新第2講(教師)勾股定理解析

1、第2講八年級(jí)數(shù)學(xué)勾股定理.學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程；2.理解勾股定理的含義；3. 會(huì)用面積法來(lái)證明勾股定理；4.能夠運(yùn)用勾股定理解決相關(guān)問題。重點(diǎn)和難點(diǎn)：1. 重點(diǎn)：勾股定理的內(nèi)容2. 難點(diǎn)：勾股定理的證明和運(yùn)用； .知識(shí)點(diǎn)回顧1. 定理內(nèi)容： 文字形式：直角三角形的兩直角邊的平方和，等于斜邊的平方。幾何形式：如果直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c,那么a2+ b2= c2表示方法： ABC中，/ C=90，那么a2+b2=c2;2. 相關(guān)知識(shí)鏈接：勾股定理的由來(lái):1） 我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊叫作勾，較長(zhǎng)的直角邊叫作股，斜邊叫作弦；2）漢代數(shù)學(xué)家趙爽把勾股定理敘

2、述成：勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開方除之即弦；3）國(guó)外稱之為畢達(dá)哥拉斯定理；4）也有人稱勾股定理為千古第一定理。3. 勾股定理的作用：1）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)；2）知道一邊長(zhǎng)時(shí)，能夠確定直角三角形的其余兩個(gè)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系；3）在證明含平方問題時(shí)，有時(shí)就可以考慮構(gòu)造直角三角形幫助解決問題。4. 勾股定理的各種表達(dá)式在 Rt ABC 中，.C =90 , . A、. B、. C 的對(duì)邊分別為 a、b、c,則 c a2 b2 ,2 2 2 2 2 2 2.22-2- 2 2a c b , b =c a , c =、a b , a=、c b , b=.c a 。5 勾股定理的證明:三國(guó)時(shí)期

3、的數(shù)學(xué)家的趙爽弦圖的證法：如圖：邊長(zhǎng)為：的正方形可以看作是由 4個(gè)直角邊分別為、1 ,斜邊為:的直角三角形圍在外面形成的。因?yàn)檫呴L(zhǎng)為:的正方形面積加上4個(gè)直角三角形的面積等于外圍正方形的面積，所以可以列出等式 c2 4丄ab =（a b）2 ,化簡(jiǎn)得ca2 b2。6. 常用勾股數(shù):3 , 4, 55, 12, 136, 8, 107, 24, 258, 15, 179 , 40, 411,1,21 八 3,2五定理證明及典型例題：例1.已知：在厶ABC中，/ C = 90,/ A、/ B、/ C的對(duì)邊為 a、b、c。求證：a2 + h2_ c2b c。證明方法取四個(gè)與Rt ABC全等的直角三角

4、形,把它們拼成如圖所示的正方形。如圖，正方形 ABCD的面積 =4個(gè)直角三角形的面積+正方形PQRS的面積2 2 ( a + b )= 1/2 ab 4X+ c2 2 2a + 2ab + b = 2ab + c故 a2 + b2 = c2A h P a B R b (證明方法圖1中，甲的面積-id. It=（大正方形面積）暮bn/ / /乙/ab（4個(gè)直角三角形面積）。圖2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）一（4個(gè)直角三角形面積）。因?yàn)閳D1和圖2的面積相等， 所以甲的面積=乙的面積+丙的面積 即: c2 = a2 + b2證明方法三：四個(gè)直角三角形的面積和+小正方形的面積=大正方形的面積,

5、2 22ab + ( a - b )= c ,2 222ab + a 2ab + b = c故 a2 + b2= c2證明方法四：梯形面積 =三個(gè)直角三角形的面積和1/22 + b )+ b ) = 2 X1/2 sK K + 1/2 疋 涇2 2(a + b ) = 2ab + c2 2 2a + 2ab + b = 2ab + c故 a2 + b2= c2點(diǎn)撥：以上四種方法均是使用了面積的方法，勾股定理的證明方法很多，有四百多種， 在后面學(xué)習(xí)了相似三角形之后，我們還可以用相似三角形的方法來(lái)證明。例 2.在 Rt ABC，/ C = 90 已知a= b= 5,求c。已知a= 1, c= 2,

6、 求b。已知c= 17, b= 8, 求a。已知 a： b= 1: 2, c= 5,求 a。已知 b = 15,/ A = 30，求 a, c。分析：已知兩直角邊， 求斜邊直接用勾股定理。已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的變形式。已知一邊和兩邊比，求未知邊。解：由 a2 + b2 = c2 得,(1)c2=52 + 52=50,即:c=50 ；(2)12+b2= 22,b2= 3，即：b =、3 ；(3)a2+82= 172,a2= 225,即:a= 15;(4)由a：b= 1： 2得，b= 2a,則：a2(2a)2=52即:a=八5 ；(5)由/ A = 30 得，c= 2a,

7、貝U: a2 + 152= (2a)2 ,ll t解得：a= 75 , c= 2 75。注：本題中的 50、75在學(xué)習(xí)二次根式之后還可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)，此處不作要求。例3.已知：如圖，等邊 ABC的邊長(zhǎng)是6cm。求等邊厶ABC的邊AB上的高CD。SaABC 分析:Aad0等邊三角形的每邊上的高、中線和該邊所對(duì)的角的角平分線，三線合一。解：（1 ） ABC是等邊三角形CD 丄 AB CD 平分 AB/ ABC的邊長(zhǎng)是6cm AD = BD = 2 AB = 3 cm在直角三角形ACD中，AD 2+ CD2= AC232+ CD2= 62CD =、271 1(2)abc = 2 AB CD = 2 x

8、 6x ,27 = 3 - 27 ( cm2)例4.飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方 秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？4000米處，過(guò)了 20分析：根據(jù)題意，可以先畫出符合題意的圖形。如圖，圖中ABC 的/ C= 90, AC=4000米，AB = 5000，米欲求飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米，就要知道20秒時(shí)間里飛行的路程，即圖中的 CB的長(zhǎng)，由于 ABC的斜邊AB = 5000米，AC = 4000米，這樣BC就可以 通過(guò)勾股定理得出，這里一定要注意單位的換算。解：由勾股定理得BC2 =AB2 - AC2冷-42 =9（千米2） 即BC = 3千

9、米飛機(jī)20秒飛行3千米那么它I小時(shí)飛行的距離為：3600203 =540（千米/時(shí)）答：飛機(jī)每小時(shí)飛行 540千米。例5.如圖在Rt ABC中，-C =90 , B =30 , A的平分線AD交BC于D，求證:2 2 2AC CD 二 DB 證明：幕.C =90 B =30.BAC 二 60AD平分 BAC.BAD =30BD =AD在RtACD中2 2 2 2AC2 CD2 =AD2 =BD2點(diǎn)評(píng)：本題是一道勾股定理的運(yùn)用題，在本題中我們也用到了角平分線的知識(shí)。例 6.如圖，在 MBC 中，ZACB =90 ,AB =50cm, BC =30cm,CD 丄 AB 于 d，求 CD 的 長(zhǎng)。解

10、：；厶ABC是直角三角形AB =50，BC =30，由勾股定理有AC2 =AB2 -BC2.AC =502 -302 =401 1S ABC BC AC AB CD又22BC ACAB答：CD的長(zhǎng)是24cm。4 =30245點(diǎn)評(píng)：(1)勾股定理的應(yīng)用前提是在直角三角形中;(2)本題求CD也可以分別在AC2 - AD2 =BC2 - BD2RtMCD和RUBCD中用勾股定理列方程組AD +BD =AB來(lái)求解，顯然解方程需要以后的知識(shí)而且比用面積法繁雜些。例7在一棵樹的10m高的B處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹走到離樹 20m處的池塘A處，另一只爬到樹頂后直接躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的

11、距離相等，試問這棵樹有多高？分析：如圖所示，其中一只猴子從 Bt Ct A共30m，另一只猴子從Bt Dt A也共 走了 30m。并且樹垂直于地面，于是此問題可化歸到直角三角形解決。KC A解：如圖，設(shè)BD =x，由題意知BC CA = BD - DADA 30 - x222Rt ADC 中，(30 -x) =(10 x) 20，解之得 x = 5x 1015答：這棵樹高15m。點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是依題意正確地畫出圖形，在此基礎(chǔ)上，再運(yùn)用勾股定理及方程的思想使問題得以解決。【模擬試題】、基礎(chǔ)題：（答題時(shí)間：45分鐘）1、如圖，直角 ABC的主要性質(zhì)是：/ C= 90,（用幾何語(yǔ)言表示） 兩銳角之

12、間的關(guān)系： ;若D為斜邊中點(diǎn)，則斜;若/ B = 30,則/ B的對(duì)邊和斜邊： ;三邊之間的關(guān)系:2 ABC的三邊a、則/ B是角;5、如圖所示：字母所代表的正方形的面積為625的是（）若滿足b2 c2 + a2,b、c,若滿足 b2= a2 + c2,則= 90 若滿足b2v c2+ a2,則/ B是角。3、 直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm、4cm，則第三邊長(zhǎng)是 4、 直角三角形的周長(zhǎng)是24cm,斜邊上的中線長(zhǎng)為 5cm,則此三角形的面積是6、如圖所示，一輪船從港口 A出發(fā)向東北方向航行 4km，另一輪船也從港口 A出發(fā)向東 南方向航行了 3km，此時(shí)兩船相距（）A. 7kmB. 5kmD.

13、12kmC. 6km東7、一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)是不大于10的三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的周長(zhǎng)是二、綜合題：1、如圖，在四邊形 ABCD 中，AB = 8, BC = 1,Z DAB = 30,/ ABC = 60,四邊形 ABCD的面積為5 3，求AD的長(zhǎng)。2、鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25km , C、D為兩村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA _ AB 于a，CB _AB于B,如圖所示，已知DA =15km，CB =10km，現(xiàn)在要在鐵路 AB上新 建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站 E,使C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A處多遠(yuǎn)處？3、已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2，面積為2 2，求腰長(zhǎng)。4、已知：如

14、圖，四邊形1cm，求BC的長(zhǎng)。ABCD 中，AD / BC, AD 丄 DC , AB 丄 AC，/ B= 60 , CD =5、如圖，原計(jì)劃從 A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公路，后因技術(shù)攻關(guān)，可以打隧道 由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價(jià)為 300萬(wàn)元，隧道總長(zhǎng)為 2公里，隧道 造價(jià)為 500萬(wàn)元，AC = 80公里，BC = 60公里，則改建后可省工程費(fèi)用是多少？6、如圖，鋼索斜拉大橋?yàn)榈妊切?，支柱?4米，/ B=Z C= 30, E、F分別為BD、CD中點(diǎn)，試求B、C兩點(diǎn)之間的距離，鋼索 AB和AE的長(zhǎng)度。（精確到 1米）7. 已知：長(zhǎng)方形 ABCD AB/ CD AD/

15、 BC, AB=2 A* DC長(zhǎng)方形 ABCD勺面積為S,沿長(zhǎng)方 形的對(duì)稱軸折疊一次得到一個(gè)新長(zhǎng)方形，求這個(gè)新長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng).解.長(zhǎng)方形的對(duì)稱軸有 2條，要分別討論:（1）以A B為對(duì)稱點(diǎn)（如圖）/ S=ABX BC, AB=2S BC=AD=.21根據(jù)對(duì)稱性得DF= AB=1.2由于/ D=90,據(jù)勾股定理得:（2）以A D為對(duì)稱點(diǎn)（如圖）1 S BF=_ BC=.2 4由/ B=90,據(jù)勾股定理得：AF=,ab2 bf24+=丄 JS2 +64 .1648 .若線段A . 1:9. 如圖2-2 ,a,寬AB為b,b、4把一張長(zhǎng)方形紙片 ABCD折疊起來(lái)，使其對(duì)角頂點(diǎn) A C重合，？若其

16、長(zhǎng)BC為 則折疊后不重合部分的面積是多少？c能組成直角三角形，則它們的比值可以是（D ）B . 1 : 3: 5 C . 3: 4: 7 D . 5: 12: 13分析 圖形沿EF折疊后A C重合，可知四邊形 邊、角相等， AF=FC且FC=AE則厶ABFA AD 部分的面積.解：圖形沿EF折疊后A C重合，四邊形AFED與CFED關(guān)于EF對(duì)稱，則四邊形AFED也四邊形CFED / AFE=/ CFE AF=FC / D =/ D=/ B=90AB=CD=AD .TAD/ BC, / AEF=/ EFC / AEF=/ AFE貝U AE=AF Rt ABF Rt AD E.在 Rt ABF 中，T/ B=90,2 2 2 AB +BF =AF .E,AFED與四邊形CFED全等，則對(duì)應(yīng)?由三角形面積公式不難求出不重合設(shè) BF=x, b2+x2= (a-x) 2,a2 -b2 x=2a S=2Saabf=2X 丄 bx=2 X -2 22 2a b b(a2 -b2)2a2a2-310. 如圖的位置上，11. 如圖2-3 ,把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C已知AB=?3, BC=7,重合部分厶EBD的面積為 2-4，一架長(zhǎng)2.5m的梯子，斜放在墻上，梯子的底部B?離墻腳O?勺距離是0.7m