2016年第2屆UPhO邀請賽試題(圖片版)解讀

1、2016年第2屆UPhO邀請賽試題附詳解【題一】統(tǒng)狂的科學家想制造條太空鎖鏈。在地球赤道1:兩處，各立起來根長柱&柱子頂端到 地球球心的距離是忽略地球自轉(zhuǎn)，地球半徑為八 衣面重力加速度為g。在兩根柱子 的頂端之間連接根質(zhì)量均勻的鏈條，鏈條處于平衡狀態(tài)。(1) 如果鏈條最低點到地心距離為璉條上拉力最大值為林，拉力最小值為厲，求在端 點處鏈條切線與柱子的夾角Q:(2) 接1: 問，求鏈條的質(zhì)量線密度2?！緟?shù)】=1.84x107N , F2=8.83xl()6N, /? = 1.27xl07m , r =8.91xl06m, r = 6.37xl06g =9.8nVs2【解答】(I)山築體法容易得

2、到拉力垠大值位于頂點處，最小值位于最低點處。取鏈條的i半，相 對于地心力矩平衡有：FRsina = F2i得到F、R（2）還是取鏈條的一半，給一個沿鏈條方向朝外的長度為刃的微小虛位移，由虛功原理得 到GM Ml得到質(zhì)晟線密度為FT _ FGM ()g廠 z()r Rr R【答案】(1) ircsin(-) = 19.7F、R(2)FT= 0.719kg/m【題二】如果一個輕質(zhì)的桌子，桌面是一個半徑為1的圓，在圓周上的N等分點上有N個等長的桌 腿。桌腿可以被壓縮但是不可以被拉伸。被壓縮的桌風可以視為勁度系數(shù)為k的彈簧。在桌 而I:放個重力為G的質(zhì)點（Gvvb ）后，有些桌腿I:會右應(yīng)力，右些桌腿

3、會懸空。（1） = 4,質(zhì)點在某些區(qū)域的時候，能使得恰好冇一個桌腿懸空，求出這個面積的大小S|（2）NA5. mSN 3.質(zhì)點在某些區(qū)域的時候，能使得恰好有個桌腿懸空，求出這 個面枳大小D【參數(shù)】N = 2, m = 5【解答】如圖，設(shè)從中心點到第i條腿的欠經(jīng)為和第i條腿的壓縮量為。定義桌面轉(zhuǎn)動角矢呈0工紅=Gi力矩平衡：工護（恣習+ T、xG = （）i即ZfXJI設(shè)1$桌腿著地，其臨界惜況只有四種可能（或它們的某些交集）:召 0J = l,2,/： Zi Oj = 1,2,小II：L. =OJ = 5+1zj 0,2 2,3,9$Zi 0J = 1,2,汀一 1 iv：hz =0,/ =

4、召 (),Z = .v + 1,$ + 2,.,N平衡方程是線性方程，且所冇町能情況只冇四種，因此滿足1 $桌腿若地的區(qū)域為四邊形。記使得從第/條腿開始冇條腿著地的區(qū)域為Dt f9易知1 =久,5U - Di “I c D.iv 譏 cq-可以定性作出I:述四種臨界情況(即四個直線邊界):其中的兀指向斤+的方向。系統(tǒng)相對于兀軸有鏡面對稱，因此可到I,II. IIIJV分別相對于x軸鏡像對稱。記DI S的外邊界點為 化,即1,11邊界交點為Pg IIIJV邊界交點為 匚.匚匚上“耳“2vxW 1四個點囤成的四邊形區(qū)域。易知對5 = 2的怙況，總區(qū)域為桌腿國成的正N邊形以外區(qū)域。 對s = N 1

5、的情況，0$為PZN而對、=N的悄況，使得每條腿都右地的總區(qū)域為所國成的正N邊形。fj. $ + 1)、/$+1、cos0,sinieII 2丿/2 /丿記質(zhì)點此時所在位置為和=(心()，旋轉(zhuǎn)角度為a=(a4t0)于是冇&=& r + h = a cos由=()或比=0得到:a, cos1 一字 9j + /? = 0h = -as cos由力平衡得到:s-lzi-2由力矩平衡得到:as cos0 +h2丿丿解得:Malhcmatica 大法好:Sn.s =N（兀一兀+2）兀+1 siny帶入題口參數(shù)N=2Ls = N-m = 6得到： 兀=0.95401,九,=0.9308&心2 =0.90

6、437于是右總面枳=0.145(D如圖，設(shè)四條腿分別位于人44人處。此時對應(yīng)s = n- 1的情況。則易得彳3為4，為B件.4為 于是得到使AA.A#地的區(qū)域為BA2B2,因此使得二條腿著地的區(qū)域為B且B；B&以外、易得面積為1【答案】（1）1 SNs = /v（A； -xv+2）Af+1 sin- = 0.145 ,其中sin （-1 + s + sin2 （一2 +、） cos+ 2cossin2【題三】LIGO在2016年2月11丨I終于止式宣布發(fā)現(xiàn)高頻川力波。這次探測引力波的儀器可以視為一個耳大的邊克耳遜十涉儀。波長為2 = 1().6Mm激光在兩條柑互垂直的長度為心4km通道中運動N

7、 = 200個來回后發(fā)生干涉,通過測量干涉圖形可以判定光在兩條路線中傳播的 時間差。當有引力波通過的時候，時空結(jié)構(gòu)會發(fā)生彎曲.相當于導致空間的長度發(fā)生變化, 相對變化比為6,即原長為/的通道變?yōu)?(1 + 6，從而引起干涉圖像的變化。我們把5稱為引力波的“振幅”(1) 假設(shè)通過兩朿光十涉圖像能分辨的柑位基為則這個十涉儀的分辨楮度久的數(shù)雖級為多少？填入答案和-log1()最接近的蔡數(shù)(2) 月球質(zhì)最為八 地月距離為八 萬有引力常數(shù)為G,光速為c,月球的引力場在距肉廣帶來的空間彎曲nJ以近似認為是戈Gm，il算這-效應(yīng)帶來的相位改變血的數(shù)級。填入答案和-log10接近的整數(shù)（3）由于黑洞合并產(chǎn)生的

8、引力波的頻率極高，所以低頻的擾動實際上對結(jié)果影響不大。 知引力波的能流密度為j = Acr -其中A為無量綱常數(shù)，/為應(yīng)力波頻率，通過 綱分析計并得到a（4）計第（3）中的0（5）計算（3）中的丫（6）這次探測的爭件發(fā)生在距離我們13億光年星系。兩個質(zhì)雖分為29M$和36M$的黑.（其中M $為太陽質(zhì)量）任0.2秒內(nèi)合并成為一個質(zhì)雖為62M $的黑洞。合并的時候引力 頻率達到100Hz 我們假設(shè)虧損的質(zhì)杲全部轉(zhuǎn)成能最，以引力波的形式放出，取上問人= 估癢引力波到達地球的時候的振幅的數(shù)就級。填寫和-iogl0 a接近的整數(shù)?！緟?shù)】G=6.67xl0 11 Nm2kg2, w = 7.35x10

9、22kg, r = 3.84xl08m, c = 3.00xl08ms1,Ms =1.99xlOmkg【解答】（1）兩束光的相位差是令A(yù)0為題目中的最小值,則一logI0S為一 loggA0人2z2Nl弋2()（2）對&腫泄式中/展開到一階小量Gm因為只耍求求出數(shù)雖級，這甲.忽略系數(shù)，丁是2N15算出一log10A約為6（3）（4） （5）四個亮的量綱為別為2卜網(wǎng)S盯十叮小盯設(shè)出方程求解即可，解得, ,卩分別為-1, 3, 2（6）距我們13億光年的黑洞產(chǎn)生的能流密度為4r2 - Ar代入質(zhì)量變化為4” = 29Ms+36M$-62M,.=3M廠是13億光年，于是產(chǎn)生的為披終結(jié)果為 一1。亦6

10、二一叭(1),0io 9(2)loSio-(3)3沒有被命名。（1）對于給定的州=1.33和a = %，計算鳥（塔）（2）接（1）問，計算亠（久）（3）對于任怠的和N,計算,“（&）収極值時對應(yīng)的Q,、*（4）接上一問，計算亠,（a）的極值亠（5）接上一問，為了讓這個現(xiàn)彖出現(xiàn)，”能取到的最大值”麗（6）對于種偏振光，從空氣入射液體的時候，光振軸的反射率為r= bC0S-/-C0S .1 cosa + HCOs 投射率為/，從液體入射空氣的時候反射率為r=-r .投射率為廠，并滿足tt=l + n, 對于n = n.,計算第2級和第1級虹光振幅平方的比值厶/（7）接上一問，計算和第3級虹和第1級

11、虹光振幅平方的比值IJ1、【參數(shù)】aQ = 20.4 , N = 4, n = 2.03【解答】（1）毎折射一次，偏轉(zhuǎn)角為：a-e毎在水滴內(nèi)反射一次，偏轉(zhuǎn)角為：7V-20由折射定律n sin &= sin a.r+2（a-）一2. A2=A, +7r 一2a+2(z -0) = 2;r -6arcsin(sin(a0)/) + 2久（2）經(jīng)/V歡反射和的;火折射肓Av =N 龍一(2N+2)srcsin嗎+ 2。77丿dA令 = 0,解得: aa弧和二 arcsin（3）代入。至偏轉(zhuǎn)角的表達式中，得:麗=Ntt-QN + 2)arcsin莒丄 + 2 arcsinl(N + ir (N + l

12、)2_為使存在nN + （4）由定義知:則只蠱計算不同情況下的折射率和反射率 代入對應(yīng)極值角度汁笄得：代入N計算，得型竺皿2怡厶仝亠0.4009765625L 16384【答案】(1) At =-4arcsin(sin(a0)/n0) + 2a0 = 160(2) A2 - In-6circsin(sin(7(J)/n0) + 2a= 309.6=iircsinl(N + l)2-n2 q(n+1)匸 i= 68.9(4)AVm = Nti 一 (2N + 2) arcsin. 十-+ 2arcsin 皿V (N + l)2-l-=584.2 =2 + 1 = 5(6) IJ/= 0.400(

13、7) /./, =0.218【題五】請注慰這是一道水題。一個質(zhì)晟為加的均勻圓柱，放在一個質(zhì)晟為M的角度為的斜面上。（1）地面和斜面Z間1占1龍，斜面上表面光消，求惻柱加速度q（2）地面和斜面之間光滑,斜面上表面光滑,求圓柱相對斜面加速度勺（3）地面和斜面Z間固定，斜面匕表面摩擦系數(shù)為“，發(fā)現(xiàn)鬪柱在斜而I：純滾動，求摩擦 系數(shù)的最小值“血（4）求（3）中圓柱的加速度（5）地面和斜面之間光滑,斜面上表面摩擦系數(shù)為“,發(fā)現(xiàn)圓柱在斜面上純滾動,求摩擦 系數(shù)的最小值曲,”（6）求（5）中圓柱的加速度【參數(shù)】g =9.8ni/s2, tn = 3.18kg , M= 6.4kg, 9 = 40.7【解答】

14、（1）相當于一個質(zhì)點在固定斜面上運動5 = g sin 3 由水平動雖守恒,設(shè)斜面移動速度是,圓柱相對斜面斜向下的速度是弘,水平動量 守恒，有(M + m) v0 = mv cos 0動能比是丄A/v02 +丄加(v02 + V)2 - 2vov, cos0)，代入得2 2孫能Ep對時間求導是由機械能守恒定律+ /?sin2 0)dt=tnvx sin。dtdE+dtdt=0g sin 0(M + m)“2 =M +msin 0(3) (4)動能乙包括平動項和轉(zhuǎn)動項廠1乍1 mR2Ek=-+-/ 23=mv4勢能圮對時間求導是dt=-tngv sin。由機械能守怛定律dE dEk 叫di dt

15、 dt=0有“今，解得2a. = sin由角動雖定理垂直斜而方向受力T衡N = m2 cos 6求出“詼的最小值是= tan 0N 3(5) (6)由水平動屋守恒，設(shè)斜而移動速度是,鬪柱相對的而斜向下的速度是兒，水平動量守恒，冇(M + HI ) vo = 八cos 0得到斜面加速度和岡柱相対斜面的加速度a Z間的關(guān)系mcosO ,=a.m + M 4動能耳是g M v02 +亍” (v02+ 片2 2v0V| cos0)+掙府2 M + mM + wsin2+ m)勢能乞?qū)r間求導是生=-嘩片sin T M wcos/7 . fN =a+sin 0 M + w tan求出“如的最小值是N3/

16、W +m【答案】(I)q =gsinO 二 6.39m/s(2)型型* 7 90加M + m sin 0(3)如=| tan K+ A（1）在質(zhì)子靜止參照系中，要求反應(yīng)能夠發(fā)生，求光子了能量最小值Ey（2）被播擊的質(zhì)子可能在一個靜1上的原了核屮，而原子核屮的質(zhì)子可能隨機運動，最名可 能具右“ =200MeV/c的動量（費米運動），則光了的能晟id小值為Ey （3）接第一問，假設(shè)A的飛行速度為0c,飛行中衰變成為-個質(zhì)子和；T,則礦可能具有的動量最大值化訕為多少（單位MeV/c）。（4）接上-問，礦和人方向的放大夾角氏為多少【參數(shù)】M ,=938McV/c2, M =494MeV/c2, M =

17、1116MeV/c2, M =140MeV/c2PfCA疋P = 0.773【解答】（1）、（2）:換到質(zhì)心系中，產(chǎn)物都相對靜上（即相對質(zhì)心動能為零），所需能暈最小令P； + P；= 0則質(zhì)心速度為:卩=E：八+jE； + 吩2在質(zhì)心系中，能就守恒，則：帶+（一仔寸+Pc%, +5解得質(zhì)心系中光子動就：廠 2（U）c宙洛倫茲逆變換得，原系中光子能戢為：（Ef 心 E；2（悶+啓一“產(chǎn)）令Pf=0$則（E . +E A-E 2E = =913MeV/cZ2Ep第（2）問屮光子和質(zhì)子迎頭相碰，令Pj = -200MeV/c算得:Eyf = 739MeV（3）兩個產(chǎn)物粒子運動只線且反向時，產(chǎn)物之有最

18、大速度。 質(zhì)心系中能雖守恒：5+ p2c2則各產(chǎn)物動量為:pc =W + EJ-EI 25-E 2(3)質(zhì)心系中能量為:2E.A由洛倫茲逆變換，原系中圮人動量為:5725（4）在質(zhì)心系中者速度不共線時，設(shè)7T一沿0動就為“COS0原系中.其速度與0方向夾角為0則，心、e ,、 廠（”cos0+0E； J2）=0,求得極值點函數(shù)值文Cl00“ = arctan nt其屮：【答案】(1)(2)(A/+M-M2A*r2Ma工 EMCV巧一（E=+E丄-氣, 2（jE： + P：c2 +2=739MeV=3.69xlO2MeV/c2M、【趣匕】 鑒于熱力學第二丘律已經(jīng)進入考綱，我們還是考一考吧。如圖-

19、坨流體發(fā)生氣液相變的時候 形成的等溫圖，液態(tài)體積為氣態(tài)休枳為匕，由于氣液共存，所以流體體枳可以從嶺連續(xù)變?yōu)?。在溫度為T時，飽和蒸氣壓為。在溫度為T到T + T Z間構(gòu)造一個可逆熱機， 在圖中沿ABCQ循環(huán)，AB,CD為等溫過程，HC, DA為絕熱過程，這個循環(huán)是卡諾循環(huán)。dW dT熱力學第二定律告訴我們，這個循環(huán)的效率為 ,0為相變吸熱，“岡為循環(huán)對 外做功。按定義液態(tài)和氣態(tài)的燔變s?-耳。帶入表達式后我們發(fā)現(xiàn) dp(y2-v=dTs2-sx)9由此可以計算飽和蒸氣壓隨溫度的變化關(guān)系在超導態(tài)正常態(tài)相變屮也有類似的現(xiàn)象。止常態(tài)中，物體的磁矩M=(),超導態(tài)屮MB為外磁場。夕卜場對磁矩的做功可以表示為dW = -BdM .在溫度為T時,B B(T)為正常態(tài)，BBC(T)為超導態(tài)，其=1 -一?,而取等號的時候 則為混合態(tài)。為(T)和S(T)分別為正常態(tài)和超導態(tài)的爛。類比上面的做法，求出ASZI(T)o【參數(shù)】=0.144T, /0=1.25xlON/A2, 7 = 1.95K, To = 4.48K【解答】二 dT山熱力學第二定律，一個小循環(huán)的過程中Q 丁 過程的爛變是ASZI(T) =負號代表是磁介質(zhì)對外做工，與題忖中定義差一負號。代入條件得S” (