2013年高考數(shù)學40個考點總動員考點14解三角形(學生版)新課標

1、【解析】2. (2012a 25byc- -2524d252013年新課標數(shù)學40個考點總動員 考點14解三角形（學生版）【高考再現(xiàn)】熱點一、利用正余弦定理在三角形中求三角函數(shù)值、求角、求邊長1. （2012年高考（重慶文）設 abc的內角 a b、c 的對邊分別為 a、b、c,且，八一 1b=2,cosc = ，則 sin b = 4晅4a-1, = 2,cosc =-,由余弦定理得 4二” =招 +* 2出 cos (7= 1+4 2x1 x 2父二 4,貝lj 亡=2,即 3 = c，故4年高考（天津理）在 mbc中，內角a, b , c所對的邊分別是 a,b,c ,已知8b=5c, c

2、=2b,則 cosc =(用心愛心專心201答案】a【解析】:電=5九由正5支定理得又：023,二8an55sin25f所以bsin 5=10sinbcosb,曷知.437sin 5 # 0, -. cos b= , coscf=cos 2b=2 cos -1 =.253. （2012年高考（陜西理）在 mbc中，角a,b,c所對邊長分別為a,b,c,若a b之 一 2:由余弦 定理得，cosc = a一b工 2ab + b2 = 2c2,則cosc的最小值為a.-3 r 2b c. 1 d.22,2a b4ab1 ,，之一當且僅當a= b時取=”，選2c.4. （2012年高考（湖北文）設a

3、abc的內角a,b,c,所對的邊分別為a,b,c,若三邊的長為連續(xù)的三個正整數(shù)，且a b c,3b = 20acosa,則 sin a:sin b :sin c 為()a. 4 ： 3 ： 2b. 5 ： 6 ： 7c. 5 ： 4 ： 3d. 6 ： 5 ： 4t答案】dt解析】因為凡為連續(xù)的三個正整數(shù).且可得s所以a =（? + z5 = c +1 ;又因為已知36 = 204cosj,所以cos a -,，.由余弦2必定理可得c =+-,則由可得 =，聯(lián)立 2 加20。 2bc，得71 1女-60=0,解得.4成八一藍（舍去），貝 = 6,占=5.故由 正弦定理可得，sin j4: si

4、n 5 : sinc = a : ：c = 6: 5:4.故應選 d,5. （2012年高考（陜西文）在三角形 abc中，角a,b,c所對應的長分別為a,b,c,若a=2 ,b= ,c=2 v3 ,貝u b=【答案】2【解析】：由余弦定理得，b2 = a2 + c2- 2accosb= 4,所以b = 2.6. （2012 年高考（福建文）在 aabc中，已知 zbac =60：/abc =45bc = j3,則ac =.【解析】由正弦定理得ac = 3 - ac = ：2sin 45 sin 607. （2012 年廣東文）在 aabc 中，若 /a=60 nb=45; bc=3j2,貝 u

5、 ac=（）、.3a. 4,3b, 2,3c.3d.21答案】b【解析】由正弦定理，可得上三上，所以心羋工岑口也sin 4 5 an 60g 28. （2012年高考（重慶理）設aabc的內角a,b,c的對邊分別為a,b,c ,且“3-5 .cosa = 一 ,cos b = ,b=35uc = 513-14【答案】c-53 r 5. 4 . r 12【解析】由 cosa=-，cosb= sin a ,sinb=-513513由正弦定理asin a3b /口 bsin a 5得 a= -5sin b sin b 121314 c =513由余弦定理 a2 =c2 b2 -2bccosa= 25

6、c2 -90c 56=0 ：19 . ( 2012 年局考(北東理)在 abc 中，若 a = 2 , b + c = 7 , cosb = ,則4b =答案4【解析】在&利得用余弦定理n1 4+d + 6)仁_8) 4+7(。功cos b -=2ac 4 4cac化簡得8c- 7i + 4 - 0j與題目條件s +二=7聯(lián)立j 可解得厘-2,b - 4,- 3?答案為4 .10. （2012年高考（湖南文）在4abc中,ac= ,bc=2,b =60 ,則bc邊上的高等于（）3:3b. ,、3.6 d ,3.39t答案】b【解析】設的二口在aabc中,由余弦定理知ac2 = ab7 + rd

7、 - 2ab bc cos b,bp7 = ca+4-2x2xcxco560 ca-2(7-3= 0,即(c-3)(c+l)=0.又匚 0, y = 3一設bc邊上的高等于肌由三角形面積公式= - abbcn b = 肌知2.1in f2x 3x 2xsin60 = x2x,解得h .22211. （2012年高考（北京文）在4abc中，若a =3, b = j3, /a=w，則/c的大小為b2 c2 - a2【解析】cosa = b一c二2bcc = 273,而一csin c sin aji，故 sin c = 1= c = 2abc的內角a , b , c所對的邊分別為 a, b , c

8、.若12. (2012年高考(湖北理)設(a +b c)(a +b +c) =ab,則角 c =1答案】yt解析】：由(】十3 -os +3-e)n / -b 2由(1)倚sin a =,由面積可得 -c2 = -ab根據(jù)余型定理可得cos c = /+*, = c3 2ab 23a,b,c ,且有13. . ( 2012年高考(安徽文)設aabc的內角a,b,c所對的邊為2 si nb coa= san ccs aos csi(i)求角a的大??；(ii) 若b=2, c = 1, d為bc的中點，求ad的長.【解析】c i )5+ (7 =開-瓦4f云(0,開)sin(x+c) = sin5

9、 02 sin b cos a 二 sin -4cosc + cosj4smc = 5m(j+ c)= 51n b=cos a = a - -23(ii) a2 = +/ - 2bc c* a c 事=# n= a +c2 = 5 =2在rtlabd中，的二abbl =a,b,c. 已知14 . ( 2012年高考(江西文)4abc中，角 a,b,c 的對邊分別為 3cos(b-c)-1=6cosbcosc.(1)求 cosa;(2)若a=3/abc的面積為2&，求b,c.3(cosbcosc +sin bsin c) -1 =6cos b cosc3cos b cosc -3sin bsin

10、 c = -1【解析】(1) 33cos(b+c) = -1則 c0sa，一 、1(2)bc=6，則根據(jù)余弦定理cos( n a)=.3b2 c2 -912.222 b c -a cos a =2bc1,22=一則 b +c =13 , 3b = 3|a = 3兩式聯(lián)立可得 或$.b , c的對a=2 b=215. (2012年高考(課標文)已知a, b, c分別為 aabc三個內角 a邊，c = . 3asinc -csin a.(i)求 a;(n)若a=2, aabc的面積為 布，求b,c.【解析】(i )由c1二j5ifinc-c5m上及國玄定理得jisin j4sin c- sin -

11、4sm (7 = si n c7由于 sin c w。，所以 51rl(4)=-j62又0式火父開，故衛(wèi)=2.3(11) 的面積s掄辿金二75,故掄二4,2而 a2 =/2+c2 - 2ic cosj4 故亡3+/=&解得3 = t =2.法二:解：已知:c - 3a sin c-c cos a 、由正范定理得:sin c = j5 sin 4 sin c sin c cos a因 sin c h 0 ,所以:1 = sin cos a ,由公式：a sin 十+3cosx - 4a1 +/ sin x + psml-kl . vj是a的內角.所以工-至=工.所以：月二至0,故解得g =1.(

12、2)由 cos j4 = -, an a =44得 ccs 2a = 2 cos2 j4- 1 = j sin -4 = 2 sin j4 cos a = 44所以85（2工+ ；）=cos 2-4 cos- sin 2-4sin 17. （2012年高考（江蘇）在 mbc中,已知ab -3+逝t 二 t tac =3ba *bc .(1)求證：tan b =3tan a;(2)若 cosc = y5 ,求 a 的值.5解析(1) v abac = 3babc3 二| 萬 配cos 工=3 兩 而 |,cosb,即|就|,854=3,|而|co5b由正弦定理：,得. *c =嚴,.1- sin

13、 5cos4 - 3sin 4cos5 sin b sin ax - 0 0 cosb 0 , /-同 二3 乳即 tane= 3tan月.cos a(2)1/ 003= t qcl 0j ten工=1.月=2.418.（2012年高考（大綱文）aabc中，內角a.b.c成等差數(shù)列，其對邊a,b,c滿足2b2=3ac,求a.k解析】由以3 c成等差數(shù)列可得= 而月+ b+c=h,故 3b = =8 = 2 且 二竺金33而由弱、3於與正弦定理可得2 sin2 b - 3kli刃knc = 2x sin3 y = 3sm(-茍 sin a所以可得32j?t2 jj2 x - = 3(sin-co

14、s a cos sin a) sina=y/3cos asm j4+sin25= 1 =j3 , 0 . 1- cqs 2a t1sm 2 h 1 = sin(2j4 )=,2262i -.2刀 tv _ a 開 7 7t 土% . 7t 7t i* * 7t 5 開由 0 力 2j4 j 故 2上一或 2上一一36666 666于是可得到上二匯或月= 2. 6219. (2012年高考(遼.寧理)在aabc中，角a b、c的對邊分別為a, b, c.角a, b, c成等差數(shù)列.(i)求cosb的值;(n)邊a, b, c成等比數(shù)列，求sin asin c的值.【解析1jtt1(1)由已知 2

15、3=力+。4+5+0=開,一 b=cos b=-32(2)解法一：rc, 由正弦定理得sin工助口 c-sin2 b=-a解法二:=ac, l=cosb =、行“二lw,由此得a2 4d -ac=aj 得 a=c 22ac2ac所以 j4=b=c=三，sin sin c=- 34【方法總結】(1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應引起注意.(3)熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用.熱點二、利用正余弦定理判斷三角形形狀1.

16、 (2012年高考(上海理)在&abc中，若sin2a+sin2bsin2c,則aabc的形狀是( )a.銳角三角形.b.直角三角形.c.鈍角三角形.d.不能確定.t答案】c1解析】由條件結合正弦定理，得m十相c/,再由余弦定理，得=所以c是鈍角【方法總結】依據(jù)已知條件中的邊角關系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方，法：1 .利用正、余弦定理把已知條件轉化為邊邊關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀；2 .利用正、余弦定理把已知條件轉化為內角的三角函數(shù)間的關系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用a+ b+ c=兀這個結論.熱

17、點三、利用正余弦定理求三角形面積1. (2012年高考(山東文)(本小題 滿分12分)在 abc 中，內角 a,b,c 所對的邊分別為 a,b,c,已知 sin b(tan a+tanc) =tan atan c .(i)求證：a,b,c成等比數(shù)列；(n )若 a =1,c =2 ,求 abc 的面積 s【解析】:(l)由已知得:sin5(sin4cosc+ cos a sin (7) -siti 工 si口 c,siubsinf 力+ c) = smh&inc,貝 ll sin1 b= sin 工丸口再由正弦定理可得:b:=留,所以也。成等比數(shù)列.(ii)q = 14 = 2 ,則 b dj

18、ff - 2, cqsbn-=:，2ac 4sinc* - jl - cos2 c =,4，g7的面積s函sinb = llx2a立=立. 22442 . (2012年高考(江西理)在4abc中，角 a,b,c 的對邊分別為a,b,c.已知，a = 一,bsin( c) -csin( b) = a.444(1)求證：b c = 一2(2)若a=e，求4abc的面積.【解析】 證明油占q110+0）-7q11（石+ 3）=玄及正弦定理得： 44力開sin e 乳口（ 一 + q -sinc sm（ + 3） = sin 上，44即 sin 5(sin c+sin q-sin c( sin 5+s

19、in b) = 22222整理得二 sin b cos c - cos b siti (7 = 1, 所以丸口必一=1,又0 brc /2 . 7t 1dc sin *42. sin - sin = 42 sin cos 一=sin 匚一2 88 s 824 2 3 . （ 2012年高考（浙江理）在 abc中，內角 a b c的對邊分別為a, b, c.已知cosa= 2 ,sin b= ,5 cosc.(i )求tan c的值；(n)若a=t2，求aabc勺面積.【解析】(i ) . cos a=- 0, sin a= ji -cos2 a =, 33又 5 cosc=sin b=sin(

20、 a+c)=sin acosc+sin ccosa=cos c+ 2 sin c整理得:tan c= 75 .(n)由圖輔助三角形知:sin c=j5.又由正弦定理知：一a一, sin a sin c故c = 3. (1) 22 o29對角 a運用余弦th理：cos a=一 .(2)2bc 3.一 一3 .解(1)(2)得：b=t3 or b=(3(舍去).5 ；：abc勺面積為：s= .2【方法總結】1.利用正弦定理可以實現(xiàn)三角形中的邊角關系的轉化二2除了常用兩邊及其夾角正弦值的乘積的一半面積公式外還有s= w p占 b c = a * -r（j?是周長的一半，即二 坐了為內切圓半徑）；$=

21、器（斤為外接圓半徑）.【考點剖析】一.明確要求1 .考查余弦定理、三角形面積公式，考查方程思想、運算能力，是歷年?？純热?2 .考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀.3 .考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法.二.命題方向l利用正、余弦定理求三角形中的邊，角及其面積問題是高考考查的熱點.2.常與三角恒等變換相結合，綜合考查三角形中的邊與角、三角形形狀的判斷等.三.規(guī)律總結基礎梳理一、一a b c一 ，一、.1.正弦定理：sitat stbr stct 2r其中r是三角形外接圓的半徑.由正弦定理可以 變形為:(1) a ： b ： c= sin a： sin b： sinc;(2) a=2rs

22、in a, b = 2rsin b, c= 2rsin c;(3)sina=示 sinb= 2r, sin c=tc,等形式，以解決不同的三角形問題.2r2.余弦定理：a1 2 = b2 + c2 2bccos a,b2= a2+c2 2accos b, c2= a2+ b2 2abcos c. 余弦定理可以變形為:cos a=b2+ c2 a22bca2+c2b2a2 + b2c2cos b, cos c=;2ac2ab是三角形內切圓的半徑），并可由此計算 r, r.關系式a bsin aa= bs in absinav a ba ba b? ab? sin asin b 兩類問題在解三癰形

23、時,正整定理可解決兩類問題:（1）已知兩南及任一邊，求其它邊虱 角j q）已知兩邊及一邊的對篇，求其它邊或用.情況心上空結果可能帝i解、兩 解i莓解，虞注建區(qū)今-余輪戔理可解決兩美問題q已知兩邊及央南求第三 辿天亮他兩角人0）已擔邑虬述疊度一 兩種途.徑根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：（1）化邊為角；（2）化角為邊，并常用正弦（余弦）定理實施邊、角轉換.【基礎練習】.1 .（人教a版教材習題改編）在4abc中，a= 60,b= 75,a=10,則c等于（）a. 5小 b . 10小 c. 10 d , 5msin a cos b2 .（經(jīng)典習題）在 abc,若一0一 = f，則b

24、的值為（）.a. 30b . 45c . 60d , 903 .（經(jīng)典習題）在乩m(xù)中，3=腦二蹴，/3, b=1, c=2,則 a等于(a . 30b . 45c . 60d .756 .（教材習題改編）在abc43,若a=18, b = 24, a= 45 ,則此三角形有（a.無解b .兩解c. 一解d .解的個數(shù)不確定【名校模擬】一.基礎扎實1. （2012 長沙模擬）在加c中，乩揖c的對邊分別為小 5, g已知月二子甘=#，5=1，則二等于（ 0a. 1 b* 22. (2012福州質檢）在abc43,角a,b, c所對的邊分別為a, b, c.若a=1, c=4取,b= 45 ,則sin c等于（a.3. (2011金華二模）在 abc,角a、b、c的對邊分別為a、b、c,若角a、b c依次4444 ；4141 b. 5 c. 25 d. 丁成等差數(shù)列，且 a=1, b=100, r = 30 ,則此三角形a.一定是銳角二角形 b.-定是直角二角形c. 一定是鈍角三角形 d.可能是直角三角形,也可能是銳角三角形3. （2012年長春市高中畢業(yè)班第二次調研測試理）在 abc中，角a, b,c的對邊分別為2 a b7a,b,c ,已知4sin2cos2c =,且c=，則4 abc的面積的最大值為.224.（浙