2014年高考數(shù)學山東卷理科壓軸題另解及推廣

1、2014年高考數(shù)學山東卷理科壓軸題另解及推廣丁輝華 聯(lián)系電話湖北省大悟縣楚才高級中學432800)2014年高考數(shù)學山東卷理科壓軸題是一道解析幾何綜合題，背景熟悉，內(nèi)涵豐富，注重能力，突出思維，設問通俗，難度逐漸遞增，難度恰當，試題入口 寬，解法靈活，能夠充分檢測考生對知識的遷移能力，對問題的探究能力，檢測 理性思維的廣度和深度，對數(shù)學基礎、數(shù)學水平、數(shù)學能力不同的考生有著較強 的區(qū)分度，突出了高考選拔功能，凝聚著命題專家的心血和智慧。試題 已知拋物線C: y2=2px(p0)的焦點為F，A為C上異于原點的 任意一點，過A點的直線I交C于另一點E，交 x軸的正半軸于點

2、D，且有FA = FD。當點A的橫坐標為3時，AADF為正三角形.(I)求C的方程；(U)若直線li / I，且li和C有且只有一個公共點E,(i) 證明直線AE過定點，并求出定點坐標；(ii) AABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在， 請說明理由本題考查拋物線的定義，標準方程及幾何性質，直線與拋物線的位置關系， 直線與直線的位置關系，動直線過定點及最值等，考查推理論證能力、運算求解 能力及應用所學知識綜合分析、解決問題的能力，第(U)問思路常規(guī)，切入口 較多，對考生計算的準確性、熟練性、合理性和計算的簡捷性是一次很好的檢測。 下面給出幾種解法并對(U)進行變換、推廣，與

3、大家一起交流。1、(I)的另解解法1如圖，由題設可設A點坐標為(3, - .6p).(2-3) + (0 +姉)2 = J(3+T27-3)2 +(屆)23化簡，整理得p2 -2 0) 36. 0解得p = 2 或 p = 18若p =18，則F（9,0）, D（9,0） , D與F重合，這與.ADF是正三角形矛盾,所以p=2.故拋物線C的方程為y2=4x.解法2設D（m,0），如圖由已知可設A（3,_、6p）,F（#,0）由：AFD是正三角形可知直線 AD的斜率為.3可得口 葩運, m=3，即D（ 3 .環(huán),0 ）.m -3以下同解法1.解法3如圖，由已知可設點A（3, 一、即）,F （號,

4、0）,由厶ADF是正三角形可 知直線AF的斜率為. 3，于是76卩解之，得p=2或p = 18 （增根，舍去）.3-衛(wèi)2所以p =2，故拋物線C的方程為y2 =4x.評注三種解法的共同點是利用拋物線方程設出點A的坐標，然后根據(jù)已知條件建立關于參數(shù)P的方程來求解。前兩個解法的不同之處在求動直線I與x軸正半軸交點D的橫坐標上：解法1由點斜式求出直線I的方程，令y=0得點 D的橫坐標表達式；解法2設出D點坐標，再由斜率公式求出 D點橫坐標表達 式。解法3根據(jù)題設，抓住直線 AF的傾斜角為120；（或60 ）這個關鍵特征， 由斜率公式列出方程求P,步驟少，過程簡捷干脆，解法優(yōu)美自然。2、（U）的另解直

5、線l1 / l，且h和。有且只有一個公共點E,所以直線l1與拋物線C相切.2 2 2由已知可設 A（出，）（% =0）, B（亞，y2）（y2=0）,E（血，y0）（yu0）.4442.1（i）的另證2證法1設直線h的斜率為k，則直線h的方程為y - y。= k（x -匹）.4工y2 =4x解方程組*y2 消去 x，得 ky2-4y+4y0 - ky： = 0.y_y =k（x 詩）由于直線1l與拋物線相切，li / l，直線I的斜率存在且不為0,所以.： =42 -4k(4y - ky0) =0，由此得 k =2直線I的方程為y 一 y = 2 (x -里).2 2令得X*普，即 D(牛罟,

6、。)由 F(1,0)及|FA = FD 得 J(12yi、22) yi4y。4、x4兩邊平方，化簡整理，得yoy； -yOy： 4%(%-yo) =0.由于點A是異于原點的任一點，所以=0，于是22y%-yyi 4(%-y)=0. (yyi 4)(%-丫0).若 =y0，則點a與點e重合，這與ii / I矛盾，所以yyi 4=0，即 yyi 二-4.直線AE的斜率k=普_%2( y0+y,H0)，其方程為y0 yiy0 yi4 一 42(x-匹).4令心，得 x晉九所以直線AE經(jīng)過定點(i,0).當y0 yi=0時，y= - %此時直線AE的方程為 x = i，過點F (i,0).故直線AE經(jīng)

7、過拋物線的焦點F (i,0).2 證法2設D(m,0)，由題設直線li與拋物線y2 =4x相切于點E(血，y).4由 y2 =4x得 y =2、x, yi_當點A位于x軸下方時，切點E位于 x軸的上方，y0,切線li的斜率1 2k=;當點A位于x軸上方時，切點E位于x軸的下方，y；：0,切線1/勺yoyo2 2 2斜率k =亠=二=三.故切線h的斜率k =二.iyl|y yoyo：4又直線i的斜率為 yi由h l可得m-也 m42 亠=2即心吐一沁 mY1Yo42m42DP 讐 O).2 2yi同證法1可得yoyi = -4又Fa2 2；-1,Y1),fe =(普-1，Yo),22（號 -1）

8、 Yo -力（號-1）=（弩（1 -Yo）= O.444T T向量FA與FE共線，即A, F,E三點在一條直線上.所以直線AE經(jīng)過拋物線y2 =4x的焦點F （1，O）.評注 證法1利用方程的思想求出直線h的斜率，由h / l，求出直線l的 方程后確定D點的坐標，再由|FA = FD列出方程，得到A,E兩點縱坐標y1,yo的 積VoV1 = -4為定值，進而求出直線AE的方程得出結論.證法2利用導數(shù)法求出過E點的切線11的斜率，設出D點坐標，由11 / l借助斜率公式求出D點坐標，然后 確定A、E兩點縱坐標間的關系，再通過向量共線突破問題，避免了對直線AE斜率是否存在的討論.2證法3同證法1、

9、2可得直線的斜率為一.Yo12由FA =|FD可知直線AF的傾斜角是直線丨的傾斜角的2倍，當AF不垂直x軸時，直線AF的斜率k 二 tan2._FDA2tan. FDA1 -tan2. FDA2 1yo4yo2yo422sin EAB cos乙EAB.yo直線AF的方程為y二4（x -1）yo -42又直線li的方程為y-y0 （x-y。2 設直線AF與li的交點為E，聯(lián)立，可得E，（址，y。）.4 E 與 E重合，故直線AE經(jīng)過定點F（1,0）.當AF丄x軸時，由FA = FD可得N FDA=45，直線l的斜率為2 i,yo = 2 yo此時E點坐標為（1, 2），A點坐標為（1，-2 ），

10、直線AE的方程為x=1， 所以直線AE恒過定點F （1, O）.評注 由已知條件可發(fā)現(xiàn)直線AF的傾斜角與直線l的傾斜角存在一定的關 系，通過這個關系能確定出直線 AF的方程，然后采用同一法證明直線 AF與直線 l1的交點就是直線h與拋物線的切點E,從而使問題得以解決，這也是證法 3的 獨到之處。2.2. （ii）的另解2解法1由（i）知直線h ,l的斜率為一，由AID |可得N EAB=NFDA. yo2 所以 tan EAB 二一.yo2 由（i）知 D（比-型,。），于是AD =（匕424竽弓,。一 yj-yi(普,i),242又 AB =(-弓，y2 -yj =里也5 y,4)444.A

11、B 與AD 共線，西 4-1 (y2 yi) =0. y2yi 2 二 y。2y2 - y2 二 y2 -y2=(y -)y.于是 | AB|=J(缶普)2+(y2-yi)2=J(y2-yi)2()2+i=J4（y。- /口號 +）= y。- yi又AE(號 -)2 (y-yj44(yo-yi)2(yo4yi)2 US.ABEAB AE si nN EABy。yi)2 i).2i (y。-yi)2 , y2 2y。 y： i64；y2 2yoyi 16=f(y2 -2y。 yi2) . y4由(i)知yoy-4s礙=4&+用8山0#8:y。與的符號相異，不妨設y。o, y： o,則有 y2 r

12、-yj2 -2y（-yi） = -2yyi =8.當且僅當 y。二-力二2 時，等號成立.i 22I1 22i:s Abe（yo yi 8） , y。 yi 8（8 8） 8 8 =i6.44故ABE的面積存在最小值，且最小值為i6.2解法2設h與x軸交于點M，由（i）知直線li的斜率為,于是直線li的 y。方程為y _ y。ABM2 2令y =0得x二處.即M （匹,0）.44+ l1 H 1- S a b S A-S ADM=-|MD y121+ MD y2 .2不妨設 % ： 0, y20，則 S-ABM= -|MD|（yyi）.2同（ii）解法1有2yy2（yyi），由（i）知 D（y

13、i =4y。y。MD2_ y1-y0y1（-2y。）424= 4（y -yj2.411213143-Sabe（y。一%）2（y。- %）（y。一%）（y。）2 444y。444由y1 : 0可知y。0,于是y。2 y。4，當且僅當y1y。y。又AE=AF由（i）知yi+ EF2 2 2 2y_+i+也+1=匹+里+24444二 AEyo2丄&4）242yo4y2二 S矗be = 2S出en= AE sin NAEN（yo 4）16y：yo以下同解法2.解法4由（i）知直線AB的斜率為，則有 號一=-yoy2yiyo化簡，得 y2 =2y. y2 - % 2 y 2 % 之（y -y）ab =（

14、乎-普）2 +化-yj2 =仰-y/K21）2 +i = y。- Jy： +42點E（匹,y）到直線AB :4y（x丄）的距離yo4SAbe= 21 AB22yo42 -yoyiyoAyi2 yo（y -）22、y 412 y -yi|（y -yj244由（i）知yi = - , yo, yi符合相異，不妨設y - 0,% ： 0 ,則 yoSabe Jyo 與 J（2、yo 4）3 =i6.4y。4 Yy。評注 判斷ABE的面積是否存在最小值，關鍵是求出 S abe的解析式，上 述四種解法側重點各有不同：解法I運用正弦定理及基本不等式求 ABE面積的 最小值，屬于常規(guī)解法，思路自然但運算量較

15、大，稍有不慎便會前功盡棄；解法 2借助等底等高的三角形面積相等，通過合理的推理將ABE的面積進行轉化，減少了運算量；解法3通過推理運算，得出AABE的中線EN與x軸平行，進而 推證AEN是等腰三角形，將求ABE的面積轉化為求AAEN的面積；解法4由 直線AB的斜率確定出A、B兩點間的縱坐標的關系，用兩點間距離公式求| AB ， 點到直線距離公式求E到AB的距離，然后將. ABE的面積表示成y0的函數(shù).解 法2, 3, 4求出S abe的解析式后亦可用導數(shù)的方法求其最小值。3推廣與變換將題目中的條件“當點A的橫坐標為3時， ADF為正三角形”去掉，問 題(U)仍然成立，可得到一般情況下的結論：結

16、論1 F為拋物線C: y2=2px(p0)的焦點，A為C上異于原點的任意 一點，過A點的直線I交C于另一點E,交x軸的正半軸于點D,且有|FA|=|FD 若直線I, / I，且I,和C有且只有一個公共點E,則(i)直線 AE過焦點F;(ii)厶ABE的面積存在最小值，最小值為4p2.如果直線AE過焦點F,則過E點的切線與I平行，即結論2 F為拋物線C: y2=2px(p0)的焦點，A為C上異于原點的任意點，過A點的直線I交C于另一點E,交x軸的正半軸于點D,且 FA= FD直線AF交拋物線C于另一點E,若I,和C有且只有一個公共點E,則I, / I 0 結論2的逆命題亦成立，即結論3 F為拋物線C: y2 =2px(p 0)的焦點，A為C上異于原點的任意一點，過A點的直線I交C于另一點E,交x軸的正半軸于點D,且| FA|=|FD直線AF交拋物線C于另一點E, I,是過點E的直線，若I, / I，則I,與拋物線C 相切。結論3實際上是過拋物線上除頂點外任意一點的切線的一個作法，上述三 個結論可仿照前面解法證明，限于篇幅，在此不作贅述，有興趣的