2021年復(fù)變函數(shù)總結(jié)

1、精編word文檔 下載可編輯復(fù)變函數(shù)總結(jié)第一章復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)平面上的拓?fù)鋸?fù)數(shù)的定義一對(duì)有序?qū)崝?shù)（x,y）構(gòu)成復(fù)數(shù)zxiy,其中xrez,yimz.i21，x稱為復(fù)數(shù)的實(shí)部，y稱為復(fù)數(shù)的虛部。復(fù)數(shù)的表示方法1）模zx2y2；2）幅角在z0時(shí)，矢量與x軸正向的夾角，記為是位于(,中的幅角。argzargz（多值函數(shù)）；主值3）argz與arctanyx之間的關(guān)系如下yx；當(dāng)x0,argzarctany0,argzarctanx0,y0,argzarctan當(dāng)yxyx4）三角表示zzcosisin，其中argz；注中間一定是“+”5）指數(shù)表示復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1）.加減法若z1x1iy1,z2x2iy2

2、，則z1z2x1x2iy1y22）.乘除法3）若z1x1iy1,z2x2iy2，則z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2zzei，其中argz；。z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y4）若z1z1ei1,z2z2ei2,則z1z2z1z2ei12；z1i12z1ez2z2無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)得擴(kuò)充與擴(kuò)充復(fù)平面復(fù)平面對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線將z與n相連,與球面相交于p點(diǎn),則球面上除n點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而n點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作.這樣的球面稱作復(fù)球面這樣的球面稱作復(fù)球面.擴(kuò)充復(fù)平面-引進(jìn)一

3、個(gè)“理想點(diǎn)”:無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)復(fù)平面的開(kāi)集與閉集復(fù)平面中領(lǐng)域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，閉集等概念復(fù)數(shù)序列的極限和復(fù)數(shù)域的完備性復(fù)數(shù)的極限，柯西收斂定理，魏爾斯特拉斯定理，聚點(diǎn)定理等從實(shí)數(shù)域里的推廣，可以結(jié)合實(shí)數(shù)域中的形式來(lái)理解。第二章復(fù)變量函數(shù)復(fù)變量函數(shù)的定義設(shè)g是一個(gè)復(fù)數(shù)zxiy的集合.如果有一個(gè)確定的法則存在,按這個(gè)法則,對(duì)于集合g中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z,就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)wuiv與之對(duì)應(yīng),那末稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡(jiǎn)稱復(fù)變函數(shù)),記作wf(z).1）復(fù)變函數(shù)的反演變換（了解）2）復(fù)變函數(shù)性質(zhì)反函數(shù)有界性周期性，3）極限與連續(xù)性極限設(shè)函數(shù)wf(z)定義在z0的去心鄰域連續(xù)性0zz0內(nèi),如果有一確

4、定的數(shù)a存在,對(duì)于任意給定的0,相應(yīng)地必有一正數(shù)()使得當(dāng)0zz0(0)時(shí),有f(z)a那末稱a為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限.如果limf(z)f(z0),那末我們就說(shuō)f(z)zz0在z0處連續(xù).如果f(z)在區(qū)域d內(nèi)處處連續(xù),我們說(shuō)f(z)在d內(nèi)連續(xù).復(fù)變量函數(shù)的形式偏導(dǎo)1）復(fù)初等函數(shù)ezexcosyisinye2)指數(shù)函數(shù)，在z平面處處可導(dǎo)，處處解析；且注e是以2i為周期的周期函數(shù)。（注意與實(shí)函數(shù)不同）3)對(duì)數(shù)函數(shù)主值z(mì)zez。lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函數(shù)）；。（單值函數(shù)）lnzlnziargzlnz的每一個(gè)主值分支lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析

5、，且lnz1z；注負(fù)復(fù)數(shù)也有對(duì)數(shù)存在。（與實(shí)函數(shù)不同）4)乘冪與冪函數(shù)abeblna(a0)；zbeblnz(z0)bb1注在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的z平面內(nèi)處處解析，且zbz。eizeizeizeiz5)三角函數(shù)sinz2i,cosz2,tgzsinzcosz,ctgzcoszsinzsinz,cosz在z平面內(nèi)解析，且sinzcosz,coszsinz注有界性sinz1,cosz1不再成立；（與實(shí)函數(shù)不同）ezezezez6）雙曲函數(shù)shz2,chz2；shz奇函數(shù)，chz是偶函數(shù)。shz,chz在z平面內(nèi)解析shzchz,chzshz第三章解析函數(shù)的定義復(fù)變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)wf(z)定義于區(qū)

6、域d,z0為d中的一點(diǎn),點(diǎn)z0z不出d的范圍,f(z0z)f(z0)如果極限limz0z存在,那末就稱f(z)在z0可導(dǎo).這個(gè)極限值稱為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù),復(fù)變量函數(shù)的解析性如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),那末稱f(z)在z0解析.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域d內(nèi)每一點(diǎn)解析,則稱f(z)在區(qū)域d內(nèi)解析.或稱f(z)是區(qū)域d內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)(全純函數(shù)或正則函數(shù)).函數(shù)可導(dǎo)與解析的充要條件1）函數(shù)可導(dǎo)的充要條件fzux,yivx,y在zxiy可導(dǎo)ux,y和vx,y在x,y可微，且在x,y處滿足cd條件uv,xyuvuvfziyx此時(shí)，有xx。2）函數(shù)解析的充要條件fzux,yivx,y在

7、區(qū)域內(nèi)解析ux,y和vx,y在x,y在d內(nèi)可微，且滿足cd條件uv,xyfzuvyx；uvixx。此時(shí)注意若ux,y,vx,y在區(qū)域d具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則ux,y,vx,y在區(qū)域d內(nèi)是可微的。因此在使用充要條件證明時(shí)，只要能說(shuō)明u,v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)且滿足cr條件時(shí)，函數(shù)f(z)uiv一定是可導(dǎo)或解析的。解析映射的幾何意義保角性任何兩條相交曲線的夾角（即在交點(diǎn)的切線的夾角）在解析映射下的夾角保持不變第四章柯西定理和柯西公式1復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)fzdz1）ccc1fzdz（c與c的方向相反）；cc1fzgzdzfzdzgzdz,2）是常數(shù)；3）若曲線c由c1與c2連接而成，則c2復(fù)變函數(shù)積分的

8、一般計(jì)算法ccfzdzfzdzfzdzc1c2。fzdzudxvdyivdxudy1）化為線積分；（常用于理論證明）c2）參數(shù)方法設(shè)曲線czzt(t)，其中對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)曲線c的終點(diǎn)，則c積分與路徑無(wú)關(guān)的條件和原函數(shù)1）條件見(jiàn)書中定理（1）（2）命題（1）（2）這幾個(gè)定理及命題都只有理論上的意義?？挛?古爾薩定理及其應(yīng)用4柯西古薩基本定理fzdzfztz(t)dt設(shè)fz在單連域b內(nèi)解析，c為b內(nèi)任一閉曲線，則fzdz0c5復(fù)合閉路定理設(shè)fz在多連域d內(nèi)解析，c為d內(nèi)任意一條簡(jiǎn)單閉曲線，c1,c2,cn是c內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn為邊界的區(qū)域全含于d內(nèi)

9、，則fzdz,fzdzcnk1ck其中c與ck均取正向；fzdz01cc，其中由及(k1,2,n)所組成的復(fù)合閉路。6閉路變形原理一個(gè)在區(qū)域d內(nèi)的解析函數(shù)fz沿閉曲線c的積分，不因c在d內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值，只要在變形過(guò)程中c不經(jīng)過(guò)使的奇點(diǎn)。7解析函數(shù)沿非閉曲線的積分設(shè)fz不解析fzgzfz在單連域b內(nèi)解析，為在b(z1,z2b)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則說(shuō)明解析函數(shù)數(shù)即可?？挛鞣e分公式設(shè)z2z1fzdzgz2gz1fz沿非閉曲線的積分與積分路徑無(wú)關(guān)，計(jì)算時(shí)只要求出原函fz在區(qū)域d內(nèi)解析，c為d內(nèi)任一正向簡(jiǎn)單閉曲線，cfzdz2ifz0czzz0的內(nèi)部完全屬于d，0為c內(nèi)任意一點(diǎn)，則9高階導(dǎo)數(shù)公式

10、解析函數(shù)fz的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)，它的n階導(dǎo)數(shù)為fz2indzc(zz0)n1n!fz0其中c為(n1,2)fz的解析區(qū)域d內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，而且它的內(nèi)部完全屬于d。10重要結(jié)論2i,1dzn1(za)0,cn0n0。（c是包含a的任意正向簡(jiǎn)單閉曲線）8復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算方法1）若2）設(shè)fzfz在區(qū)域d內(nèi)處處不解析，用一般積分法在區(qū)域d內(nèi)解析，cfzdzfztztdtcc是d內(nèi)一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則由柯西古薩定理，fzdz0c是d內(nèi)的一條非閉曲線，z1,z2對(duì)應(yīng)曲線c的起點(diǎn)和終點(diǎn)，則有cfzdzz2z1fzdzfz2fz13）設(shè)fz在區(qū)域d內(nèi)不解析fzdz2ifz0czz0fz

11、2indzfz0c(zz)n1n!0曲線c內(nèi)僅有一個(gè)奇點(diǎn)（f(z)在c內(nèi)解析）曲線c內(nèi)有多于一個(gè)奇點(diǎn)cnfzdzfzdzk1ckkn（ci內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)zk）或fzdz2iresf(z),zck1（留數(shù)基本定理）fzn1(zz)o若被積函數(shù)不能表示成，則須改用第五章留數(shù)定理來(lái)計(jì)算。在柯西定理的基礎(chǔ)上還有莫拉雷定理，柯西不等式，劉維爾定理最大模原理解析函數(shù)的模不能再區(qū)域內(nèi)達(dá)到極大值，除非它是一個(gè)常函數(shù)擴(kuò)展閱讀復(fù)變函數(shù)總結(jié)完整版第一章復(fù)數(shù)1i2=-1i1歐拉公式z=x+iy實(shí)部rez虛部imz2運(yùn)算z1z2rez1rez2imz1imz2z1z2rez1z2imz1z2rez1rez2imz1im

12、z2z1z2x1iy1x2iy2x1x2ix1y2ix2y1y1y2x1x2y1y2ix1y2x2y1z1z1z2x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2x1y2i2222z2z2z2x2iy2x2iy2x2y2x2y2zxiy共軛復(fù)數(shù)zzxiyxiyx2y2共軛技巧運(yùn)算律p1頁(yè)3代數(shù)，幾何表示zxiyz與平面點(diǎn)x,y一一對(duì)應(yīng)，與向量一一對(duì)應(yīng)輻角當(dāng)z0時(shí)，向量z和x軸正向之間的夾角，記作=argz=02kk=123把位于-0的0叫做argz輻角主值記作0=argz04如何尋找argz例z=1-iz=i42z=1+i4z=-15極坐標(biāo)xrcos，yrsinzxiyrcosisini利用歐拉公

13、式ecosisin可得到zreiz1z2r1ei1r2ei2r1r2ei1ei2r1r2ei126高次冪及n次方znzzzzrneinrncosnisinn凡是滿足方程z的值稱為z的n次方根，記作nnzzrei2kn即rn2knr2kn1n第二章解析函數(shù)1極限2函數(shù)極限復(fù)變函數(shù)對(duì)于任一zd都有w與其對(duì)應(yīng)fz注與實(shí)際情況相比，定義域，值域變化例fzzlimfzzz0稱fz當(dāng)zz0時(shí)以a為極限zz0當(dāng)fz0時(shí)，連續(xù)例1證明fzz在每一點(diǎn)都連續(xù)證fzfz0zz0zz00zz0所以fzz在每一點(diǎn)都連續(xù)3導(dǎo)數(shù)fz0limzz0fzfz0dfzzz0zzz0例2fzc時(shí)有c證對(duì)z有l(wèi)imz0fzzfzcc

14、lim0所以c0z0zz例3證明fzz不可導(dǎo)解令zz0fzfz0zz0zz0xiyzz0zz0zz0xiy當(dāng)0時(shí)，不存在，所以不可導(dǎo)。定理fzux,yivx,y在zxiy處可導(dǎo)u，v在x,y處可微，且滿足c-r條件uvuvuvi且fzxxxyyx例4證明fzz不可導(dǎo)解fzzxiy其中ux,yxvx,yyu,v關(guān)于x,y可微uv11不滿足c-r條件所以在每一點(diǎn)都不可導(dǎo)xy例5fzrez解fzrezxux,yxvx,y0uv10不滿足c-r條件所以在每一點(diǎn)都不可導(dǎo)xy例6fzz2解fzz2x2y2其中ux,yx2y2vx,y0根據(jù)c-r條件可得2x0,2y0x0,y0所以該函數(shù)在z0處可導(dǎo)4解析若

15、fz在z0的一個(gè)鄰域內(nèi)都可導(dǎo)，此時(shí)稱fz在z0處解析。用c-r條件必須明確u,v四則運(yùn)算fgfgfgzfggzkfkfznnzn1zfgfgfgeezffgfg2gg例證明fzezeezz解fzezexcosyiexsiny則ux,yexcosyvx,yexsinyuvexcosyexcosyxyuvexsinyexsiny任一點(diǎn)zxiy處滿足c-r條件yxz所以e處處解析fzuviexcosyiexsinyezxx練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)fzzz22232233223解:fzzzxyxiyxixyxyiyxxyixyy2ux,yx3xy2vx,yx2yy3所以u(píng)2xyyuv3x2y2x23y2x

16、yc-r方程可得v2xy根據(jù)xuv3x2y2x23y2xyuv2xy2xyx0,y0yx所以當(dāng)z0時(shí)fz存在導(dǎo)數(shù)且導(dǎo)數(shù)為0，其它點(diǎn)不存在導(dǎo)數(shù)。初等函數(shù)常數(shù)指數(shù)函數(shù)ezexcosyisiny定義域e1ezz2ez1z2ez2iezcos2isin2ezezez對(duì)數(shù)函數(shù)稱滿足ze的叫做z的對(duì)數(shù)函數(shù)，記作lnz分類類比nz的求法（經(jīng)驗(yàn)）目標(biāo)尋找arg幅角主值i可用zezreuiviuiveueivreireu,eieiv過(guò)程zreeeulnr,v2kk0,1,2所以u(píng)ivlnri2klnrirgzlnziargz2kk0,1,2例求ln1ln1ilni的值arg1ln1ln1iarg12ki2k1k

17、0,1,2arg1i4ln1iln1iiarg1i2kargi1ln2i2kk0,1,2242lnilniiargi2k1i2kk0,1,22冪函數(shù)對(duì)于任意復(fù)數(shù)，當(dāng)z0時(shí)zelnz例1求i解1i的值i1ielni1ie1ilelnii1iniie1ii2kar2ei12kg2k0,1,2例2求1i3ieln1i3ie3iln1ie13iln2i2k24三角函數(shù)eiyeiycosyeiycosyisiny2iyiyiyeeecosyisinysiny2i定義對(duì)于任意復(fù)數(shù)zxiy，由關(guān)系式可得z的余弦函數(shù)和正弦函數(shù)eizeizeizeizcoszsinz22i例求sin1icos5i解sin1i1

18、i1ieei1i2i1cos5iei5iei5i2第三章復(fù)變函數(shù)的積分1復(fù)積分定理1設(shè)c是復(fù)平面上的逐段光滑曲線fzux,yivx,y在c上連續(xù)，則fzux,yivx,ycc在c上可積，且有fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydxc注c是線方式跟一元一樣方法一思路復(fù)數(shù)實(shí)化把函數(shù)fzuiv與微分dzdxidy相乘，可得fzdzux,ydxvx,ydyiux,ydyvx,ydxccc方法二參數(shù)方程法核心把c參數(shù)czttfzdzztztdtc例求1；11izdzc01i的直線段0cc1c2解czttit0t1zdztittitdtt1i1idt1c0011c1:ztt0tc2:zt

19、1it0t1zdzzdzzdztdt1itdtcc1c201*111i1i22結(jié)果不一樣2柯西積分定理例zac1nn12idzn10c以a為圓心，為半徑的圓，方向逆時(shí)針解czaei2in2zxiy02zac1ndz0edz10einieid2in1i221nin1e1nid1ed1ni0n1001ni積分與路徑無(wú)關(guān)單聯(lián)通處處解析例求2zc2xasin8z1dz，其中c是連接o到點(diǎn)0,2a的擺線ya1cos解已知，直線段l與c構(gòu)成一條閉曲線。因fz2z8z1在全平面上解析，22z8z1dz0即2z8z1dz2z則2cl2cl28z1dz把函數(shù)沿曲線c的積分化為沿著直線段l上的積分。由于2zl28

20、z1dz22a02x288x1dx2a2a28a13故2zc88z1dz2a2a28a13關(guān)鍵恰當(dāng)參數(shù)合適準(zhǔn)確帶入z3不定積分定義2設(shè)函數(shù)fz在區(qū)域d內(nèi)連續(xù)，若d內(nèi)的一個(gè)函數(shù)z滿足條件zfzzd定理7若可用上式，則例計(jì)算解fzdzzzz,zz00z0dedz0i0izi0ezdzezei12練習(xí)計(jì)算解2i2i22ze3z1dz12i3z21212i3z214i12edzed3z1222622ze3z1dz4柯西積分公式定理處處解析fz在簡(jiǎn)單閉曲線c所圍成的區(qū)域內(nèi)則fa1fzdz2iczaez1dz例1z1zez1ez1解dzdzez1z1z1z0zz00sinzz2z21dzsinz1sinz

21、1sinzdzdzdz2isin1解z2z21z2z22z12z1例2例39zz7dzz22z解z2z2zz9zdzdz2iz2zi9z2z79z2zi5fz1fdzdc2iz注czd1一次分式z找到fzfz在d內(nèi)處處解析例4解sinzzz22zz1dzszzz22zz1dzszzszzs22dzdz2iiizzz1szzis11z0z2z1z2z0225解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式fnzn!f2iczn1dzdn=1，2應(yīng)用要點(diǎn)zd1zn1n精準(zhǔn)分離fzn1sinzz12z3dzsinz例2z1z021dz2i2!sinz2z006調(diào)和函數(shù)2g2若gx,y滿足gx2gy20則稱gx,y叫做d內(nèi)的調(diào)

22、和函數(shù)若fzux,yivx,y在d內(nèi)解析所以2u2u2xyv2v22xyxy0把u,v稱為共軛調(diào)和函數(shù)第四章級(jí)數(shù)理論1復(fù)數(shù)到znn1距離dz,z談極限對(duì)zn若有z0d使得dzn,z0znz00n此時(shí)z0為zn的極限點(diǎn)記作z0limzn或znz0nn推廣對(duì)一個(gè)度量空間x,d都可談極限2極限的性質(zhì)znnz00znz0nznnz00nn0n0znz0n03znxniynz0x0iy0nxx0nnyy0n4zn級(jí)數(shù)問(wèn)題snz1z2z3znsn部分和數(shù)列若limsns0nzn1n則zn收斂，反之則發(fā)散。都收斂，則性質(zhì)1若znnzznnnn收斂2若一個(gè)收斂，一個(gè)發(fā)散，可推出發(fā)散3sns0nsn1s0n若若

23、aanan絕對(duì)收斂但an收斂，為條件收斂nz1zn等比級(jí)數(shù)snzzz1z2nsnzz1時(shí)收斂，其他發(fā)散n1z冪級(jí)數(shù)cnzz0nn0zz0則cnnn0求收斂域limncn1cn0010r00zn例求的收斂半徑及收斂圓n1n解因?yàn)閘imcn1nlim1所以級(jí)數(shù)的收斂半徑為r=1，收斂圓為z1ncnn1n泰勒級(jí)數(shù)泰勒定理設(shè)函數(shù)fz在圓kzz0r內(nèi)解析，則fz在k內(nèi)可以展成冪級(jí)數(shù)fzcnzz0n0nfnz0其中，cn，（n=0,1,2），且展式還是唯一的。n!z例1求fze在z0處的泰勒展式解fze在全平面上解析，fznzez，fn01所以在z0處的泰勒展式為z2zne1zz2!n!z例2將函數(shù)fz解

24、11z2展成zi的冪級(jí)數(shù)fz11z211121z1izi1in1zizin121i1izi2羅朗級(jí)數(shù)羅朗定理若函數(shù)fz在圓環(huán)drzz0r0rr內(nèi)解析，則當(dāng)zd時(shí)，有fznczzn0n其中cn1fdn0,1,2n12iz01例將函數(shù)fz內(nèi)展成羅朗級(jí)數(shù)。z1z2在圓環(huán)（1）1z2（2）2z解（1）在1z2內(nèi)，由于1z1,1，所以z2111111z1z1z2z2z121z12znn1z11zn1n1n12n02zn0zn02n0zfz（2）在2z內(nèi)，由于1121,1，所以zz11111121z1z2z2z121z1zznn12112n11zn0zzn0zznn1fz孤立奇點(diǎn)定義若函數(shù)fz在z0的去心

25、鄰域0zz0r0r內(nèi)解析，在z0點(diǎn)不解析，則稱z0為fz的孤立奇點(diǎn)。sinzz2z4z2nn例11z0為可去奇點(diǎn)2n1!z3!5!2n3sinz1zn1z21z0為一級(jí)極點(diǎn)2n1!z3!zsin1z11111n11z0為本性奇點(diǎn)32n12n1!zz3!z第5章留數(shù)理論（殘數(shù)）定義設(shè)函數(shù)fz以有限項(xiàng)點(diǎn)z0為孤立奇點(diǎn)，即fz在z0的去心鄰域1fzdz的值為函數(shù)fz在點(diǎn)z0處的留數(shù)2ic0zz0r內(nèi)解析，則稱積分記作resfz,z01fzdzc2i其中，c:zz0r，c的方向是逆時(shí)針。例1求函數(shù)fzsinz在z1處的留數(shù)。z414解因?yàn)閦1以z1為一級(jí)零點(diǎn)，而sin10，因此fz以z1為一級(jí)極點(diǎn)。resfz,1sinzz411zz1sinz4z3z11sin14例2求函數(shù)fzez在z0處的留數(shù)解z0是fz的本性奇點(diǎn)，因?yàn)閒z