材料力學劉鴻文第十章

1、 動載荷問題分類：動載荷問題分類： 2、振動問題、振動問題 1、慣性力問題、慣性力問題3、沖擊問題、沖擊問題 動變形和動應力：動變形和動應力： 在動載荷作用下產生的變形和應力。在動載荷作用下產生的變形和應力。 線彈性模型線彈性模型: 動載荷作用下應力應變動載荷作用下應力應變 保持線性關系。保持線性關系。 stst E dd E 10-1 10-1 概述概述 于是建立起如下關系： stst E dd E std std std std PP d d d P dd st P Q d K QKP dd ()() dddstst K ddst K P d TVU Q st 10-4 10-4 桿件受沖

2、擊時的應力和變形桿件受沖擊時的應力和變形 Q h 在工程實用計算中，一般采用能量法在工程實用計算中，一般采用能量法 進行計算。在計算中采取以下幾個假設：進行計算。在計算中采取以下幾個假設： 不考慮沖擊物的變形，即不考慮不考慮沖擊物的變形，即不考慮 沖擊物的變形能；沖擊物的變形能； 認為在沖擊后沖擊物和被沖擊物認為在沖擊后沖擊物和被沖擊物 附著在一起運動；附著在一起運動； 不考慮沖擊時能量的損失，即認不考慮沖擊時能量的損失，即認 為只有動能與位能的轉化。為只有動能與位能的轉化。 不考慮被沖擊物（桿件）的質量；不考慮被沖擊物（桿件）的質量； 一、自由落體沖擊問題一、自由落體沖擊問題 d mg mg

3、 h 初態(tài) 末態(tài) 初態(tài)能量：沖擊即將開始時的狀態(tài)初態(tài)能量：沖擊即將開始時的狀態(tài), 有動能，也可能有重力勢能有動能，也可能有重力勢能； 末態(tài)能量：沖擊完成，末態(tài)能量：沖擊完成，d 達到最大時的狀態(tài)，初態(tài)能量完全轉達到最大時的狀態(tài)，初態(tài)能量完全轉 化成彈性變形能?；蓮椥宰冃文?。 初態(tài)： 2 1 2 d Tmvmgh Vmg 動 能 勢 能 末態(tài)： 1 2 ddd UP變 形 能 沖擊前后能量守恒: dd 1 2 d mghmgP () ddstst PK PPmg 初態(tài)： 末態(tài)： 2 1 2 d Tmvmgh Vmg 動 能 勢 能 1 2 ddd UP變 形 能 d mg mg h 初態(tài) 末態(tài)

4、 d TVU ddd 11 22 stdd mghmgK PK mg d dd st d st 1 2 d h K 2 2 dststst h 其中：其中：stst: :沖擊物落點的靜位移。沖擊物落點的靜位移。 dst K 2 11 dst st h 取正根取正根 2 11 d st h K 稱為動荷因數(shù)稱為動荷因數(shù) 2 220 dstdst h 2 2 (2)11 2 1111 st stst T K d Q hv g (3)0 :2hK d 突 加 荷 載 討論討論： (1) 適用條件：適用條件： 無初速度、無初變形無初速度、無初變形 2 11 d st h K 動荷因數(shù)動荷因數(shù) 即：如果

5、知道碰撞速度即：如果知道碰撞速度v，可以利用動能，可以利用動能 T=（Q/g）v2/2 與勢能與勢能 U=Qh 互換計算動荷因數(shù)?；Q計算動荷因數(shù)。 練習 300mm P=5kN 6m 1m E10GPa,E8MPa木柱： 橡皮： 計算：1. 木柱最大正應力？ 2. 在木柱上端墊20mm的橡皮， 木柱最大正應力為多少？ 解： （1）不墊橡皮 3 3 92 5 106 0.0425 10 ( ) 1 10 103.14 0.3 4 st Pl m E A 木 33 3 62 5 1020 10 0.18 10 ( ) 1 8 103.14 0.3 4 st Pl m EA 橡皮 （2）墊橡皮后，

6、橡皮的變形 218 1025. 4 1012 11 2 11 2 3 st d h k MPa A P kk dstdd 4 .15 30014. 3 4 1 105 218 2 3 （4）墊橡皮 0.180.04250.22() ststst mm 95 22. 0 )20101 (2 11 2 11 3 st d h k （3）不墊橡皮 3 2 5 10 956.7 1 3.14 300 4 ddstd P kkMPa A 例10-1 梁的跨長l=1.5m，材料的彈性模量 E=200GPa。慣性矩I Z=245mm 4，物體重 Q=0.1kN.工字梁高H=100mm，下落距離 h=500m

7、m。求圖示10工字鋼懸臂梁的最大 動撓度和最大動應力。 Q h aaa ABC 解：解： 3 (2 ) 0.068 3 st Qa mm EI 112122 dst Kh 32 3 22 32 14 0.119 3 stACC QaQaa fa EIEI Qa mm EI 14.43 dAdstA Kmm 2 2.04 2 stB aQ H MPa I 247.5 dBdstB KMPa ABC Q st z H/2 查表懸臂梁靜撓度為： 1 1桿件上桿件上對于同一根桿件，重物下落高度不同，沖擊點對于同一根桿件，重物下落高度不同，沖擊點 不同，相應的靜撓度不同，動荷因數(shù)不同，相應的靜撓度不同，

8、動荷因數(shù) Kd也不同也不同。 3 3 對于梁和平面曲桿，靜撓度一般用能量法求出。對于梁和平面曲桿，靜撓度一般用能量法求出。 靜應力則由靜彎矩決定。靜應力則由靜彎矩決定。 討論討論 對于同一根桿件，當動荷系數(shù)對于同一根桿件，當動荷系數(shù)K Kd d 確定后，桿件確定后，桿件 上任一點的動撓度、動應力都可以用動荷因數(shù)上任一點的動撓度、動應力都可以用動荷因數(shù) K Kd d 乘該點的靜撓度、靜應力得到。乘該點的靜撓度、靜應力得到。 思考：判斷圖示四個懸臂梁在物體下落沖擊時的動荷因動荷因 數(shù)數(shù)Kd大？ Q h aaa ABC EI （a） Q h aaa ABC EI （b） Q h aaa ABC EI

9、2 （c） Q h aaa ABC EI2 （d） 答：考慮 （c c）的動荷因數(shù)動荷因數(shù)Kd大 2 11 d st h K 例例10-2 10-2 折桿折桿ABCABC，在自由端受重為，在自由端受重為QQ的物體的自由落體沖擊。的物體的自由落體沖擊。 已知：已知：EIEI，GIGIP P， ，試求結構的最大動應力 試求結構的最大動應力 112 dAst Kh :( )ABM yQy :( ) ( ) BCM xQx T xQa 332 33 Ast P QaQlQa l EIEIGI 22 3 4 st eq stst st Ql W st t Qa W a l h B A C Q C C截面

10、為危險截面：截面為危險截面： max MQlTQa 22 22 max 3eq ddd QlQaMT KK WW 解解: : A A點靜撓度為：點靜撓度為： 例10-3 重為Q的物體從高為h處落下。已知：AB梁EI，CD桿EA。 試求：梁和桿的最大動應力 A B C aa l h D Q 解：112 dDst Kh 3 6 Dst QaQl EIEA 撓度伸長 23 222 42 36 CstC Qa aaQa y EIEIEI 撓度 A B C 1 2 Qa C Q A B C 1 2 a C 1 C C截面為危險截面：截面為危險截面： max 1 2 MQa 對對ABAB梁梁: : 2 Q

11、a W 梁st 2 d Qa K W 梁d 對對CDCD桿桿: : NQ Q A 桿std Q K A 桿d 3 112112 6 dDst QaQl Khh EIEA v Q 2 1 2 Q Tv g 11 22 ddddd UPK Q 22 11 22 d st QQ v g 2 d d stst v K g d TVU二、水平?jīng)_擊問題二、水平?jīng)_擊問題 st:st:沖擊物落點的靜位移。沖擊物落點的靜位移。 Q l st d 例題： 2 25100204 14170 cm QKN vlm AcmEGPa s ,., 求：滑輪突然被卡住時的沖擊載荷Pd = ? 解： 1、分析變形 沖擊前：鋼索

12、靜伸長st，相應的變形能U1 沖擊后： 鋼索總伸長d，相應的變形能U2 2、列能量法基本方程 d TVU Q l st d 式中：注意到，滑輪被卡住前，繩子已有靜伸長st 2 1 2 dst Q TvVQ g ,() 21d UUU 11 22 ddst PQ 化簡得： 利用 dd st P Q 2 22 20() dstdstst v g 2 1 () dst st v g dst K 2 1 d st v K g 120 dd PKQKN st Ql EA 圖（a）所示重為P的重物自高位h處自由下落沖擊于薄壁 圓環(huán)頂點A，已知：EIEI為常數(shù)，求A點的最大動位移的計算式。 例：組合例：組合

13、結構結構變形的沖擊變形的沖擊 2 0 2 3 2 0 3 22 0 3 2 0 33 2 0 ( ).( ) y 1 cos 2 1 2coscos 2 31 2sinsin2 224 3 20.178 22 B MM Rd EI P R d EI PR d EI PR EI PRPR EIEI P h A B 1 B P/2 B P ( )(1 cos ) 2 MR ( )(1 cos )MR 2 0 2 3 2 0 3 22 0 3 2 0 33 2 0 ( ).( ) y2 P1 cos2 4 1 2coscos 2 31 2sinsin2 224 3 20.178 22 B MM Rd

14、 EI R d EI PR d EI PR EI PRPR EIEI 解：也可以根據(jù)莫爾積分計算整體靜變形，在解：也可以根據(jù)莫爾積分計算整體靜變形，在C點加單位力點加單位力 A B P C A B 1 C P ( )(1 cos ) 2 MR 1 ( )(1 cos ) 2 MR P ( )(1 cos ) 2 MR 1 ( )(1 cos ) 2 MR 3 112=1120.178 dst PR Khh EI 3 st =y0.178 B PR EI 3 3 , 0.178 1120.178 d dd st dst K PR K EI PR h EI 求：1、求梁內最大沖擊正應力 2、將梁設

15、計成兩段等長的階梯梁（兩段各長l/2）， 梁高保持不變，各段梁寬度可按要求設計。在梁內最 大沖擊正應力不變的條件下，按最省材料原則，階梯 梁在靠自由端一段寬b1，靠固定端一段寬b2，則比值 b1/b2為多少？ 矩形懸臂梁截面：高h，寬b，長l。 重Q的重物從高為H=60Ql3/（3EI） 處落到自由端并附著它。梁的重量 不計，E為材料的彈性模量，I為截 面軸慣性矩。 ,maxd H Q h b /2l/2l A h b2 h b1 H B 例（第四屆全國周培源大學生力學競賽試題） 解：） 3 3 st Ql EI 22 60 111120 1/3 d st H K maxmax 22 120

16、20 /6 ddst QlQl K bhbh ） maxmaxAdBd 22 21 66 2 dd QlQl KK b hbh 12 /1/2bb 故得： H Q h b /2l/2l A h b2 h H B b1 解：求C點靜撓度 1 12 2 C j A A fC C 例例 結構如圖，AB=DE=L，A、C 分別為 AB 和 DE 的 中點，求梁在重物 mg 的沖擊下，C 面的動應力。 ABDE A EI PL EI LR 4848 33 EI PL 32 3 EIEIEI DEAB D C2 C1 A1 L h B A C mg E =P 2 A P R 動荷系數(shù) 3 2 11 64

17、11 C j h K d f EIh PL 求C面的動應力 maxmax 3 64 (11) 4 C CddC jd zz MEIhPL KK WPLW EIEIEI DEAB D C2 C1 A1 L h B A C mg E =P 減小沖擊高度；減小沖擊高度； 在保證靜強度的前提下，盡量采用彈性在保證靜強度的前提下，盡量采用彈性 模量較小的材料；模量較小的材料； 3 3在不降低靜強度的前提下，盡量增大靜在不降低靜強度的前提下，盡量增大靜 變形：加軟墊或者可能時加緩沖彈簧變形：加軟墊或者可能時加緩沖彈簧 避免采用脆性材料。避免采用脆性材料。 提高構件承受沖擊能力的途徑提高構件承受沖擊能力的途

18、徑 四、沖擊荷載下材料力學性能四、沖擊荷載下材料力學性能 沖擊韌度沖擊韌度轉變溫度轉變溫度 溫度降低，溫度降低， b增大，結構反而還發(fā)生低溫脆斷增大，結構反而還發(fā)生低溫脆斷 原因何在？原因何在？ 溫度降低，溫度降低， b 增大，增大， 但材料的沖擊韌性下降但材料的沖擊韌性下降 且抗斷裂能力基本不變，所以，結構易發(fā)生低溫且抗斷裂能力基本不變，所以，結構易發(fā)生低溫 脆斷脆斷 125 125 沖擊韌性沖擊韌性 試件試件 1.沖擊試驗試件沖擊試驗試件 40 55 40 55 10 10 10 10 45 2 R 0.5 2R1 V型切口試樣型切口試樣 U型切口試樣型切口試樣 “U”型口試件的沖擊韌性：型口試件的沖擊韌性： A W k 斷口面積斷口面積 沖擊力功沖擊力功 “V”型口試件的沖擊韌性：型口試件的沖擊韌性： W k 沖沖擊擊力力功功 冷脆：溫度降低，沖擊韌性下降的現(xiàn)象稱為冷脆冷脆：溫度降低，沖擊韌性下降的現(xiàn)象稱為冷脆 10-12，10