高中數(shù)學(xué)講義微專題16含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

1、微專題16含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間在高考導(dǎo)數(shù)的綜合題中，所給函數(shù)往往是一個(gè)含參數(shù)的函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)含有參數(shù)，在分 析函數(shù)單調(diào)性時(shí)面臨的分類討論。本節(jié)通過一些例題總結(jié)參數(shù)討論的方法與技巧，便于更加快速準(zhǔn)確的分析含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、導(dǎo)數(shù)解單調(diào)區(qū)間的步驟：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，大致步驟可應(yīng)用到解含參函數(shù)的單倜區(qū)間。即確定定乂域一求出導(dǎo)函數(shù)一令f x 0解不等式一得到遞增區(qū)間后取定義域的補(bǔ)集(減區(qū)間)一單調(diào)性列出表格2、求含參函數(shù)單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)一一解含參不等式，而定義域?qū)的限制有時(shí)會(huì)簡(jiǎn)化含參不等式的求解3、求單調(diào)區(qū)間首先確定定義域，并根據(jù)定義域?qū)?dǎo)數(shù)不等式中恒正恒負(fù)的項(xiàng)處理掉，

2、以簡(jiǎn)化討論的不等式4、關(guān)于分類討論的時(shí)機(jī)與分界點(diǎn)的確定(1)分類時(shí)機(jī)：并不是所有含參問題均需要分類討論，例如解不等式：x a 0,其解集為a, ,中間并沒有進(jìn)行分類討論。思考：為什么？因?yàn)闊o論參數(shù)a為何值，均是將a移到不等號(hào)右側(cè)出結(jié)果。所以不需要分類討論，再例如解不等式x2 a 0,第一步移項(xiàng)得：x2 a(同樣無論a為何值，均是這樣變形)，但是第二步不等式兩邊開方時(shí)發(fā)現(xiàn)a的不同取值會(huì)導(dǎo)致不同結(jié)果，顯然a是負(fù)數(shù)時(shí)，不等式恒成立，而 a是正數(shù)時(shí)，需要開方進(jìn)一步求解集，分類討論由此開始。體會(huì)：什么時(shí)候開始分類討論？簡(jiǎn)而言之，當(dāng)參數(shù)的不同取值對(duì)下一步的影響不相同時(shí)，就是分類討論開始的時(shí)機(jī)。所以一道題是

3、否進(jìn)行分類討論不是一開始就決定的，而是在做的過程中遇到不同值導(dǎo)致不同步驟和結(jié)果，就自然的進(jìn)行分類討論。(2)分界點(diǎn)的確定：分類討論一定是按參數(shù)的符號(hào)分類么？不一定。要想找好分界點(diǎn)，首先要明確參數(shù)在問題中所扮演的角色。例如上面的不等式x2 a, a所扮演的角色是被開方數(shù)，故能否開方是進(jìn)行下一步的關(guān)鍵，那自然想到按a的符號(hào)進(jìn)行分類討論。(3)當(dāng)參數(shù)取值為一個(gè)特定值時(shí)，可將其代入條件進(jìn)行求解(4)當(dāng)參數(shù)a扮演多個(gè)角色時(shí)，則以其中一個(gè)為目標(biāo)進(jìn)行分類，在每一大類下再考慮其他角色的情況以及是否要進(jìn)行進(jìn)一步的分類。1 一 例如：斛不等式： ax 1 x 1 0,可得：x1 - a 0 ,x2 1此時(shí)a扮演兩

4、個(gè)角 a色，一個(gè)是x的系數(shù)，將決定解集是小大根之外還是小大根之間，另一個(gè)角色是決定x1的大小，進(jìn)而要和*2來角逐大小根。那么在處理時(shí)可先以其中一個(gè)為主要目標(biāo)，例如以 x系數(shù)的正負(fù)，進(jìn)行分類。當(dāng)a 0時(shí)，此時(shí)不等式的解集為小大根之間，而由于a 0,以此為前提x1 0 1 x2,1故小大根不存在問題，解集為 一，1 a當(dāng)a 0時(shí)，不等式變?yōu)閤 1 0 x當(dāng)a 0時(shí)，不等式解集為小大根之外，而x1定，所以自然考慮再結(jié)合小大根進(jìn)行進(jìn)一步討論了。,11c 一 0,x2 1, x1，x2的大小由a的取值決 a（重視的對(duì)比）-11 -八，一，1x x20 a 1時(shí)，不等式解集為，1 u ,a2x1 x2a

5、1時(shí)，不等式化為 x 10x11x x2a 1時(shí)，不等式解集為，一 u 1,a希望通過此例能夠體會(huì)分類討論的時(shí)機(jī)與分界，若能領(lǐng)悟，其分類討論不再是一個(gè)難點(diǎn)，而 是有線索可循了。、典型例題:1 x例1：已知函數(shù)f x lnx,求f x的單調(diào)區(qū)間ax解：定義域x 0,in xj11 ax 1f x2 -2ax x ax.，ax 1令f x 0,所解不等式為0a,_ , 一一一1當(dāng)a 0時(shí)，即解不等式ax 1 0 x -af x的單調(diào)區(qū)間為:x0 a1, af x+f xz當(dāng) a 0 時(shí)，ax 1 0,a 0f x 0恒成立f x為增函數(shù)：31 ，一，-x 1垂直，求實(shí)數(shù)a的值3例2:已知函數(shù)f x

6、 ax3 3x2 1 a(1)若f x的圖像在x 1處的切線與直線 y(2)求函數(shù)f x的單調(diào)區(qū)間1斛：（1）由切線與 y - x 1垂直可得：f 1332f x 3ax 6x f 1 3a 6 3 a 1(2)思路：導(dǎo)函數(shù)f x23ax 6x ,令 f x0解單調(diào)增區(qū)間，得到含參不等式。分類討論時(shí)注意a扮演兩個(gè)角色：一個(gè)是影響最高次項(xiàng)的符號(hào)，一個(gè)是影響方程的根解：f x 3ax2 6x 令 f x 0 即 3ax2 6x 03x ax 20gc2x2 x1 (將a的范圍分類后，要善于把每一類的范圍作為已知條使用 a 0x10, x2a件，在本題中使用a0的條件使得x1，x2大小能夠確定下來，

7、避免了進(jìn)一步的分類)f x的單調(diào)區(qū)間為:x,00,2 a2, af x+f xzzd a 0x2 xf x的單調(diào)區(qū)間為:x2, a2,0 a0, f x+f xzz2例3：已知函數(shù)f x 2ln x ax ,求f x的單倜區(qū)間解：定義域：x 0,2 c 2 2ax 人/小 一/口2- 2ax ，令 f x 0,可得：2 2ax 0xx即 ax2 1當(dāng) a 0時(shí)，x2 - x 0, aaf x的單調(diào)區(qū)間為:xnva 0, a在 , af xf xz當(dāng)a 0時(shí)，f x21nx為增函數(shù)22 2axr當(dāng)a 0時(shí)，f x 2ax 0恒成立 f x為增函數(shù)xx例4：討論函數(shù)f x a 1 in x ax2

8、 1的單調(diào)區(qū)間/c 2/a 1 小 2axa 1解：f x 2 ax 令 f x 0xx22即2ax a 1 0 2ax a 1（注意定義域?yàn)?0,+,所以導(dǎo)函數(shù)分母恒正，去掉后簡(jiǎn)化所解不等式）2 a 1 a 0時(shí) x （求解x需要除以2a后開方，進(jìn)而兩個(gè)地方均需要分類討論，先從2a的2a符號(hào)入手）qa 0a1 0 f x0恒成立，f x在0,單調(diào)遞增2aa 0函數(shù)f x in x 1為增函數(shù)2 a 1a 1 a 0時(shí) x2（下一步為開方出解集，按 的符號(hào)進(jìn)行再分類）2a2aa 1當(dāng) 0即a1時(shí)，f x 0恒成立，f x在0,單調(diào)遞減2a當(dāng)2aa 0時(shí)，解得：0 xa 12af x的單調(diào)區(qū)間為

9、:xj/ a 4a0kf x+f xz小煉有話說：本題定義域?yàn)?,故對(duì)單調(diào)區(qū)間既有促進(jìn)作用又有制約作用：促進(jìn)作用體現(xiàn)在對(duì)所解不等式的簡(jiǎn)化，請(qǐng)大家養(yǎng)成一個(gè)良好習(xí)慣，當(dāng)已知變量范圍時(shí)，一邊關(guān)注范圍一邊解不等式。制約作用體現(xiàn)在單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是定義域的子集，所以在 1 a 0時(shí)，表格中自變量的區(qū)間是從x 0處開始分析的2一 例5：已知函數(shù)fx x a 2 ln x ,討論f x的單倜性 x解：定義域?yàn)?0,2j / 2ax ax 22八八f x 1 - - 2令 fx 0即 x ax 2 0x x x考慮 a2 8 （左邊無法直接因式分解，考慮二次函數(shù)是否與x軸有交點(diǎn)） 0272a 2無時(shí)x2 ax2

10、0恒成立，故fx在0, 單調(diào)遞增 a 272h x2ax 2 0 的解x1 aa8, x2 aa8 x1,x2 0222 a ,a2 8 - a ；a2 8x ax 2 0 的解集為 0, u 22f x的單調(diào)區(qū)間為:x0 a a2 8a ja2 8 a ja2 8a ja2 82,22, f x+f xzz a 22 時(shí) x1, x2 0 x 0, f x 0f x在0,單調(diào)遞增小煉有話說：本題亮點(diǎn)在于的討論，判斷極值點(diǎn)是否在定義域中。進(jìn)而確定單調(diào)性。除了解出根來判斷符號(hào)之外，本題還可以利用韋達(dá)定理進(jìn)行判斷。x1 x2 2,說明兩根同號(hào),而xi x2 a ,說明a的符號(hào)決定xi,x2的正負(fù)，

11、從而在0的情況下進(jìn)行再次分類討論1.例6：已知函數(shù)f xeaxa a 1 ,其中ax(1)當(dāng)a 1時(shí)，求曲線y f x在點(diǎn)l,f 1處的切線方程；(2)求f x的單調(diào)區(qū)間.v 1v 11斛：(1)fx e 2 f x e 2 2 xx x一 一 _一 . .f 13e,f 1 2e切線方程為：y 3e2ex 1 ,即y 2ex e(2) f x0,ax x 1 a 1 x 1 axae 2, xx令f x 0 ,即解不等式：a x 1 a 1 x 1 0x,11,00,f x+當(dāng)a1時(shí)，解得：x 1,故f x的單調(diào)區(qū)間為:f xzz11當(dāng)1 a 0時(shí)x11,x2 0,所以解得： 1 xa 1a

12、 1故f x的單調(diào)區(qū)間為:x,11,00, a 11 a 1, f x+f xzza 0,則f x 1 ,常值函數(shù)不具備單調(diào)性1a 0時(shí)，解得：x 1或x故f x的單調(diào)區(qū)間為：a 1x,11,00 a1 a 1, f x+f xzz一一 一乙一一、r,，_1 2.例7：已知函數(shù)fx x ax a ln x 1 a r .求函數(shù)f x的單倜區(qū)間. 2后刀jax2 a 1 x x x a 1解：f x x a x 1x 1x 1令 fx 0,即 xx a 10,xi 0,x2a 1 （參數(shù)a角色： xi,x2的大小， x2是否在定義域內(nèi)，以為目標(biāo)分類）x2 x1a 10即a 1 （此時(shí) a 1 一

13、定在定義域中，故不再分類）不等式的解集為1 x 0或x a 1 f x的單調(diào)區(qū)間為：x1,00, a 1a 1 , f xf xx2x1a 1 f xx20 fx在 1,單調(diào)遞增x2 xi 0 a 1,要根據(jù)x2是否在 1,0進(jìn)行進(jìn)一步分類當(dāng)1 a 0時(shí)，x20,1不等式的解集為x 0或1 x a 1f x的單調(diào)區(qū)間為：x1, a 1a 1 ,00, f xf x當(dāng)a 0時(shí)，則x a 1 0,不等式的解集為 x 0 , f x的單調(diào)區(qū)間為:x1,00,+f xf x小煉有話說：(1)在求單調(diào)區(qū)間時(shí)面臨一個(gè) f x 0的根是否在定義域中的問題，由此也可體會(huì)到定義域?qū)握{(diào)區(qū)間“雙刃劍”的作用，一方

14、面縮小自變量的范圍從而有利于不等式的化簡(jiǎn)，另一方面也圈住了單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)所在的范圍。(2)體會(huì)參數(shù)起到多重作用時(shí)，是如何進(jìn)行分類討論的，以及在某個(gè)大前提下，參數(shù)討論也可進(jìn)行些簡(jiǎn)化。例8：已知函數(shù)f xlnx ax2a 2 x,求f x的單調(diào)區(qū)間解：定義域 x | x 01f x 2ax a 2 x x22ax a 2 x 1x2x 1 ax 1令f x 0,即解不等式2x 1 ax 10，,1(1)當(dāng)a 0時(shí)，可得ax 1 0,則不等式的解為 x 2f x的單調(diào)區(qū)間為：x12,f x+f xz,一11(2)當(dāng)a0時(shí)，x1-,x2-2a小,11-一1 . _1x1 x2時(shí)，即一一a 2,解得x

15、 或0 x 2a2af x的單調(diào)區(qū)間為：x0, 1 a1 1 a,212,f xf xzz22x 1x1 x2 a 2,代入到f x0恒成立f x為增函數(shù)xq一一 .一1 .1 xx22a 0,解得：x 一或 0x 一a2f x的單調(diào)區(qū)間為：x1 12, a1, af xf xzzj 、i _13_2_例9：設(shè)函數(shù)f x -ax 2ax 1 2a x,a 0,求f x的單倜區(qū)間； 3解：f xax2 4ax 1 2a,令 f x0 即 ax2 4ax 1 2a 02216a2 4a 1 2a 24a2 4a 4a 6a 1一、八 八1,、，(1)00 a 則f x 0恒成立 f x在r上單調(diào)遞增6(2)2a4a .24a2 4a6a2 a/6a2 a0時(shí)，解得 2 a x 2 一a aax2 46a2 a a2 j 6a2 a 2 6a2 a a a2 j6a2 aa , f xf xzf x單調(diào)區(qū)間為:當(dāng)a16a2 a6a2 a當(dāng)a 時(shí)，解得：x 2 或x 2 6aaf x單調(diào)區(qū)間為:x2 v6a2 aa2 v6a2 a 2，6a2 a a ao j6aa21a, f xf x