi)射圖樣的光場(chǎng)分布。畫(huà)出xyO時(shí)，孔徑頻譜在x方向上的截面圖。 4.9下圖所示孔徑由兩個(gè)相同的矩孔構(gòu)成，它們的寬度為a，長(zhǎng)

15、度為b，中心相距d。采用單 位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。 假定b =4a及d =1.5a，畫(huà)出沿x和y方向上強(qiáng)度分布的截面圖。 4.10下圖所示半無(wú)窮不透明屏的復(fù)振幅透過(guò)率可以用階躍函數(shù)表示，即: t(xo) =step(xo) 采用單位振幅的單色平面波垂直照明衍射屏，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖 樣的復(fù)振幅分布。畫(huà)出沿x方向的振幅分布曲線。 4.11下圖所示為寬度為a的單狹縫，它的兩半部分之間通過(guò)相位介質(zhì)引入位相差n。采用單 位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為 z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣強(qiáng)度分布。 畫(huà)出沿x方向的截面圖。 4.1

16、2線光柵的縫寬為a，光柵常數(shù)為d，光柵整體孔徑是邊長(zhǎng)L的正方形。試對(duì)下述條件， 分別確定a和d之間的關(guān)系： (1) 光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中缺少偶數(shù)級(jí)。 (2) 光柵的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣中第三級(jí)為極小。 4.13衍射屏由兩個(gè)錯(cuò)開(kāi)的網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成，其透過(guò)率可以表示為： t(x,y)= combx(a/ )coynbb / ) comba a 0. 1)y)bcomb( / ) 采用單位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為z的觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng) 度分布。畫(huà)出沿x方向的截面圖。 4.14如下圖所示為透射式鋸齒形位相光柵。其折射率為n，齒寬為a，齒形角為：，光柵的 整體孔徑為邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形。采用單

17、位振幅的單色平面波垂直照明， 求相距光柵為z的 觀察平面上夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。 若使用衍射圖樣中某個(gè)一級(jí)譜幅值最大，:角 應(yīng)如何選擇？ 4.15衍射零是由m n個(gè)圓孔構(gòu)成的方形列陣，它們的半徑都為a，其中心在xo方向間距為 dx，在y。方向間距為dy，采用單位振幅的單色平面波垂直照明衍射屏，求相距為z的觀 察平面上的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分布。 4.16在透明玻璃板上有大量(N)無(wú)規(guī)則分布的不透明小圓顆粒，它們的半徑都是a。采用單 位振幅的單色平面波垂直照明，求相距為 z的觀察平面上的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣的強(qiáng)度分 布。 古希臘哲學(xué)大師亞里士多德說(shuō)：人有兩種，一種即 吃飯是為了活著” 一種是

18、 活著是為了吃飯”一個(gè)人之所以偉大，首先是因?yàn)樗谐诔Ｈ说男?。志?dāng)存高遠(yuǎn)”，風(fēng)物長(zhǎng)宜放眼量”這些古語(yǔ)皆鼓舞人們要樹(shù)立雄無(wú)數(shù)個(gè)自 己，萬(wàn)千種模樣，萬(wàn)千愫情懷。有的和你心手相牽，有的和你對(duì)抗，有的給你雪中送炭，有的給你煩憂 與其說(shuō)人的一生是同命運(yùn)抗?fàn)?，與性格妥協(xié)，不如說(shuō)是與自己抗?fàn)帲c自己妥協(xié)。 人最終要尋找的，就是最愛(ài)的那個(gè)自己。只是這個(gè)自己，有人終其一生也未找到；有人只揭開(kāi)了冰山的一角，有人有幸會(huì)晤一次，卻已用盡一生。人生最難抵達(dá)的其實(shí)就是自己。 我不敢恭維我所有的自己都是美好的，因?yàn)榭傆袀€(gè)對(duì)抗的聲音：你還沒(méi)有這樣的底氣。 很慚愧，坦白說(shuō)，自己就是這個(gè)樣子：卑微過(guò)，像一棵草，像一只蟻，甚至像一粒土塊，但拒絕猥瑣！懦弱過(guò)，像掉落下來(lái)的果實(shí)，被人撣掉的灰塵，但拒絕屈膝，寧可以卵擊石，以渺小決戰(zhàn)強(qiáng)大。 自私過(guò)，比如遇到喜歡的人或物，也想不擇手段，據(jù)為己有。 貪婪過(guò)，比如面對(duì)名利、金錢(qián)、豪宅名車(chē)，風(fēng)花雪月，也會(huì)心旌搖搖，浮想聯(lián)翩。 倔強(qiáng)過(guò)，比如面對(duì)誤解、輕蔑，有淚也待到無(wú)人處再流，有委屈也不訴說(shuō)，不申辯，直到做好，給自己證明，給自己看! 溫柔過(guò)，當(dāng)愛(ài)如春風(fēng)襲來(lái)，當(dāng)情如花朵芳醇，黃昏月下，你儂我儂。 強(qiáng)大過(guò)，內(nèi)剛外柔，和風(fēng)雨搏擊，和坎坷宣戰(zhàn)，不失初心，不忘夢(mèng)想，雖敗猶榮。 庸俗的自己，逐流的自己，又兼點(diǎn)若仙的自己，美的自己，丑的自己，千篇一律的自己，獨(dú)一無(wú)二的自己。