幾何的五大模型

1、精品文檔幾何的五大模型一、等積變換模型(1) 等底等高的兩個三角形面積相等(2) 兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比(3) 兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比如左圖 s1： s2=a:b(4)夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖，saabc= sabad反之，如果sa abc= sa bcd,則可知直線 ab平行于cd (ab/ cd二、鳥頭定理(共角定理 )模型(1) 兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形。(2) 共角三角形的面積比等于對應(yīng)角 ( 相等角或互補(bǔ)角 ) 兩夾邊的乘積之比。如圖在 abc , d, e分別是ar ac上的點(diǎn)如圖.(或d在ba的1

2、歡迎下載 。延長線上，e在 ac上)，貝u 橙abc： saade=(abx ac):(adxae)精品文檔4& /)a工/aa/ /上 e/d，/ /b 二c b c圖(1)圖推理過程連接be再利用等積變換模型即可。證明：圖(1)中設(shè)：過頂點(diǎn)d做底邊ae的高為h1;過頂點(diǎn)b做底邊ac的高為h2 abe中 sjaade sjaabe=adab同理 sa ade sa abe=h1 h2 ad : ab= h1: h2 又因 sa ade=ae*h1*1/2一s abc=ac*h2*1/2 得出 $ ade saabc=ae*h1 ac*h2所以 $ ade saabc=(abac):(adxa

3、e)圖 中設(shè)過頂點(diǎn)d作底邊ae的高為h1,過頂點(diǎn)b做底邊ac的高為h2 db芹，sa ade $ abe=ad ab _saade saabe= h1: h2 ad : ab= h h2又因 sa ade=ae*h1*1/2s abc=ac*h2*1/2得出 saade saabc=ae*h1 ac*h2三、蝴蝶定理模型任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”） s1:s2=s4:s3 或者 s1 x s3=s2x s4 ao:oc=(s1+s2):(s4+s3)證明(1):在4abd中，s1: s2=do:ob在4dcb中，s4: s3=do ob 得到 s1:s2=s4:s3 或者 s1 x

4、s3=s2x s4(十字相乘法)證明(2):設(shè)過d點(diǎn)作底邊ac的高為h1,過b點(diǎn)作底邊ac的高為h2(s1+s2):(s4+s3)=( ao*h1*1/2+ao*h2*1/2 ) : ( oc*h1*1/2+oc*h2*2)約分得到：(s1+s2):(s4+s3)=ao: oc蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑。通過構(gòu)造 模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。梯形中比例關(guān)系 （“梯形蝴蝶定理”） s1: s3=a2: b2證明：由 ao oc=dooc=a:b而 s1: s2=do oc s1

5、: s2= a:b ,得到 s1= j/b*s2 而 s2: s3=ao oc s2 : s3= a:b ,得至u s3=s2*b/a s1 :s3=a2 : b2 s1: s3: s2: s4=a2： b2 ： ab:ab證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得梯形s的對應(yīng)份數(shù)為（a+b） 2證明：由上面公式轉(zhuǎn)換推得四、相似模型相似三角形性質(zhì):adabae deac bcafag5歡在下載證明:s aadee saabcaf2 : ag 2de afbc agsa ade s abc=de*af*1/2: bc*ag*1/2 ade saabcaf2 ： ag 2所謂相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形 （只要其形狀不 改變，不論大小怎樣改變，它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用 的性質(zhì)及定理如下：a.相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；b.相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；五、燕尾定理模型精品文檔(1)s mbg saacg= sabge