三角函數(shù)高考題及練習(xí)題含答案

1、三角函數(shù)高考題及練習(xí)題(含答案) 1. 掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)；會用“五點法”作出正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的 圖象；掌握函數(shù) y = Asin( wx + $)的圖象及性質(zhì). 2. 高考試題中，三角函數(shù)題相對比較傳統(tǒng)，位置靠前，通常是以簡單題形式出現(xiàn)，因此在本講復(fù)習(xí) 中要注重三角知識的基礎(chǔ)性，特別是要熟練掌握三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)圖象的識別及其簡單的性質(zhì) (周期、單調(diào)性、奇偶、最值、對稱、圖象平移及變換等). 3. 三角函數(shù)是每年高考的必考內(nèi)容，多數(shù)為基礎(chǔ)題，難度屬中檔偏易.這幾年的高考加強(qiáng)了對三角 函數(shù)定義、圖象和性質(zhì)的考查.在這一講復(fù)習(xí)中要重視解三角函數(shù)題的一些特殊方法，

2、如函數(shù)法、待定 系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等. 1. 函數(shù)y= 2sin2 1是最小正周期為 的(填奇”或偶”)函數(shù). 答案：n 奇 解析：y= cos= sin2x. 2. 函數(shù)f(x) = Igx sinx的零點個數(shù)為 . 答案： 3 解析：在(0 ,+)內(nèi)作岀函數(shù)y = Igx、y = sinx的圖象，即可得到答案. 3. 函數(shù)y= 2sin(3x + ),的一條對稱軸為x=，貝U $=. 答案： 解析：由已知可得 3X+ $= k n+, k Z,即卩$= kn+, k 乙因為冷|,所以$=. 4若f(x) = 2sinw x(0 w1)在區(qū)間上的最大值是，則w=. 答案： 解析：由OW x

3、w,得0 wx ，則f(x)在上單調(diào)遞增，且在這個區(qū)間上的最大值是，所以2sin =, 且0，所以=，解得 w=. 題型二三角函數(shù)定義及應(yīng)用問題 例1設(shè)函數(shù)f( 0)= sin e+ cose,其中角e的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊 經(jīng)過點 P(x, y)，且 ow e0 ,w 0)的部分圖象如圖所示. (1) 求 f(o) 的值； 若0 $n,求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍. 解： (1)由題圖可知 A=， . = = ,.w= 2.又 2X+ $= 2k n+, $= 2k n+ (k Z), f(0) = sin=. (2) 護(hù)，f(x) = sin.因為OW x

4、w ,所以w 2x + Wn,所以O(shè)W sin 0)的最小正周期為2,并且當(dāng)x=時， f(x) max= 2. (1) 求f(x)的解析式； (2) 在閉區(qū)間上是否存在f(x)的對稱軸？如果存在，求岀其對稱軸方程；如果不存在，請說明理 由. 解：因為f(x) = sin( oX $ )由它的最小正周期為2，知=2，o=n .又當(dāng)x=時，f(x) max = 2，知 n+ $= 2k n+ (k Z)，即 $= 2k n+ (k Z)，所以 f(x) = 2sin= 2sin(k Z). 故f(x)的解析式為f(x) = 2sin. (2)當(dāng)垂直于x軸的直線過正弦曲線的最高點或最低點時，該直線就

5、是正弦曲線的對稱軸，令nX + =k n+ (k Z)，解得x = k+ (k Z)，由W k + w ,解得w kw .又k Z,知k= 5,由此可知在閉區(qū)間上 存在f(x)的對稱軸，其方程為x =. 題型三三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象的移動問題 例3把函數(shù)f(x) = sin2x 2sinxcosx + 3cos2x的圖象沿x軸向左平移 m個單位(m0)，所得函數(shù)的圖 象關(guān)于直線x=對稱. (1) 求m的最小值； (2) 證明：當(dāng)x 時，經(jīng)過函數(shù)f(x)圖象上任意兩點的直線的斜率恒為負(fù)數(shù)； (3) 設(shè) X1, X2 (0 ,n ) , X1 工 X2，且 f(X1)= f(x 2) = 1,求 X

6、1+ X2 的值. (1)解：f(x) = sin 2sinxcosx + 3cos2x = sin2x + 3 = cos2x sin2x + 2 = cos + 2. 因為將f(x)的圖象沿x軸向左平移 m個單位(m0)，得到g(x) =+ 2的圖象，又g(x)的圖象關(guān)于直線 x=對稱， 所以 2 + = kn, 即 卩 m=n (k Z). 因為m0，所以m的最小值為. 證明：因為x ，所以一4n 2x + f(x 2)，從而經(jīng)過任意兩點(X1, f(X1)和(X2, f(X2)的直線的斜率k = 0. (1) 若y = f(x)在上單調(diào)遞增，求o的取值范圍； (2) 令o= 2，將函數(shù)

7、y = f(x)的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù) y = g(x)的圖 象，區(qū)間a, b(a , b R且a0,根據(jù)題意有 0 o w . (2)f(x) = 2sin2x , g(x) = 2sin2 + 1 = 2sin + 1, g(x) = 0 涼 sin = 4 x = kn或 x= k n n, k 乙即 g(x)的零點相鄰間隔依次為和，故若y= g(x)在a, b上至少含有30個零點，則b a的最小值為14X + 15X =. 已知函數(shù) f(x) = sin( 3 汁 $ ) cos( 3 汁 )(0 $0)為偶函數(shù)，且函數(shù) y = f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間

8、的距離為 . (1) 求f的值； 將函數(shù)y= f(x)的圖象向右平移個單位后，得到函數(shù)y = g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū) 間 解：(1)f(x) = sin( 3 汁 $ ) cos( 3 汁 $ ) 2= 2sin.因為 f(x)為偶函數(shù)，所以對 x R, f( x) = f(x)恒成 立， 因此 sin= sin， 即 sin 3 xcos cos 3 xsin = sin3 xcos($ )cos3xsin ， 整理得 sin3 xcos = 0.因為 3 0，且 x R， 所以cos= 0.又0V $冗，故 $=. 所以 f(x) = 2sin = 2cos3 x.由題

9、意得=2 x，所以 3= 2，故 f(x) = 2cos2x，因此 f = 2cos=. (2) 將f(x)的圖象向右平移個單位后，得到f的圖象，所以 g(x) = f = 2cos= 2cos.當(dāng)2k n 2x 2k n + n (k Z)，即k n+W x k n+ (k Z)時，g(x)單調(diào)遞減，因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 (k Z). 題型四三角函數(shù)圖象及性質(zhì)、三角公式綜合運用 例 4 已知函數(shù) f(x) = 2sin2 cos2x 1 ， x R. (1) 求 f(x) 的最小正周期； (2) 若h(x) = f(x + t)的圖象關(guān)于點對稱，且 t (0，n )，求t的值； (3

10、) 當(dāng)x 時，不等式|f(x) m|0,3 0，|$ | n )，在同一周期內(nèi)，當(dāng)x =時，f(x)取得最大值3 ； 當(dāng)x=n時，f(x)取得最小值一3. (1) 求函數(shù) f(x) 的解析式； (2) 求函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間； 若x 時，函數(shù)h(x) = 2f(x) + 1 m有兩個零點，求實數(shù) m的取值范圍. 解：(1)由題意，A = 3， T = 2=n，3 = =2. 由 2 X + $=+ 2k n 得 $=+ 2k n， k Z . 又一n $ n，.$=，. f(x) = 3sin. (2) 由+ 2k n W 2x + W + 2k n，得+ 2k n W 2x W +

11、 2k n，即+ k nW x W + k n， k Z . 函數(shù) f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為， k Z. (3) 由題意知，方程 sin =在上有兩個根. / x ， 2x + . , m 1 3，7). 1. (2013 江西卷)設(shè)f(x) = sin3x + cos3x，若對任意實數(shù)x都有|f(x)| 2 解析：f(x) = sin3x + cos3x = 2sin , |f(x)| 2. 2. (2013夭津卷)函數(shù)f(x) = sin在區(qū)間上的最小值是 . 答案： 3. (2013全國卷)函數(shù)y= cos(2x + $ )n 0 ,w 0) 若f(x)在區(qū)間上具有單 調(diào)性，且f =

12、f =一 f，則f(x)的最小正周期為 . 答案：n 解析：由f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，f =一 f知，函數(shù)f(x)的對稱中心為，函數(shù) f(x)的對稱軸為直線 x =，設(shè)函數(shù)f(x)的最小正周期為T，所以T ，即卩T，所以一=，解得 T =n . 5. (2014 福建卷)已知函數(shù) f(x) = cosx(sinx + cosx). (1) 若 0 a，且 sin a=，求 f( o的值； (2) 求函數(shù) f(x) 的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 解：(解法 1)(1)因為 0a，sina=，所以 cos a=. 所以 f( a=. (2)因為 f(x) = sinxcosx + cos2x

13、= sin2x + = sin2x + cos2x = sin，所以 T = =n .由 2k n 2x + w 2k n+, k Z,得k n x k n+, k 乙所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為， k Z. (解法 2)f(x)=sinxcosxcos2x= sin2x= sin2x cos2x= sin. (1) 因為 0 a, sin a=，所以 a=. 從而 f( a= sin= sin =. (2) T =n . 由2k n 2x +W 2k n+, k Z,得k n x0，函數(shù) f(x) = asinxcosx sinx cosx, x 的最大值為 G(A). (1) 設(shè)t = s

14、inx+ cosx, x，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù) m(t)； (2) 求 G(A) . 解： (1)t= sinxcosx= sin. / x ,. x+, si nW 1 , .1 t ,即卩t的取值范圍為1 , . (3分) (另解：/ x , t = sinx+ cosx=.由 2x 0 , n 得 0 sin2x 1 , 1 t0.(7 分) (2)由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得： 當(dāng) 2( 1)時，G(A) = m() = a; (10 分) 當(dāng) ,即卩 0a 2( 1)時，G(A) = m(1) = .(13 分) G(A) = (14 分) 1若v xv,則函數(shù) y

15、 = tan2xtan3x的最大值為 . 答案： 8 解析：令tanx = t (1,+ x), y =, y (t)=，得上=時y取最大值一8. 2. 已知函數(shù) f(x) = 2cos2x + sin2x，求： (1) f的值； f(x)的最大值和最小值. 解：(1)f = 2cos + sin2= 1 + = . (2) f(x) = 2(2cos2x 1)+ (1 cos2x) = 3cos2x 1, x R.因為 cosx 1, 1，所以當(dāng) cosx = 1 時, f(x)取最大值2；當(dāng)cosx= 0時，f(x)取最小值1. 3. 已知AABC的內(nèi)角，求y = cos2A + cos2的取值范圍. 解：y = cos2A + cos2 = + =1 + + =1 + = 1 + cos. A為三角形內(nèi)角， 0V A Vn，一1W cos W 1， y= cos2A + cos2 的取值范圍是，. 4. 設(shè)