中考二次函數(shù)壓軸題—解題法歸類總結(jié)

1、中考二次函數(shù)壓軸題解題法歸類總結(jié)解決二次函數(shù)壓軸題的通法，供大家參考。幾個自定義概念： 三角形基本模型：有一邊在X軸或Y上，或有一邊平行于X軸或Y軸的 三角形稱為三角形基本模型。 動點（或不確定點）坐標“一母示” ：借助于動點或不確定點所在函數(shù)圖象的解析式，用一個字母把該點坐標表示出來，簡稱“設(shè)橫表縱” 。如：動點 P在y=2x+1 上, 就可設(shè) P （t, 2t+1）.若動點卩在丫= 3x2 2x 1，則可設(shè)為P（t, 3t2 2t 1 ）當然若動點 M在X軸上，則設(shè)為（t, 0 ）.若動點M 在Y軸上，設(shè)為（0,t）. 動三角形：至少有一邊的長度是不確定的，是運動變化的?；蛑辽儆幸?個頂點

2、是運動，變化的三角形稱為動三角形。 動線段：其長度是運動，變化，不確定的線段稱為動線段。 定三角形：三邊的長度固定，或三個頂點固定的三角形稱為定三角形。 定直線：其函數(shù)關(guān)系式是確定的，不含參數(shù)的直線稱為定直線。 by= 3x 6。 X標，Y標：為了記憶和闡述某些問題的方便，我們把橫坐標稱為x標，縱坐標稱為 y 標。 直接動點：相關(guān)平面圖形（如三角形，四邊形，梯形等）上的動點稱為 直接動點，與之共線的問題中的點叫間接動點。動點坐標“一母示”是針對直接 動點坐標而言的1. 求證“兩線段相等”的問題： 借助于函數(shù)解析式，先把動點坐標用一個字母表示出來； 然后看兩線段的長度是什么距離（即是“點點”距離

3、，還是“點軸距離” ， 還是“點線距離” ，再運用兩點之間的距離公式或點到 x 軸（ y 軸）的距離公式 或點到直線的距離公式， 分別把兩條線段的長度表示出來， 分別把它們進行化簡， 即可證得兩線段相等。2、“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題：由于平行于 y 軸的線段上各個點的橫坐標相等（常設(shè)為 t ），借助于兩個端 點所在的函數(shù)圖象解析式， 把兩個端點的縱坐標分別用含有字母 t 的代數(shù)式表示出來，再由兩個端點的高低情況，運用平行于y軸的線段長度計算公式y(tǒng)上-y下, 把動線段的長度就表示成為一個自變量為 t ，且開口向下的二次函數(shù)解析式，利 用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得動線段長度的最大值及

4、端點坐標。3、求一個已知點關(guān)于一條已知直線的對稱點的坐標問題： 先用點斜式（或稱 K 點法）求出過已知點，且與已知直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點坐標，最后用中點坐標公式即可。4 、 “拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離最大”的問題： （方法 1）先求出定直線的斜率，由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線 相切的直線的解析式（注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率（k）相等），再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關(guān)于x的的一元二次方程，由題有二b2-4ac=0 （因為該直線 與拋物線相切，只有一個交點，所以 b2 -4ac=0 ）從而就可求出該切

5、線的解析 式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出 x、 y 的值，即為切點坐標，然后再利用點到直線的距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為最大距離。（方法 2）該問題等價于相應(yīng)動三角形的面積最大問題，從而可先求出該三 角形取得最大面積時， 動點的坐標， 再用點到直線的距離公式， 求出其最大距離。（方法 3）先把拋物線的方程對自變量求導，運用導數(shù)的幾何意義，當該導 數(shù)等于定直線的斜率時， 求出的點的坐標即為符合題意的點， 其最大距離運用點 到直線的距離公式可以輕松求出。5. 常數(shù)問題：（1）點到直線的距離中的常數(shù)問題： “拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等于一個 固定常數(shù)

6、”的問 題：先借助于拋物線的解析式， 把動點坐標用一個字母表示出來， 再利用點到直 線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，進而利用拋物 線解析式，求出動點的縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。（2）三角形面積中的常數(shù)問題：“拋物線上是否存在一點， 使之與定線段構(gòu)成的動三角形的面積等于一 個定常數(shù)”的問題： 先求出定線段的長度，再表示出動點（其坐標需用一個字母表示）到定直線 的距離，再運用三角形的面積公式建立方程， 解此方程， 即可求出動點的橫坐標， 再利用拋物線的解析式， 可求出動點縱坐標， 從而拋物線上的動點坐標就求出來 了。（3）幾條線段的齊次冪的商為常數(shù)的問題：

7、用K點法設(shè)出直線方程，求出與拋物線（或其它直線）的交點坐標，再運用兩點間的距離公式和根與系數(shù)的關(guān)系，把冋題中的所有線段表示出來， 并化解即可。6. “在定直線（常為拋物線的對稱軸，或 x軸或y軸或其它的定直線）上是 否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：先求出兩個定點中的任一個定點關(guān)于定直線的對稱點的坐標，再把該對稱點和另一個定點連結(jié)得到一條線段，該線段的長度應(yīng)用兩點間的距離公式計算 即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小 的點，其坐標很易求出（利用求交點坐標的方法）。7. 三角形周長的“最值（最大值或最小值）”問題： “在定直線上是否存在一點，使之和

8、兩個定點構(gòu)成的三角形周長最小” 的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題）：由于有兩個定點，所以該三角形有一定邊（其長度可利用兩點間距離公式計算），只需另兩邊的和最小即可。 “在拋物線上是否存在一點， 使之到定直線的垂線，與y軸的平行線和 定直線，這三線構(gòu)成的動直角三角形的周長最大的問題（簡稱“三邊均動的問 題）：在圖中尋找一個和動直角三角形相似的定直角三角形，在動點坐標一母示后，運用 空=斜邊V，把動三角形的周長轉(zhuǎn)化為一個幵口向下的拋物線來破C定 V斜邊定V解。8. 三角形面積的最大值問題：“拋物線上是否存在一點，使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問題（簡稱“一邊固定兩邊動的問題”）:（方法

9、1）先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度；然后再利用上面3的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式1底高。即可求出該三角形面積的最大值，同時在求解過程中，2切點即為符合題意要求的點。（方法2）過動點向y軸作平行線找到與定線段 （或所在直線）的交點,從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點坐標一母示后，進一步1可得到三角形二（y上（動）-*（動）？匕右（定）-x左（定）2，轉(zhuǎn)化為一個幵口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值。 “三邊均動的動三角形面積最大”的問題（簡稱“三邊均動的問題）先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形（有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一

10、邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形）面積之差, 設(shè)出動點在x軸或y軸上的點的坐標，而此類題型，題中一定含有一組平行線， 從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似（常為圖中最大的那一個三角形）。利用相似三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比）可表示出 分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個幵口向下的二 次函數(shù)關(guān)系式，相應(yīng)問題也就輕松解決了。9. “一拋物線上是否存在一點，使之和另外三個定點構(gòu)成的四邊形面積最大 的問題”：由于該四邊形有三個定點，從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定 三角形（連結(jié)兩個定點，即可得到一個定三角形）的面積之和，所以只需

11、動三角 形的面積最大，就會使動四邊形的面積最大，而動三角形面積最大值的求法及拋 物線上動點坐標求法與 7 相同10、“定四邊形面積的求解”問題： 有兩種常見解決的方案： 方案（一）：連接一條對角線，分成兩個三角形面積之和； 方案（二）：過不在 x 軸或 y 軸上的四邊形的一個頂點，向 x 軸（或 y 軸） 作垂線，或者把該點與原點連結(jié)起來，分割成一個梯形（常為直角梯形）和一些 三角形的面積之和（或差） ，或幾個基本模型的三角形面積的和（差）11. “兩個三角形相似”的問題：兩個定三角形是否相似： （1）已知有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出已知角的兩條 夾邊，看看是否成比例？若成比例

12、，則相似 ; 否則不相似。（2）不知道是否有一個角相等的情形：運用兩點間的距離公式求出兩個三 角形各邊的長，看看是否成比例？若成比例，則相似 ; 否則不相似。一個定三角形和動三角形相似：（1）已知有一個角相等的情形： 先借助于相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把動點坐標表示出來（一母示） ，然后把兩個 目標三角形（題中要相似的那兩個三角形）中相等的那個已知角作為夾角，分別 計算或表示出夾角的兩邊， 讓形成相等的夾角的那兩邊對應(yīng)成比例 （要注意是否 有兩種情況），列出方程，解此方程即可求出動點的橫坐標，進而求出縱坐標， 注意去掉不合題意的點。（2）不知道是否有一個角相等的情形：這種情形在相似性中屬于高端問題，破

13、解方法是，在定三角形中，由各個頂 點坐標求出定三角形三邊的長度， 用觀察法得出某一個角可能是特殊角， 再為該 角尋找一個直角三角形，用三角函數(shù)的方法得出特殊角的度數(shù)，在動點坐標“一 母示”后，分析在動三角形中哪個角可以和定三角形中的那個特殊角相等，借助 于特殊角，為動點尋找一個直角三角形，求出動點坐標，從而轉(zhuǎn)化為已知有一個 角相等的兩個定三角形是否相似的問題了，只需再驗證已知角的兩邊是否成比 例？若成比例， 則所求動點坐標符合題意， 否則這樣的點不存在。 簡稱“找特角， 求（動）點標，再驗證” ?；蚍Q為“一找角，二求標，三驗證” 。1 2.、“某函數(shù)圖象上是否存在一點，使之與另兩個定點構(gòu)成等腰

14、三角形” 的問題：首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點。 （若某邊底，則只有 一種情況；若某邊為腰，有兩種情況；若只說該三點構(gòu)成等腰三角形，則有三種 情況）。先借助于動點所在圖象的解析式，表示出動點的坐標（一母示） ，按分類 的情況，分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等，使用兩點間的距離公式，建立方程。解 出此方程，即可求出動點的橫坐標，再借助動點所在圖象的函數(shù)關(guān)系式，可求出 動點縱坐標，注意去掉不合題意的點（就是不能構(gòu)成三角形這個題意） 。1 3、“某圖象上是否存在一點，使之與另外三個點構(gòu)成平行四邊形”問題： 這類問題，在題中的四個點中，至少有兩個定點，用動點坐標“一母示”分 別設(shè)出余下所有

15、動點的坐標 （若有兩個動點， 顯然每個動點應(yīng)各選用一個參數(shù)字 母來“一母示”出動點坐標） ，任選一個已知點作為對角線的起點，列出所有可 能的對角線（顯然最多有 3 條），此時與之對應(yīng)的另一條對角線也就確定了，然 后運用中點坐標公式， 求出每一種情況兩條對角線的中點坐標， 由平行四邊形的 判定定理可知，兩中點重合，其坐標對應(yīng)相等，列出兩個方程，求解即可。進一步有： 若是否存在這樣的動點構(gòu)成矩形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形， 再驗證 兩條對角線相等否？若相等，則所求動點能構(gòu)成矩形，否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構(gòu)成棱形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形， 再驗證 任意一組鄰邊相等否？若相等，

16、則所求動點能構(gòu)成棱形， 否則這樣的動點不存在。 若是否存在這樣的動點構(gòu)成正方形呢？先讓動點構(gòu)成平行四邊形， 再驗 證任意一組鄰邊是否相等？和兩條對角線是否相等？若都相等， 則所求動點能構(gòu) 成正方形，否則這樣的動點不存在。1 4、“拋物線上是否存在一點，使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關(guān)系” 的問題：（此為“單動問題” 即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題 ，后面的 19 實 為本類型的特殊情形。 ）先用動點坐標“一母示”的方法設(shè)出直接動點坐標，分別表示（如果 圖形是動圖形就只能表示出其面積） 或計算（如果圖形是定圖形就計算出它的具 體面積），然后由題意建立兩個圖形面積關(guān)系的一個方程，解之即可。 （注

17、意去掉 不合題意的點），如果問題中求的是間接動點坐標， 那么在求出直接動點坐標后， 再往下繼續(xù)求解即可。1 5、“某圖形直線或拋物線上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成直角三角形”的問題：若夾直角的兩邊與 y 軸都不平行：先設(shè)出動點坐標（一母示） ，視題目分類 的情況，分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率，再運用兩直線（沒有與 y 軸 平行的直線）垂直的斜率結(jié)論（兩直線的斜率相乘等于-1 ），得到一個方程，解之即可。若夾直角的兩邊中有一邊與 y 軸平行，此時不能使用斜率公式。補救措施 是：過余下的那一個點（沒在平行于 y 軸的那條直線上的點）直接向平行于 y 的 直線作垂線或過直角點作平行于 y

18、 軸的直線的垂線與另一相關(guān)圖象相交， 則相關(guān) 點的坐標可輕松搞定。1 6、“某圖象上是否存在一點，使之與另兩定點構(gòu)成等腰直角三角形”的問題。 若定點為直角頂點， 先用 k 點法求出另一直角邊所在直線的解析式 （如 斜率不存在，根據(jù)定直角點，可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程） ，利用 該解析式與所求點所在的圖象的解析式組成方程組， 求出交點坐標， 再用兩點間 的距離公式計算出兩條直角邊等否？若等，該交點合題，反之不合題，舍去。 若動點為直角頂點： 先利用 k 點法求出定線段的中垂線的解析式， 再把 該解析式與所求點所在圖象的解析式組成方程組， 求出交點坐標， 再分別計算出 該點與兩定點所在的

19、兩條直線的斜率， 把這兩個斜率相乘， 看其結(jié)果是否為 -1？ 若為 -1 ，則就說明所求交點合題；反之，舍去。1 7、“題中含有兩角相等，求相關(guān)點的坐標或線段長度”等的問題： 題中含有兩角相等， 則意味著應(yīng)該運用三角形相似來解決， 此時尋找三角形 相似中的基本模型“ A”或“X”是關(guān)鍵和突破口。18. “在相關(guān)函數(shù)的解析式已知或易求出的情況下， 題中又含有某動圖形 （常 為動三角形或動四邊形）的面積為定常數(shù)，求相關(guān)點的坐標或線段長”的問題：（此為“單動問題” 即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題 ，本類型實際上是 前面 14 的特殊情形。）X軸或y軸先把動圖形化為一些直角梯形或基本模型的三角形（有一

20、邊在 上，或者有一邊平行于 x 軸或 y 軸）面積的和或差， 設(shè)出相關(guān)點的坐標 （一母示）， 按化分后的圖形建立一個面積關(guān)系的方程，解之即可。一句話，該問題簡稱“單 動問題”，解題方法是“設(shè)點（動點）標，圖形轉(zhuǎn)化（分割） ，列出面積方程” 。19. “在相關(guān)函數(shù)解析式不確定 （系數(shù)中還含有某一個參數(shù)字母） 的情況下， 題中又含有動圖形 （常為動三角形或動四邊形） 的面積為定常數(shù)， 求相關(guān)點的坐 標或參數(shù)的值”的問題：此為“雙動問題” （即動解析式和動圖形相結(jié)合的問題） 。如果動圖形不是基本模型， 就先把動圖形的面積進行轉(zhuǎn)化或分割 （轉(zhuǎn)化或分 割后的圖形須為基本模型） ，設(shè)出動點坐標（一母示）

21、，利用轉(zhuǎn)化或分割后的圖形 建立面積關(guān)系的方程（或方程組） 。解此方程，求出相應(yīng)點的橫坐標，再利用該 點所在函數(shù)圖象的解析式，表示出該點的縱坐標（注意，此時，一定不能把該點 坐標再代入對應(yīng)函數(shù)圖象的解析式，這樣會把所有字母消掉） 。再注意圖中另一 個點與該點的位置關(guān)系（或其它關(guān)系，方法是常由已知或利用（2）問的結(jié)論，從幾何知識的角度進行判斷， 表示出另一個點的坐標， 最后把剛表示出來的這個 點的坐標再代入相應(yīng)解析式，得到僅含一個字母的方程，解之即可。如果動圖形 是基本模型，就無須分割（或轉(zhuǎn)化）了，直接先設(shè)出動點坐標（一母式） ，然后 列出面積方程，往下操作方式就與不是基本模型的情況完全相同。一句

22、話，該問 題簡稱“雙動問題” ，解題方法是“轉(zhuǎn)化（分割） ，設(shè)點標，建方程，再代入，得 結(jié)論”。常用公式或結(jié)論：（1）橫線段的長 二 橫標之差的絕對值 二X大嘆小=右-X左縱線段的長二縱標之差的絕對值二y大 -y小二y上 -y下（2）點軸距離：點P（X。, y）到X軸的距離為|yo|，到丫軸的距離為|x|。（3）兩點間的距離公式：若 A （ xi,yi） ,B（ x2,y2）,貝Uab=J（xi X2）2 （yi y2）2（4）點到直線的距離：點P （ xo,y。）至直線Ax+By+C=0 （其中常數(shù)A,B,C最好化為整系數(shù)，也方便計算）的距離為：_|Ax。By 0 c|.|kxoyobddA

23、2 B2 或1 k2（5）中點坐標公式:若A（xi, yj，B（ X2,y2），貝U線段AB的中點坐標為（卷才2 J、J ）（6）直線的斜率公式：若 A （ xi，y、），B （ X2，y2）；xi “,貝U直線 AB的斜率為：kAB=h, X2 ：,注：當Xi X2時，直線AB與y軸平行，斜率不存在x-i x2（7）兩直線平行的結(jié)論：已知直線 l1: y k1x b!,l2: y k2x b2; 若 I1PI2 k1 k2; 若 K k2,且b b2 I1P2（8）兩直線垂直的結(jié)論：已知直線 li: ykix myk?x b2； 若 li 12k1 .k21； 若 kpk21l1l2.(9)

24、 由特殊數(shù)據(jù)得到或猜想的結(jié)論： 已知點的坐標或線段的長度中若含有2、3等敏感數(shù)字信息，那很可能有特殊角出現(xiàn)。 在拋物線的解析式求出后，要高度關(guān)注交點三角形和頂點三角形的形 狀，若有特殊角出現(xiàn)，那很多問題就好解決。 還要高度關(guān)注已知或求出的直線解析式中的斜率K的值，若K= 3，3則直線與X軸的夾角為300 ;若K= 1 ;則直線與X軸的夾角為45 ;若K= 3， 則直線與X軸的夾角為60。這對計算線段長度或或點的坐標或三角形相似等問 題創(chuàng)造條件。二次函數(shù)基本公式訓練： 破解函數(shù)難題的基石(1) 橫線段的長度計算：【特點：兩端點的y標相等，長度=%大-x小】。 若 A( 2,0)，B( 10,0

25、)，貝 y AB=。若 A (-2,0 )，B (-4,0 )，則 AB=。若 M(-3,0 )，N (10,0 )，則 MN=。若 O( 0,0 )，A (6,0 )，貝 U OA=。若 O( 0,0 )，A (-4,0 )，1則 OA=。 若0(0,0 ),A(t,0),且A在O的右端，貝V OA=。 若O(0,0 ),A(t,0),且A在O的右端，貝y OA=。 若 A(-2t,6),B(3t,6),且 A 在 B 的右端，則AB=。 若A (4t,m ) ,B(1-2t,m), 且B在A的左端，則AB=。 若P (2m+3,a) ,M(1-m,a),且P在B的右端，則PM=。_注意：橫

26、線段上任意兩點的 y 標是相等的， 反之 y 標相等的任意兩個點都在 橫線段上。(2) 縱線段的長度計算：【特點：兩端點的x標相等，長度二討大-y小】。 (若 A(0,5)，B( 0,7 )，貝V AB=。 若 A( 0， -4 )， B( 0， -8), 則 AB=。 若 A(0,2 )， B(0， -6)，則 AB=。 若 A(0,0)， B(0， -9), 則 AB=。 若 A(0,0) ， B(0,-6) ，則 AB=。 若0(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，貝y OA=。 若(0,0 ),A( 0, t),且A在O的下端，貝y OA=。 若A (6，-4t),B(6,3t),

27、 且A在B的上端，則AB=。 若M( m,1-2t),N(m,3-4t), 且M在N的下端，則MN=。_ 若P (t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端，貝UPM=注意：縱線段上任意兩點的x標是相等的，反之x標相等的任意兩個點都在 縱線段上。(3) 點軸距離：一個點(x示，y標)到x軸的的距離等于該點的y標的絕對值(即y標|),到y(tǒng)軸的距離等于該點的x標的絕對值(即x標)。 點(-4,-3)到x軸的距離為 ，到y(tǒng)軸的距離為 。 若點A (1-2t, t22t 3)在第一象限，則點 A到x軸的距離為 ,到y(tǒng)軸的距離為。 若點M(t, t2 4t3)在第二象限，則點 M到x軸的距離為

28、，到y(tǒng)軸的距離為。 若點A (-t,2t-1)在第三象限，則點 A到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。 若點N (t， t2 2t 3)點在第四象限，則點N到x軸的距離為 ，到y(tǒng)軸的距離為。 若點P (t , t2 2t 3)在x軸上方，則點P到X軸的距離為 。 若點Q(t，t22t 6 )在乂軸下方，貝9點Q到x軸的距離為 。 若點D(t，t24t 5 )在丫軸左側(cè)，貝9點Q到y(tǒng)軸的距離為 。 若點E (n，2n+ 6)在y軸的右側(cè)，則點E到y(tǒng)軸的距離為。 若動點P(t， t2 2t 3 )在乂軸上方，且在y軸的左側(cè)，則點P到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。11若動點P(t， t2 2t 3 )在

29、乂軸上方，且在y軸的右側(cè)，則點P到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。12若動點P(t, t2 2t 3)在乂軸下方，且在y軸的左側(cè)，則點P到x 軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。13若動點P(t， t2 2t 3 )在乂軸下方，且在y軸的右側(cè)，則點P到x 軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為。注意：在涉及拋物線，直線，雙曲線等上的動點問題中，在動點坐標“一母 示”后，還要高度關(guān)注動點運動變化的區(qū)域(例如：動點P在拋物線丫= x2 2x 3上位于x軸下方，y軸右側(cè)的圖象上運動)，以便準確寫出動點坐標中參數(shù)字母的取值范圍，以及點軸距離是等于相應(yīng)x示(或y標)的相反數(shù)，還是其本身。(4) 中點坐標的計算：若【A(為，)

30、，B( X2, y2)，貝9線段AE的中點坐標為(Xl ? X2 , y1 ? y )】 若A(-4，3) ，B(6，7)，則AB中點為 。 若M( 0，-6 )，N (6，-4 )，則MN的中點坐標為。 若P (1 ,-3)，Q(1丄)，則PQ的中點坐標為 o23 2 若A(1,2),B(-3,4), 且B為AM的中點，貝V M點的坐標為 。 若A(-1,3),B(0,2),且A為BP中點，則P點坐標為 o 點P(-5 , 0)關(guān)于直線x = 2的對稱點的坐標為 o 點P(6 , 0)關(guān)于直線x=l的對稱點的坐標為 . 點P(6 , 2)關(guān)于直線x = 3的對稱點的坐標為 o 點Q(4 ,

31、3)關(guān)于直線x=3的對稱點的坐標為 o 點M (4，2)關(guān)于直線x = 2的對稱點的坐標為 o11點P(4，3 )關(guān)于直線x= 1的對稱點的坐標為 o12點M (4 , 2)關(guān)于直線y= 1的對稱點的坐標為 。13點T(4,3 )關(guān)于直線y=1的對稱點的坐標為 o14點Q(0,3 )關(guān)于x軸的對稱點的坐標為 o15點N(4 , 0)關(guān)于y軸的對稱點的坐標為 o(5) 由兩直線平行或垂直，求直線解析式?！緝芍本€平行，則兩個 k值相等;兩直線垂直，則兩個 k值之積為-1.】 某直線與直線y=2x+3平行，且過點(1, -1 ),求此直線的解析式。 某直線與直線y= -x+1平行，且過點(2，3)，

32、求此直線的解析式。2 某直線與直線y= 2x 5平行，且過點(-3，0)，求此直線的解析式。3某直線與y軸交于點P( 0,3 )，且與直線y=x 1平行,求此直線的解析2十工式。 某直線與x軸交于點P (-2,0 )，且與直線y=4平行，求此直線的2解析式。 某直線與直線y=2x-1垂直，且過點(2,1 )，求此直線的解析式。 某直線與直線y=-3x+2垂直，且過點(3,2 )，求此直線的解析式。 某直線與直線y=2x 1垂直，且過點(2，-1 )，求此直線的解析式。31 某直線與直線y= -x 4垂直，且過點(1，-2 )，求此直線的解析式。 某直線與x軸交于點P (-4,0 )，且與直線y

33、=5垂直，求此直線的3解析式。兩點間的距離公式：(6) 若A(X1,yJ, B (X2,y2),則 AB=(為 屜尸(y-y2)2若 P (-2,3 )，Q (1,若 A (-2,0 )，B ( 0，3)，則 AB=(-1 )，則 PQ= )o 若 M( 0,2 )，N(-2,5 )，則 MN=1若 P( 2,0)，Q(0,3)，則 PQ= )若 A( 2 3),B(-1,舟),則AB3 1。若 P(4,2)，B(4,1),則 PB=()_3 1若 P(4,2),B(14,1),則PE =(。若P(1 2；，3)，M(12,1)，則PM=2 15,3)，B (15,23 )，貝 AB =f,1

34、)，B( 1, 2 )，則 AB =若A(2 , 0)，B(3,0)，則AB=(。若 P(0，-4)，Q(0, -2)，貝y PQ=若 P(3,0)，Q(4,0)，則 PQ= )若 P(1,-4) , Q(2,0)，則PQ=(7)直線的斜率公式：【注：所謂斜率，就是一次函數(shù) y=kx+b中k的值;可由兩個點的坐標直接求得：若A（“y1） , B（x2，y2） （ X1 x2）,則kAByi y2（y標之差除以對應(yīng)的x標之差）】例題：若 A（2, -3） , B（-1,4），則加解： Q A(2, -3) , B(-1,4),k ( 3)4AB =2 ( 1)若A(0,2), B(3,0),則

35、kAB若A(1,-2) , B(-3 , 1),則 kAB 若舊，1) , N(-2 ,-4),則 kMN 若P(1 ,-4), Q-1 , 2),則 kPQ1 1若 q-1, 1) , Q(- , -3),則 kCQ 2 3211若 E(3 , -1) , F(-3,-),則 kEF3322 1 1若*2，-3），Q（-1，-1），則kMQ231若p(-3 , -4)，q-1，蔦)，則kPQ （8）點到直線的距離公式：點P（x0,y 0）到直線Ax+By+C=0（為了方便計算，A,B,C最好化為整系數(shù)）的距離公式為：Ax。Byo+CJa2+B2；運用該公式時，要先把一次函數(shù) y=kx+b化為

36、一般式Ax+By+C二0的形式（即：先寫x項，再寫y項，最后寫常數(shù)項，等號右邊必須是0）o1 2 y _ x _例題：求點P（2,-3）至U直線 23的距離。先把直線3x-6y-4=03 2 6 ( 3) 4 ( 6)1 2 *1 2x23化為一般式注: Ax。By。C的值就是把點(Xo,yo)對應(yīng)代入代數(shù)式Ax+By+C中?；蛘甙褃 kx b通過移項化為kx y b0(同樣要先寫kxoyox項，再寫y項，最后寫常數(shù)項，等號右邊必須是0)。從而1 k2另解：因為1y 2x23，P(2,-3)所以1 22 ( 3)(扌L / 1 2=求點p( -3,-1 )到直線尸尹1的距離 53(注：由于系數(shù)

37、中有分數(shù)，計算比較繁求點Q (1,-4 )到直線y=2x-1的距離1求點A (1,2 )到直線y=x-1的距離21求點m(0，-3)到直線%-1的距離01 11求點p( -2，-1)到直線y=3匕的距離求點Q(-2,- 3)到直線吟冷的距離求點pc? 4)到直線y=|x-1的距離3112求點N(-3,- 1)到直線y=-1x+-的距離 2323。2 311求點D(-2,3)到直線yJx-1的距離5 42 3。求點E (- 3,- 2)到直線y=-!x的距離532 4。在一個題中設(shè)計若干常見問題：如圖示，已知拋物線y x 22 x 3與y軸交于點 B,與X軸交于C,D (C在D點的左側(cè))，點A為

38、頂點。YCODXBA 判定三角形ABD的形狀？并說明理由。k Y 0DxB/ / / /AX【通法：運用兩點間的距離公式，求出該三角形各邊的長】 三角形ABD與三角形BOD是否相似？說明理由 * /【通法：用兩點間的距離公式分別兩個三角形的各邊之長，再用相似的判定方法】 在x軸上是否存在點P，使PB+PAR短？若存在求出點 P的坐標，并求出最小值。若不存在，請說明理由?！就ǚǎ涸趦啥c中任選一個點（為了簡單起見，常常取軸上的點），求出該點關(guān)于題中的動點運動所經(jīng)過的那條直線的對稱點的坐標，再把此對稱點與余 下定點相連】的坐標，并求出周長的最小值；若不存在，請說明理由。 在y軸上是否存在點P,使三

39、角形PAD的周長最??？若存在，求出點 P A【通法：注意到AD是定線段，其長度是個定值，因此只需PA+PD最小】 在對稱軸x=l上是否存在點P, 使三角形PBC是等腰三角形？若存 在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。YCOXBx= 1【通法：對動點P的坐標一母示（l，t）后，分三種情況，若P為頂點，則PB = PC ;若B為頂點，貝y BP=BC ;若。為頂點，則CP = CB。分別用兩點間的距離公式求出或表示各線段的長度】。 若平行于x軸的動直線1與直線BD交于點F,與拋物線交于點P，若三角形ODF為等腰三角形，求出點 P的坐標.YOrxDlFP【通法：分類討論，用兩點間的距離公式】

40、在直線BD下方的拋物線上是否存在點 P,使Svpbd的面積最大？若存在, 求出點P的坐標，若不存在，請說明理由。?P1【通法：S/PBD2（上（動）（動） ）?（x右（定）-X左在直線BD下方的拋物線上是否存在點 P,使四邊形DOBP勺面積最大?若存在，求出點P的坐標，并求出四邊形面積的最大值； 若不存在，請說明理由。/BOP +SVDPO 】?P【通法：S四邊形DOBP =SVDOB +SVDBP或S四邊形DOBP =SV 在直線BD下方的拋物線上，是否存在點P,使四邊形DCBP勺面積最大?若存在，求出點P的坐標，并求出四邊形面積的最大值； 若不存在，請說明理由.?P【通法：$邊 JDCB=

41、SDCB+VdBF 在直線ED下方的拋物線上，是否存在點P,使點P到直線BD的距離最大？若存在，求出點 P的坐標，并求出最大距離；若不存在，請說明理由。YODXB? P【通法：因為ED是定線段，點P到直線ED的距離最大，意味著三角形EDP的面積最大】I11在拋物線上，是否存在點P,使點P到直線BD的距離等于 2，若存在,求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。YODXB【通法：在動點坐標一母示后，用點到直線的距離公式，列出方程，求解即可】12X借助13若點P在拋物線上，且PDB=90，求點P的坐標?！就ǚǎ豪肒Bd?Kpb1D，及點B的坐標，求出直線PB的解析式,再把此解析式與拋物線方程組成方

42、程組，即可求出P點的坐標】。在拋物線上是否存在點P,使SvpBC =2Svabd，若存在，求出點p的坐標;14 若Q是線段CD上的一個動點（不與 C,D重合），QE PBD,交bc于點 E當三角形QBE的面積最大時，求動點B【通法：三角形QBE是三邊均動的動三角形， 把該三角形分割成兩個三角形 基本模型的差，即 SqBE Svqcb Svqce，題中平行線的作用是有兩個三角形相似， 從而有對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比，最后該動三角形的面積方可表示為，以動點Q(t,O)的坐標有關(guān)的幵口向下的二次函數(shù)?！?5 若E為x軸上的一個動點，F(xiàn)為拋物線上的一個動點，使 B,D,E,F構(gòu)成 平行四邊形時，求出E

43、點的坐標。YODXB【通法：以其中一個已知點(如：點B)作為起點，列出所有對角線的情況(如: BD, BE, BF)，分別設(shè)出兩個動點(點 E，點F)，運用中點坐標公式，求 出每一種情況下，兩條對角線的中點坐標，注意到兩個中點重合，其坐標對應(yīng)相 等，列出方程組，求解即可】。中考二次函數(shù)壓軸題分析2(一) 【2012宜賓中考】如圖，拋物線 y X 2x c的頂點A在直線l:y=x-5 上。(1) 求拋物線頂點A的坐標。(2) 設(shè)拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C，D (C點在D點的左側(cè))，試判斷三角形ABD的形狀;(3) 在直線1上是否存在一點P,使以點P,A,B,D為頂點的四邊形是平行四邊形

44、，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。AYC O /Dj/T /Jr f/XB /jfA(二) 【2012涼山州中考】如圖，在平面直角坐標系中，直線 y=x+4與x 軸，y軸分別交于A,B,兩點，拋物線y x2 bx c經(jīng)過A,B,兩點，并與x軸交 于另一點C (點C在點A的右側(cè))，點P是拋物線上一動點。(1) 求拋物線的解析式及點 C的坐標.(2) 若點P在第二象限內(nèi)，過點 P作PD x軸于D,交AB于點E.當點P運動到什么位置時，線段PE最長？此時PE等于多少?(3) 如果平行于x軸 的動直線1與拋物線交于 點Q,與直線AB交于點 N,點M為OA的中點， 那么是否存在這樣的直線1

45、,使得三角形MON是 等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理（三）【2012廣安市中考】在平面直角坐標系xOy中，AB丄x軸于點B,AB=3, tan / A0B=3/4 將厶OAB繞著原點 O逆時針旋轉(zhuǎn)90，得到 OAB;再將 OAB 繞著線段OB的中點旋轉(zhuǎn)180，得到 OAB，拋物線y=ax2+bx+c （ a0）經(jīng)過點 B、Bi、A?o（1）求拋物線的解析式；（2） 在第三象限內(nèi)，拋物線上的點P在什么位置時， PBB的面積最大？ 求出這時點P的坐標；（3） 在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點 Q,使點Q到線段BB的距離為晅?2 若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由

46、。（四）【2012樂山中考】如圖，在平面直角坐標系中，點 A的坐標為（m m），點B的坐標為 （n，- n），拋物線經(jīng)過 A O B三點，連接 OA OB AB,線段AB交y軸于點C.已知實數(shù) m n （m0) m與x軸相交于點B、C,與y軸相交于點E，且點B在點C的左側(cè)。(1) 若拋物線C1過點M(2,2)，求實數(shù)m的值(2) 在(1)的條件下，求三角形 BCE的面積。(3) 在(1)的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點H,使BH+EH最小，并 求出點H的坐標。(4) 在第四象限內(nèi)，拋物線 g上是否存在點F,使得以點E , C , F為頂點的三角形與三角形BCE相似？若存在，求 m的值；若不存

47、在，請說明理由EBC XO(七) 【2013宜賓中考】如圖，拋物線 y ax2 bx 4a經(jīng)過A (-1,0 )，C(0,4)兩點，與x軸交于另一點 Bo(1) 求拋物線的解析式；(2) 已知點D(m,m+1)在第一象限的拋物線上，求點D關(guān)于直線BC對稱的 點的坐標；(3) 在(2)的條件下，連接BD,點P為拋物線上一點，且DBP 45。求點P的坐標CAOBX（八）【2013山西中考】如圖，拋物線 y ：x2 ；x 4與X軸交于A,B,兩點（點B在點A的右側(cè)），與y軸交于點C,連接BC,以BC為一邊，點O為對稱中 心作棱形BDEC點P是x軸上的一個動點，設(shè)點 P的坐標為（m,0）,過點P作x 軸的垂線I交拋物線于點Q.（1）求點A,B,C的坐標.（2）當點P在線段OB上運動時，直線I分別交BD BC于點M N.試探究m為何值時，四邊形 CQM是平行四邊形，此時，請判斷四邊形CQB腑形狀，并說明理由.（3）當點P在線段EB上運動時，是否存在點 Q使三角形BDC為直角三角 形？若存在，請直接寫出點 Q的坐標;若不存在，請說明理由.（九）【2013重慶中考】如圖,對稱軸為直線 x=-1的拋物線y ax2 bx c（a 0）與x軸交于A,B兩點，其中點A的坐標為（-3,0）.（1）求點B的坐標;（2）