全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽賽區(qū)預賽試卷及詳細答案

1、精品文檔全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽賽區(qū)預賽試卷及詳細答案（考試時間：2010年9月4日9: 00 11: 30）注息：1 .本試卷共12小題，滿分150分；2 .用鋼筆、圓珠筆或簽字筆作答；3 .書寫不要超過裝訂線；4 .不能使用計算器.一、填空題（每小題 8分，共64分）1 .函數(shù)/（為=21 一孔一7的值域是.2 .函數(shù)丁的圖象關于直線工+了=1對稱.3 .正八面體的任意兩個相鄰面所成二面角的余弦值等于 .2?工 y +- - 1_ i.4 .設橢圓;41 - 1與雙曲線千二相切，則 .5 .設才是復數(shù)，則陞 + , + |工+ 的最小值等于 .6 .設口，小，白是實數(shù),若方程工十防十st十二0

2、的三個根構成公差為1的等差數(shù)列， 則白，m 白應滿足的充分必要條件是 .7 .設0是&43c的內心，搦 = 5,=6,麗二屆麗+ 2無0 *3* 1 ,動點f的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于 8 .從正方體的八個頂點中隨機選取三點，構成直角三角形的概率是 .二、解答題（共86分）2 fl01s =9 . （20分）設數(shù)列”滿足1,舅，對己” .求”的通項公式.10 . （22分）求最小正整數(shù)附使得這十制十24可被2010整除.11 .（22分）已知a月me的三邊長度各不相等，口，玉，產(chǎn)分別是/包，/呂，彥 的平分線與邊 3c, cs,的垂直平分線的交點.求證：2u3c的面積小于azzs產(chǎn)的面積

3、.12 .（22分）桌上放有川根火柴，甲乙二人輪流從中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多 履一1根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超過對方剛才取走火柴數(shù)目的2倍.取得最后一根火柴者獲勝.問：當巡二100時，甲是否有獲勝策略？請詳細說明理由.2010年全國高中數(shù)學聯(lián)賽安徽賽區(qū)預賽試卷參考答案及評分標準、填空題（每小題 8分，共64分） 1.答案:提示： 因元=4 , 設 -2=2cosar ( 0 =, 則y- 4cos a.- 2 sin ct+ 4 = 2* cos(b+0 + 42.180 審二 sin p = (其中 3 ,5為銳角），所以當值三0時,=8 ,當方時，n皿拜，故

4、蚱”建間隨意編輯2.答案：if提示：因兩函數(shù)圖象關于直線k+六1對稱，所以工一工，/一產(chǎn)3.答案:提示：正八面體由兩個棱長都相等的正四棱錐組成，所以任意兩個相鄰面所成二面角是正四棱錐側面與底面所成二面角- 1cos 2a = sccs tj11 = - 38八二呈1 十 tand 3精品文檔4.答案：拒提示：由橢圓方程上)1 -1知，”1,設其參數(shù)方程為ly = v m (日為參數(shù))代入雙曲線方程初=1，得血口 2日二因兩曲線相切,5 .答案：點提示：在復平面上，設四tu),如，ld ,則當工為的費馬點時,1|+1|+|+111一道十空十建4仍1上1+ 1 一 1 +上”取得最小值，最小值為3

5、 3口.6 .答案： 3 且 27 3 .提示：設三個根為c-1 ,宏，比+1 ,則k + 以+已三工-出+1)0-田0-。-1)右邊展開與左邊比較得一”%，a* (a-1)+&戊+1)+9-1)9-1) , m,-l-*=g-d陽+d,消去口得,這就是所求的充要條件7 .答案：12&精品文檔提示：如圖，根據(jù)向量加法的幾何意義，知點尸在圖中的三個平形四邊形及其內部運動，所以動點 尸的軌跡所覆蓋的平面區(qū)域的面積等于等于nbc面積的2倍，即12&隨意編輯8 .答案：一提示：從正方體的八個頂點中隨機選取三點，共有w個三角形，其中直角三角形有建女/個，所求“構成直角三角形”的概率是12xc _ 6二、

6、解答題（共86分）9.解：特征根法3 4 + 2%h 一%1 + 2 =-0. 一 1 三-v-1 飛 1.（10 分）%42/曰- 1得c-2） t + 2 =一尸 %，+ 24-1- = （-2/10.解:（-2）m+2ax =（毋-120分）依上十靖十24二0 mod 2 w2 4 + 24 = 0m6d3 與十用十24=0mod52010| 用二+用4 24=制* + 蝙+ 24 = 0mad&7（10 分）又第 =內=0 或 2mc1d3,/十典=om od 3j + 卷=j +界=43 mod 67婷 + 抬=1 +抬=o用=10 或 56mod67故所求最小正整數(shù) 四=77 (2

7、2分)11 .證明：由題設可證 a , bc , 口，e , f六點共圓 10分)用日斗門-(sin 2w+sin 25+sin 2c) 不妨設圓半徑為 1, 則有之，s&郎f = g (疝口 w +sin 3 +111(7) .由于.二.二.二三二工二二 y (sm u- 5畝 2助 +(sm 23 + sm 2b) + ! (sin 2c + sm 2卅)二皿 + 刃虱- b) + 虱 n (3 + c m(5 - c) + 況 n(c + w) sin(c -司c 乳 n(d設 一 (?-4 ),注意到 一k 當 2時，甲第一次時可取此根火柴，剩余根火柴，乙無法獲勝.當2 i時，能i k c 7,根據(jù)歸納假設，甲可以取到第止根火柴，并且甲此時所取的火柴數(shù)目%修，剩余公二2一根火柴，乙無法獲勝.當歸=2-1時，設甲第一次時取走 附根火柴，若檄之尢，則