高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透

1、高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透 數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法 l數(shù)學(xué)思想方法是指數(shù)學(xué)思維方法，主要是邏輯 方法（歸納、類比、演繹、分析、綜合等）、 非邏輯方法和創(chuàng)造性思維（形象思維、靈感思 維、審美直覺、反思維定勢的思維方法等）。 高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中重視對數(shù)學(xué)思維方法的滲透是 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的需要，也是適應(yīng)近幾年數(shù) 學(xué)高考越來越重視對數(shù)學(xué)思維能力考查的需要. 1963年數(shù)學(xué)教學(xué)大綱首次提出培養(yǎng)“三大能力”， 到1978年又增加了“逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決 問題的能力”，2002年又將原“邏輯思維能力”改 為“數(shù)學(xué)思維能力”，2003年 “數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)” 中將

2、“注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”作為課程的基本 理念提出來，這一次的修改，決非搞文字游戲，而 是事關(guān)本質(zhì)，是認(rèn)識上一次次的升華. 從數(shù)學(xué)教學(xué) 大綱修改過程得到啟示：數(shù)學(xué)教學(xué)必需重視數(shù)學(xué)思 想方法的滲透. 數(shù)學(xué)思維方法的培養(yǎng) n數(shù)學(xué)思維方法是在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)解決問 題的過程中，不斷的經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、 歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、 運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思建構(gòu)等 思維過程中逐步獲得，數(shù)學(xué)思維方法是數(shù)學(xué)素 養(yǎng)的核心.在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中,題海是茫茫 無涯的,但數(shù)學(xué)思想方法是有限的.以有限的具具 體數(shù)學(xué)思想方法體數(shù)學(xué)思想方法去攻克題海是提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 效率的捷徑. 一、映射的

3、思想方法 例題1.(2008浙江高考t17)若且當(dāng) 時, 恒有, 則以a,b為坐標(biāo)的點p(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積等于 _ 1 0 0 yx y x 1byax 方法方法(1) 變換思想變換思想: ,區(qū)域 變換為區(qū)域 時 ,恒有 成立,得到 則點p(a,b)所形成的平 面區(qū)域的面積等于1. byy axx 0 0 1 x y xy 1 0 0 b y a x y x 1 y x10 , 10ba n方法(2)：多元化歸一元思想多元化歸一元思想：由 得到 則 對 恒成立即 對 恒成立，令 則 得到 則點 p(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積等于1. 1 yx,1 xy 1)1 (xbax 1

4、 , 0 x01)(bxba 1 , 0 x 1)()(bxbaxf 1) 1 ( 1) 0 ( f f 10 , 10ba 方法（方法（3）換元思想）換元思想：設(shè) ，則 。 當(dāng) 時， 時， ， 當(dāng) 時， 時， 則點p(a,b)所形成的平面區(qū)域的面積等于1. 22 sin,cosryrx 10 r 01cos)( 2 brbar ba 1cos 2 1ra10 a ba 0cos 2 10 , 1bbr n例題例題2.(2007江蘇t10)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知 平面區(qū)域, 則平面區(qū)域 的面積是-( ) a.2 b.1 c.1/2 d.1/4 ( , )|1,0,0ax yxyxy (

5、,)|( , )bxy xyx ya 變換的思想:設(shè) ,則 區(qū)域a的點(0,0)、 (1,0),(0,1)在矩陣 的作用分別為(0，0)， (1，1)、 (1，-1)，則(0，0)，(1，1)、(1，-1)圍成的三角形面積是1. uxy vxy 11 11 ux vy 11 11 如（08高考全國t21）設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點， 是它的兩個頂點，直線 與ab相交于點d，與橢 圓相交于e、f兩點 （1）若 ，求的值; （2）求四邊形面積的最大值. (2 0)(01)ab， )0(kkxy d f b y x a o e 6eddf (1)依題設(shè)得橢圓的方程為 直線 的方程分別為 ： ， 如圖，設(shè)

6、，其中 且 滿足方程 故 2 2 1 4 x y ab ef， 22xy (0)y kx k 001122 ()()()d xkxe xkxf xkx， 12 xx 12 xx， 22 (14)4kx 21 2 2 14 xx k 由 知， 得； 由d在ab上知 ，得： 所以 ，化簡得 ，解得 或 6eddf 0120 6()xxxx 0212 2 1510 (6) 77 7 1 4 xxxx k 00 22xkx 0 2 12 x k 2 210 1 2 7 1 4 k k 2 242560kk 2 3 k 3 8 k 解法一：根據(jù)點到直線的距離公式和式知，點e，f到ab的 距離分別為 又

7、，所以四邊形的面積為 當(dāng) ，即當(dāng) 時 ，上式取等號所以的最大值為 2 11 1 2 222(1214) 5 5(14) xkxkk h k 2 22 2 2 222(1214) 5 5(14) xkxkk h k 2 215ab 12 1 () 2 sab hh 2 14(12 ) 5 2 5(14) k k 2 2(12 ) 14 k k 2 2 1 44 2 1 4 kk k 2 2 21k 1 2 k 2 2 解法二：由題設(shè)， ， 設(shè) ， 由得 ， 故四邊形aebf的面積為 當(dāng)時，上式取等號所以的最大值為 1bo 2ao 11 ykx 22 ykx 2 0 x 21 0yy befaef

8、 sss 22 2xy 2 22 (2)xy 22 2222 44xyx y 22 22 2(4)xy2 2 2 2 解法三解法三:變換思想方法,圓 ,經(jīng)伸 縮變換得 ,則此圓內(nèi)接四邊形 aebf面積最大值是 ,所以橢圓內(nèi) 接四邊形面積 22 4xy 2 2 1 4 x y 1 4 22 2 2 1 4 2 24 2 2 二、以“不變應(yīng)萬變”的不變量思 想 n在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,如面積、長度、體積、離心率等量不 因為坐標(biāo)變換而變化.既然是不變量,則坐標(biāo)選擇不影響這 些量. 例題例題3、已知點p在內(nèi),且 求凹四邊形 abpc的面積與 的面積之比. ,ab ac (01,01)ap tab sact

9、s abc 建立平面直角坐標(biāo)系，取正交單位向量 則點b（1，0），c（0，1）p（t,s）, 凹四邊形abpc的面積是 , 的面積是，則凹四邊形abpc的面積與 的面積之比為 abc 1 () 2 st abc ():1st 如如09高考調(diào)測題：高考調(diào)測題： 已知 ，點p在直線ab上， 則 _ a. b. c. d. aob2()optpatob tr | | pa pb 1 3 1 2 23 , , 選直角坐標(biāo)oa，ob為x,y軸得到點 則點 ，則 2 1 21 2 tt opoaob tt oboaop 3 1 3 2 (1,0),(0,1)ab 2 1 ( , ) 3 3 p | | p

10、a pb 1t 1 2 三、歸納類比的思想方法 n數(shù)學(xué)家波利亞說過：“類比是偉大的引路人, 求解立體幾何問題往往有賴于平面幾何中的問 題進(jìn)行類比.”. 無限與有限、不等與相等、等比 與等差、直線與平面、面積與體積、圓周與球 面、加法中“0”與除法中的“1”等等，都可作 為類比來探究. n例題例題4、n條直線最多將平面分成多少個區(qū)域? 將直線用平面 去類比,又將得到什么樣的結(jié)論呢?即n個平面最多將空間分 成多少個區(qū)域? 設(shè)直線 將平面最多分成的區(qū)域數(shù)為 , 再插入第2條直線記 此直線與 相交,在 上產(chǎn)生1個交點， 將 分成2段，每一段將原區(qū)域一分為二,新增區(qū)域2 個， ,插入第3條直線記 ,此直

11、線與直線 ,相交 產(chǎn)生2個交點,將 分成3段,每段將原區(qū)域一分為二,新增區(qū)域 數(shù)3個,數(shù)學(xué)表達(dá)式為: . 歸納推理：插入第n+1條直 線 ,此直線與 的n條直線相交,產(chǎn)生n個交點,將 分成n+1段,每一段將原區(qū)域一分為二,新增區(qū)域n+1個. , 21n l、ll n a2, 1 10 aa 2 l 1 l 2 l 2 l 2 12 aa 3 l 21,l l 3 l 3 23 aa 1n l n l、ll 211n l 得到數(shù)學(xué)表達(dá)式: 累加相消得: 即 設(shè)平面 , 它們將空間最多分成區(qū)域 個 歸納推理:插入第n+1個平面 ,這個平面與原來n個平面相 交產(chǎn)生n條直線,這n條直線將平面 分成最多

12、 個區(qū)域 (平面),它們將原區(qū)域(空間)一分為二,新增區(qū)域(空間) 個 1 1 nn aan naan 432 1 1 n=0 (1) 1 n1 2 n a n n (1) 1() 2 n n n ann n 、 21 n c . 2, 1 10 cc 1n 1n n a n a 所以 ,即 左邊累加相消,右邊公式求和得: 驗證:正四面體的各個面伸展后,將空間分成區(qū)域 個 nnn acc 1 2 1 11 1 22 nn ccnn 1 2 1 1 2 1 1 2 12 cc 2 2 1 2 2 1 1 2 23 cc ) 1( 2 1 ) 1( 2 1 1 2 1 nncc nn 2 (5)

13、1() 6 n n cnnn 15 4 c 如如:觀察下列等式： 2 1 232 1 3432 1 11 , 22 111 , 326 111 , 424 n i n i n i inn innn innn 45432 1 1111 0, 52330 n i innnnn 112 11210 1 , n kkkkk kkkk i iana nanana na 可以推測，當(dāng)k2（kn*）時， _ _ 11 11 , 12 kkk aaa k 2k a 如如: 平面內(nèi)的一個四邊形為平行四邊形的充要條 件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫 出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充 要條件：充要條

14、件_ 充要條件_（寫出你認(rèn) 為正確的兩個充要條件） 四、待定常數(shù)法 待定的結(jié)構(gòu)是： 即 (1) 設(shè) , (2) 當(dāng)方程（2）有等根時，求得m代入（1）取倒數(shù)，新數(shù)列 成等差數(shù)列；當(dāng)方程（2）有兩個不同根時，將根 代入，新數(shù) 列 成等比數(shù)列. 1 , n n n aab amm cad 1 () n n n bdm a acm amacm cad bdm m acm 2 ()0cmad mb 1 n am 12 ,m m 1 2 n n am am 例題5、數(shù)列 ， ， 求 n a 11 , n n n aab at a cad n a 例例6.已知函數(shù) , ， 求 2 ( )1f xxx 1

15、1a 1 () () n nn n f a aa f a (1,2,)n n a 分析:由 得： 1 ( ) ( ) n nn n f a aa f a 2 1 1 21 n n n a a a 22 1 121 2121 nnn n nn aamam amm aa 2 () 21 n n am a 當(dāng) 時,即方程f(m)=0的根為 （ ） ，新數(shù)列 是以 為首項,公比是2的等比數(shù) 列. 2 1mm , 2 1 1 () nn nn aa aa ln n n a a 2ln 待定常數(shù)m結(jié)構(gòu)如下: 如下2007年廣東t21題的模式是待定常數(shù)m的結(jié)構(gòu): 已知函數(shù) ， 是方程f(x)=0的根( ),

16、 (1)求 (2)證明: (3)記 ，求數(shù)列 的前n項和 2 ( )1f xxx , 1 1a 1 ( ) ( ) n nn n f a aa f a (1,2,)n , n a ln n n n a b a n b n s 例例7.數(shù)列 ,滿足 ，求 n a 1112 ,1, nnn apaqaaap n a 待定常數(shù) ，結(jié)構(gòu)如下: ， 則 ， 是方程 之根,數(shù)列 是以 ，為首項,公比是 的等比數(shù)列,則 同理 從中消去 ，得: , 11 () nnnn aaaa 11 ()() nnn aaa , pq , 2 0 xpxq 1 nn aa 21 aap 1 1 n nn aa 1 1 n

17、nn aa 1n a () nn n a 如下2008年廣東t21題的模式是待定常數(shù) ，的結(jié)構(gòu):, 設(shè) ，為實數(shù)， 是方程 的兩個實根， 數(shù)列 滿足 ， 。 （1）證明： ， ； （2）求數(shù)列 ，的通項公式； （3）若 ， ，求 的前項和 pq， ， 2 0 xpxq n x 1 xp 2 2 xpq 12nnn xpxqx (3 4n ， ，） p q n x 1p 1 4 q n x n s 如如09高考調(diào)測高考調(diào)測“矩陣與變換和坐標(biāo)與參數(shù)方程矩陣與變換和坐標(biāo)與參數(shù)方程”題題： 極坐標(biāo)系中，極點o， 曲線c： （1）求直線 的極坐標(biāo)方程； （2）記直線 與曲線c交于a、b兩點， 求大小 1

18、2 (3, 0),(3,), 2 pp 2 12 pp 12 pp aob 五、“指數(shù)與下標(biāo)”同步法 n在數(shù)列問題求解中“指數(shù)與下標(biāo)”同步法能提 高解題的有效性. 例8、已知正項數(shù)列 ， （1）求）求 （2） ，求 并確定最小正整數(shù)n,使得 為整數(shù) n a 1 11 1 2 3,() 2 nn nn nn aa aa an n aa n a 222 12 222 12 111 , nnn n saaa t aaa nn st nn st 分析結(jié)構(gòu)：（1） 1 11 11 221 2 2 nn nnnn nnnn aa aaaa aaaa 1 11 1 11 2222 nn nnnn nn aa aa 兩邊累加相消得： 2 11 121 (249) 33 n nn nn n aa a （2） 2 22 2 1211 4 39 n n nn nn aa aa 64 (41) 27 n nn st 9n 分析：由 要使“指數(shù)與下標(biāo)”同步，只要上式兩邊 同除以 得： ，累加相消求 1 1 3 2 2 nn n aa 1 2k 1 122 3 222 kk kkk aa n a 另法:由 待定常數(shù)m結(jié)構(gòu)是: 得m=-1,則新數(shù)列 是以為首項公比是2的等比數(shù) 列, 1 1 3 2 2 nn n aa 1 1 11 2() 22 nn nn amam