子空間與子空間的分解

1、線性子空間與子空間的分解在通常的三維幾何空間中，考慮一個(gè)通過原點(diǎn)的平面。不難 看出，這個(gè)平面上的所有向量對于加法和數(shù)量乘法組成一個(gè)二維 的線性空間，這就是說，它一方面是三維幾何空間的一個(gè)部分， 同時(shí)它對于原來的運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)線性空間。一般地，我們不僅 要研究整個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu)，而且要研究它的線性子空間，一方 面線性子空間本身有它的應(yīng)用，另一方面通過研究線性子空間可 以更深刻地揭示整個(gè)線性空間的結(jié)構(gòu)。一、線性子空間的定義定義7設(shè)V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間，W是V的一非空子 集。如果W對于V中所定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域 F上的 一個(gè)線性空間，則稱 W為V的一個(gè)線性子空間，簡稱子空間。驗(yàn)證W是

2、否為V的子空間，實(shí)際上只需考察W對于V中加法 和數(shù)乘運(yùn)算是否封閉就行了。因?yàn)榫€性空間定義中的規(guī)則 (1) (8)在W對線性運(yùn)算是封閉的情況下必是滿足的。例1任何線性空間有兩個(gè)平凡子空間或假子空間；一個(gè)是它自身VV，另一個(gè)是稱為零元素空間(零子空間)。 除此之外的子空間稱為非平凡子空間或真子空間。下面舉幾個(gè)常 見的例子。例 2 給定 A=(ai,a2,IH,an) Rm n，集合N(A).x| Ax =0, x Rn /R(A)二(A) =L(ai,a2,|,an)二 spanai,a2川)4y|y 二 Ax, x Rn?分別是Rn和Rm上的子空間，依次稱為 A的零空間(核)和列空間(值域)，零

3、空間的維數(shù)稱為零度A的零空間是齊次線性方程組 Ax二0的全部解向量構(gòu)成的n維線性空間Rn的一個(gè)子空間。因?yàn)榻饪臻g的基就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。所以，dim(N(A)二n - ran k (A)。A的左零空間和行空間N(AT)二(x| ATx =0, x Rm?R(At)=(At).y|y 二Atx, x Rm ?，dim(N(AT) = m -rank(AT)。A一表示Amn的廣義逆，滿足AXA二A，則有N(A)7ln -A)且In -A_A，A_A幕等。所以rank (In A A)二 tr (I n - A 入)二 n - tr( AA)二 n - rank (A A)二 n - ra

4、n k(A)例3設(shè)12,，m(m 1)是v的m個(gè)向量，它們所有可能的線性組合所成的集合Spa!2amam卜= K ii =1是V的一個(gè)子空間，稱為由r2,i,m生成的子空間 若記 A=(n,，5)，Rn m，則丄(A) = Span： 2,： m由子空間的定義可知，如果V的一個(gè)子空間包含向量 1，2m，那么就一定包含它們所有的線性組合。也就是說 Span；_可，：2，： m 是V的一個(gè)子空間。注：容易證明 dim(A)二 rank(A)。(2)和 A)(AR ,B 二 bbi，特別若 bj, j =1,2, ,l 可表示為r,2，m的線性組合，則(A) 7 AB )。定理2設(shè)W是Vn的一個(gè)m維

5、子空間，r2,/ m是W的一 個(gè)基，則這m個(gè)向量必定可擴(kuò)充為Vn的基。證明若m二n，則定理已成立。若 m ： n，則Vn中必存在一個(gè)向量 ：m 1不能由 mm線性表出，從而:i/2/ / m/ m-1線性 無關(guān)。如果m T二n，則定理已成立。否則繼續(xù)上述步驟。經(jīng)過 n-m次，則可得到Vn內(nèi)n-m個(gè)線性無關(guān)的向量，使 12,，mm1,n 為 V 的基。二、子空間的分解子空間作為子集，有子集的交( W1 W2 )，和(W| W2) 等運(yùn)算，對它們有如下定理。定理3設(shè)W| ,W2是線性空間V的子空間，則有 W1與W2的交集 W1 W2I： W1且: W2：是V的子空間，稱為W與W2的交空間。(2)W

6、 與W2 的和 W1 W2 =-2- WV 2 W21 是V的子空間，稱為 W與W2的和空間。證明 由0, W1,0 W2,可知0, W1 %,因而W1 W2是非空的.其次， 如果 Wi W2 ,即:/ W|而且:/ W2 ,因此 ：.；亠1：, - W| ，雹亠三W2 ,因此：工亠 - Wi W2 .同樣,由 k w ,k：；三,知恣訓(xùn) %.因此 W W2是V的子空間.(2) 由定義 Wi W2V ,而且非空. Wi W2 ,則有 :i,1 W,i J 2.由a = % +o(2,0 =亠 + P2,a + P =旳 +a2 + h + P2 =(5 + 帖)+&2 + P2),k： =k-

7、k： 2，因 W 是子空間,則：1 i Wi,： 2 ：2 W2,k： 1 Wi,k： 2 W2, 所以用 eWi W2, k Wi W2,即Wi W2是V的子空間.子空間的交與和的概念可以推廣到多個(gè)子空間的情形。定理4(維數(shù)定理)設(shè)Wi和W2是線性空間V的兩個(gè)子空間，則dimW1+ dimW2= dim(W1 W2) + dim(W1 W2) (1)證明設(shè) dim (W1 W2) =r , dim =引,dimW2 =s2 , W| W2 基為1,2廠，九，由定理2知，它們可分別擴(kuò)充為：W的基：j,2,1,，飛，W2 的基1，2廠，:” r 1廠，s2，則W= Spa*1，： 2，： r，r

8、 1，W2= Spanj,： 2，： r，r 1，s2 W1 W2 =Spa n： 1，： 2， / r， r 1，飛，r 1，s2 ：?.下面證明1，2，：d1,，飛，r 1，S2為線性無關(guān)組。任取數(shù)ki，Pi，q，使r、krii=1si Pi =r 1s2Jqii”i -0.(2)因?yàn)閟1rq一 PiikQj qiY.i i =f 1i di =r 1所以-、Pi w W i斗1從而有色-r為 Pi R =送 ni，i =f 1i =1即rSi m 亠-Pi=o.i Ai=r 1由是W的基,線性無關(guān),故p =0,i =r代入式，得rS2、ki 亠二 qi i 7i =1i =r 1而12,

9、r，r 1，s2是W2的基，于是ki =0(i =1, 2/ ,r), qj =0(i = r 1,),故1，2，_八，1廠，、，r 1，S2線性無關(guān)，dim (W| %) =r (q -r) (S2 -r) =3 s2 -r,定理得證.從 (1) 式知， 若 W10 ，貝U 有dim( W, + W2 )1 = = 0 ； Wi W2= ；0 / ；(4)dim(W) dim(W4)=dim(W W2) 證明采用輪轉(zhuǎn)方式證明這些命題。(1) = (2)按定義，W W2內(nèi)任一向量表示法唯一，因而 0的表示法 當(dāng)然唯一。(2) 二(3)用反證法。若W| W2 0,則有Wi W2 - 0，于是 -

10、W|, - 一： W2。而0- J，這與零向量的表示是唯一的假設(shè)矛盾。(3) 二(4)利用維數(shù)定理即得。(4) 二(1)由維數(shù)疋理知dim( W W2 )=0,即W W2 = 0 .對任一=W W2，如果a+o(2 =af+c(2 (ai,afwW； a, aW2)則有：-打=:-2 -】2于是- -1 - - 1 = 2 - - 2 WZ| I *0 !即J-1 -1 = 0, -2 - ； 2 = 0。這說明% =otf, 0(2 =2因而表示法唯一。定理證畢。定理6設(shè)W|是V的一個(gè)子空間，則必存在 V的子空間W2， 使W.W2 =Vn。證明：設(shè)dim(W)=m，且-1 2 / m是W的一

11、個(gè)基，根據(jù) 定理2它可擴(kuò)充為V的基:r2,Fm,：miUn，令 W2二Span；：卄,*，顯然W2就滿足要求。子空間的交、和及直和的概念可以推廣到多個(gè)子空間的情 形。四、內(nèi)積空間前文中，我們對線性空間的討論主要是圍繞著向量之間的加法和數(shù)量乘法進(jìn)行的。與幾何空間相比，向量的度量性質(zhì)如長度、夾角等在實(shí)際應(yīng)用中更重要。因此，我們在一般線性空間中定義 內(nèi)積，導(dǎo)出內(nèi)積空間的概念。定義9設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的實(shí)線性空間。如果對于任意的:J V，都有一個(gè)實(shí)數(shù)（：）與之對應(yīng)，且滿足（1）G , ）=（ ）=0.則稱 C）為與-的內(nèi)積。定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間 V稱為內(nèi)積空間，又稱歐幾里得空間或 Euclid空間（簡

12、稱為歐氏空間）。n例如，在Rn中，定義內(nèi)積（x, y） =xTy =為xi yi。這時(shí)Rn成iT為內(nèi)積空間。在內(nèi)積空間Rn中，如果（x,y） = 0,則稱x與y正交，記為x y。1 2,- n設(shè)歐氏空間Rn中的基為12,，歐氏空間中有兩個(gè)向nn量十二: xj, 7 =為yr- j，下面我們來計(jì)算-J的內(nèi)積。i Tjn1nn nG(： 1則有5n丿-%y1X?y =y2x =H疋y嚴(yán)j）=送送Xiij)yjj#i占jm彷1嚴(yán)1）(% ,O 2 )& 1，“n)W 2，口1)(a2 ,a2)(a 2 嚴(yán) n )2 n N 1 )(a n ,G 2 )0 n N n )C , ） =C x iTc

13、, J =XTG（： 1, ： 2,，: n）y注：（1）方陣GC ： ?，： n）稱為向量組r，2，in的Gram 矩 陣，或度量矩陣。（2）。1,0（2，5線性無關(guān)的充要條件是 G （% 02，5）式0。（3）G（r，2,/ n）對稱正定。因?yàn)榉疥?X = 0, ： = （：r , ： 2，: n）x = 0,XTG（： 2，： n）x = （： , ： ） 02若n =1 ,則G（ J -表示長度的平方；n = 2時(shí)，則2GQs）=冋匯對，表示面積的平方；n=3,呢？若1,2n是規(guī)范正交基，則G（： 1,： 2,，: n） =ln，內(nèi)積（，：）=xTy。即向量內(nèi)積等于坐標(biāo)的內(nèi)積，計(jì)算簡單

14、，所以內(nèi) 積空間的基常采用規(guī)范正交基。另外，在規(guī)范正交基r2,n下向量n二=為 Xii =C1,Ini WX1X1）-的坐標(biāo)X =:的計(jì)算簡單不Un需要解線性方程組就能得到Xi二lXn丿,：i）,i 7,n,即設(shè)w是內(nèi)積空間v的一個(gè)子空間。顯然 w也是一個(gè)內(nèi)積空間。如果V的一個(gè)向量與w的每一個(gè)向量正交，則稱與w正 交，記為:-W。對于V中的兩個(gè)子空間 W1,W2，如果任取: Wi, - W2，都有 c)=o，即-.1，則稱Wi與W2是互相正交的。記為Wi _W2。定義10設(shè)S為V中的子空間，記S - = ：x | x _ S, x V ?容易證明s-也是線性空間，稱為S的正交補(bǔ)空間。定理7設(shè)A

15、為n k矩陣。記A-為滿足條件AA- = 0且具有 最大秩的矩陣，則R(A-) =R-(A)證明設(shè) x R(A-) ：x=AV,t= Ax 二 AAV=0=zAx = 0,-z = (Az) x = 0= x _ Az二 x R-(A)；反之，x R-(A)= x_Az, z= (Az) x = 0二 zAx=0,-z = Ax=0二 x 二 AV, t二 x R(A-). 推論：R(A) =R(A)二 N(At) ； R(AT)二 N(A).證明：只證第一式，因?yàn)榘训谝皇街械腁看成A即得第二式 由 x R(A) = x_R(A)= x_At,t任意二(At)x=0,t任意=tAx=0,t 任

16、意= Ax=0= x N(A).和x R(A-)= x=A 龍 t= Ax = AAr=0= x N(A),證畢.對于一個(gè)線性空間S，如果存在k個(gè)子空間0,，Sk，使得對 任意:S，可唯一地分解為亠亠：k，二 i ：= Sj ,i = 1,2，,k , 則稱S為$，,Sk的直和，記為S = 3二S2二二Sk，若進(jìn)一步 假設(shè)，對任意的-： &,-：打Sj,i = j，有一：打_j，則稱S為 0,，Sk的正交直和，記為Si SSk，特別，R“二S S-，對于Rn中子空間S都成立。設(shè) A=(A A),叫 Ai) 叫 Aj)oi = j,則叫A) =d(Ai)二二叫AQ ;若進(jìn)一步假設(shè) AjAj -0

17、, j,則容易 證明 a)= %A)+%Ak)。容易證明對于內(nèi)積空間Rn的子空間S有下面的性質(zhì)S卡-)-； S1s2 = s廠St；(Si S2)- = St s廠(Si S2)- = Sr s廠定理8對任意矩陣A，恒有R(A)二R(AA)。證明顯然R(AA ) R(A),故只需證 R(A) R(AA),事實(shí)上，對任給x 一 R(AA)，有 xAA = 0。右乘 x，得2x AAx =(Ax) (AX) =|aX =0,故 Ax =0,g 卩 x 丄 R(A).證畢.定理 9 設(shè) An m, H k m，則SAx: Hx =0?是R(A)的子空間;(2) dim( S)二 rank A -ran k(H). lH丿證明第一結(jié)論的證明是簡單的，現(xiàn)證(2)。不妨設(shè)R(H)二k,則存在k階可逆矩陣Q，使得HQ = (I k 0),于是=dim 丿dim( S) = dim (A x : Hx = 0( = dim Q U2 x :(l0)X = 0，其中 U1 U2 二 AQ,x(i)1-ran k(IJ=dim U2x(2) : x(2)任意*，其中 x =ran k (U 2) = ra nk；1 打2=rank A -rank(H ).證畢.kH丿推論