高斯公式的應(yīng)用（可編輯）

1、高斯公式的應(yīng)用 高斯公式的應(yīng)用 摘要:高斯公式是重積分中一個(gè)極其重要的公式, 揭示了空間區(qū)域的三重積分與其邊界面上的曲面積分之間的關(guān)系1-2然而在教學(xué)實(shí)踐中, 卻有不少學(xué)生被發(fā)可現(xiàn)不能正確恰當(dāng)用高斯公式, 原因在于其對于高斯公式應(yīng)用的條件理解不夠準(zhǔn)確透徹和對解決此類問題的方法、技巧掌握不夠靈活.現(xiàn)通過積分區(qū)域s的不同情況時(shí),對高斯公式的應(yīng)用進(jìn)行討論,更深入的了解高斯公式的應(yīng)用條件以及應(yīng)用技巧。關(guān)鍵詞:第二型曲面積分;高斯公式;應(yīng)用技巧。abstract:gaussian formula is an extremely important formula of re-integration, r

2、eveals the relationship between the surface integral of the triple integral of it boundary surface of the region of space 1-2 in the teaching practice, however, there are a lot of students are sent can be is not correct and appropriate use gauss formula, as understood in its application conditions f

3、or the gaussian formula not thorough and accurate method to solve such problems, not flexible enough to master skills through the integration region s, the gaussian formula discussions, a deeper understanding of the gaussian formula conditions and application skills.keywords: surface integral; gauss

4、ian equation; application skills.1.預(yù)備知識3 定理1 設(shè)求第二型曲面積分,一般是將它投影到平面化為二重積分來積分.r是定義在光滑曲面上的連續(xù)函數(shù),以s的上側(cè)為正側(cè)(這時(shí)s的法線方向與z軸正向成銳角),則有 定理2 設(shè)空間區(qū)域v 由分片光滑的雙側(cè)封閉曲面s 圍成. 若函數(shù)p, q, r 在v 上連續(xù), 且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(1)其中s取外側(cè).(1)式稱為高斯公式。 注意 該公式的適用條件有兩個(gè):(1)為曲面s為一個(gè)封閉的曲面,并且s是有方向的,一般外則為正向.(2)函數(shù)p,q,r在封閉曲面s所圍成的空間區(qū)域v上連續(xù)且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).下面通過對曲面s進(jìn)行不同的分

5、類以及函數(shù)p, q, r 在v 上連續(xù)情況,討論不同條件下高斯公式的應(yīng)用方式及應(yīng)用技巧.2.高斯公式的應(yīng)用2.1封閉曲面直接應(yīng)用高斯公式 當(dāng)涉及到的曲面時(shí)一個(gè)封閉的曲面時(shí) ,可以直接利用高斯公式將封閉曲面的二重積分 化成相應(yīng)的三重積分,但要注意曲面s的方向 例14 求第二型曲面積分,其中s:的外側(cè). 解因?yàn)轭}目中的條件滿足高斯公式的兩個(gè)條件,其中px q,r1由高斯公式得,所求積分i 由于,關(guān)于平面y0對稱,為y的奇函數(shù),故,所以i 例2.求第二型曲面積分,其中s為且其外法線方向與x坐標(biāo)軸的夾角為鈍角.分析:由s的外法線方向與x坐標(biāo)軸的夾角為鈍角,知取s的內(nèi)側(cè),不滿足高斯公式應(yīng)用的條件,所以不

6、能直接使用 高斯公式,但是因?yàn)?其中為s的反向,即為s的外側(cè),可以利用該結(jié)論對題目進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)而利用高斯公式. 解 -, 其中px q r1 i- 為s的外側(cè),滿足高斯公式的應(yīng)用條件由高斯公式得,i- - -由于1,關(guān)于平面y0對稱,為y的奇函數(shù),故,所以i-2.2構(gòu)造封閉曲面在運(yùn)用高斯公式 當(dāng)題目中所涉及的曲面不封閉時(shí),這時(shí)要利用高斯公式來計(jì)算第二型曲面積分,則需要添加輔助面,一般為平行于坐標(biāo)平面的輔助平面,構(gòu)成封閉曲面. 例35.計(jì)算j,其中s為圓柱面被z0,z3截的部分外側(cè). 解 分別補(bǔ)充圓柱面與z0,z3的交平面,其中 ,合起來為一個(gè)封閉的曲面,記px qy rzj 其中由高斯公式得而垂

7、直平面,平面,垂直平面,平面從而j9-362.3曲面封閉但存在有限個(gè)奇點(diǎn)2.3.1 當(dāng)在封閉的曲面內(nèi)有奇點(diǎn)(即被積函數(shù)不連續(xù)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)),當(dāng)這個(gè)奇點(diǎn)為良性奇點(diǎn)(不妨把使被積函數(shù)滿足等式的奇點(diǎn)定義為良性奇點(diǎn),反之則定義為非良性奇點(diǎn)一般會用小圓或小橢圓來挖掉這個(gè)奇點(diǎn),從而使這個(gè)小圓或小橢圓和原來的曲面共同構(gòu)成一個(gè)封閉的復(fù)連通區(qū)域,則在這個(gè)復(fù)連通區(qū)域內(nèi)可以利用高斯公式,是小圓還是小橢圓要根據(jù)所給的被積函數(shù)的形式. 例46.計(jì)算gauss曲面積分,其中s是封閉光滑曲面,原點(diǎn)不在s上, r是s 上動(dòng)點(diǎn)至原點(diǎn)的距離,動(dòng)點(diǎn)處外法線方向與徑向量的夾角. 解表示動(dòng)點(diǎn)的徑向量,則模r, ,表示s在動(dòng)點(diǎn)的外

8、法線單位向量.則 題目分兩種情況:若原點(diǎn)位于s之外部區(qū)域,則函數(shù)pq r在s內(nèi)部區(qū)域直到邊界s上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).因此可應(yīng)用高斯公式i 注意由輪換對稱性得+ + -0故i若原點(diǎn)位于s的內(nèi)部區(qū)域.這時(shí)p、q、r在原點(diǎn)處不連續(xù),不能直接在s的內(nèi)部區(qū)域上應(yīng)用高斯公式公式.今以原點(diǎn)為中心,以(充分小)為半徑,作一球面,使得全位于s的內(nèi)部區(qū)域.以v表示s與之間的區(qū)域.則v內(nèi)部不含原點(diǎn)可以應(yīng)用中已得結(jié)論.因此原積分i- 總之 i因?yàn)樵摾}中涉及被積函數(shù)的分母中有這種球面形式形式,所以利用用充分小的球體去挖掉這個(gè)奇點(diǎn). 例57.計(jì)算曲面積分,其中s是球面,取外側(cè). 解 記,則在不包含原點(diǎn)的任何區(qū)域上有,對充分小

9、的,作封閉曲面,取內(nèi)側(cè),用充分小的橢球體來挖掉奇點(diǎn),因?yàn)閟與構(gòu)成復(fù)連通區(qū)域,設(shè),在圍成的封閉區(qū)域應(yīng)用高斯公式得 0-而在曲面上有,則其中表示曲面的外側(cè)再利用一次高斯公式得i其中為橢球體,則i因?yàn)樵擃}中涉及到的被積函數(shù)的分母中是這種橢球體形式,所以用充分小橢球體來挖掉(0,0,0)這個(gè)奇點(diǎn)2.3.2 當(dāng)被積函數(shù)個(gè)有無數(shù)奇點(diǎn),且為非良性奇點(diǎn),這時(shí)計(jì)算第二型曲面積分,一般用投影化成二重積分.例7.計(jì)算,其中s為橢球面方向取外側(cè).分析:因?yàn)閤軸,y軸,z軸上的點(diǎn)都為被積函數(shù)的奇點(diǎn),且為非良性的,所以只能用將橢球面分別投影到三個(gè)坐標(biāo)平面,從而化成三個(gè)二重積分來計(jì)算. 解 首先將橢球面將投影到平面,得先計(jì)

10、算,因?yàn)樵跈E球面上有所以i 2利用廣義的極坐標(biāo)變換令所以i2,由輪換對稱的性質(zhì)得,所以2.4曲面不封閉,構(gòu)造輔助平面時(shí)產(chǎn)生奇點(diǎn) 當(dāng)需要求的曲面積分中涉及到的曲面不是封閉的曲面,要用高斯公式,則首先需要添加輔助平面,而恰好在添加的平面上有奇點(diǎn),則要用通過小橢球體或小球體繞過這個(gè)奇點(diǎn). 例6.求曲面積分i,上側(cè).分析:因?yàn)閟不封閉,添加輔助平面:z0,但僅僅構(gòu)造這個(gè)平面之后,帶來奇點(diǎn)(0,0,0),所以構(gòu)造的平面不符合要求. 要繞過(0,0,0)構(gòu)造輔平面. 解 設(shè),其中取外側(cè)取下側(cè),為足夠小的常數(shù),使上半球面與積分曲面s不相交,而s與構(gòu)成復(fù)連通區(qū)域,在該區(qū)域上可直接應(yīng)用高斯公式,則有因此i0-

11、-而在0,故i-在上,有r,故i-再補(bǔ)充平面,取下側(cè),則構(gòu)成封閉的半球,所以在上應(yīng)用高斯公式得+ -,由曲面積分得知識得0所以i- (文獻(xiàn)8 9 10 11)參考文獻(xiàn):1 馬知恩. 工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ) m北京: 高等教育出版社, 1998: 150.2 吉林大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析: 中冊m北京: 人民教育出社,1978:1463 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:下冊 第三版m.高等教育出版社,2001:286-292.4 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹第二版m.湖北長江出版集團(tuán) 崇文書局,2009:576.5 錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹第二版m.湖北長江出版集團(tuán) 崇文書局,2009:572.6 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中典型問題與方法第二版m.高等教育出版社,2006:987.7 謝惠民.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義下冊m. 高等教育出版社,2004:348.8 李菊.運(yùn)用高斯公式應(yīng)注意的一個(gè)問題j.高等數(shù)學(xué)研究,2000,(3):13-14.9 鄧東皋,伊?xí)粤?數(shù)學(xué)分析簡明教程